Condición de Courant-Friedrichs-Lewy

Condición matemática para la convergencia

En matemáticas , la condición de convergencia de Courant-Friedrichs-Lewy es una condición necesaria para la convergencia al resolver numéricamente ciertas ecuaciones diferenciales parciales (generalmente EDP hiperbólicas ). Surge en el análisis numérico de esquemas de integración temporal explícitos , cuando estos se utilizan para la solución numérica. Como consecuencia, el paso de tiempo debe ser menor que un cierto límite superior, dado un incremento espacial fijo, en muchas simulaciones informáticas explícitas de marcha temporal ; de lo contrario, la simulación produce resultados incorrectos o inestables . La condición recibe su nombre de Richard Courant , Kurt Friedrichs y Hans Lewy , quienes la describieron en su artículo de 1928. ^[1]

Descripción heurística

El principio detrás de la condición es que, por ejemplo, si una onda se mueve a través de una cuadrícula espacial discreta y queremos calcular su amplitud en pasos de tiempo discretos de igual duración, ^[2] entonces esta duración debe ser menor que el tiempo que tarda la onda en viajar a puntos adyacentes de la cuadrícula. Como corolario, cuando se reduce la separación de los puntos de la cuadrícula, el límite superior para el paso de tiempo también disminuye. En esencia, el dominio numérico de dependencia de cualquier punto en el espacio y el tiempo (según lo determinado por las condiciones iniciales y los parámetros del esquema de aproximación) debe incluir el dominio analítico de dependencia (en el que las condiciones iniciales tienen un efecto sobre el valor exacto de la solución en ese punto) para asegurar que el esquema pueda acceder a la información requerida para formar la solución.

Declaración

Para hacer una declaración razonablemente precisa y formal de la condición, es necesario definir las siguientes cantidades:

• Coordenada espacial : una de las coordenadas del espacio físico en el que se plantea el problema.
• Dimensión espacial del problema : número de dimensiones espaciales , es decir, el número de coordenadas espaciales del espacio físico donde se plantea el problema. Los valores típicos son , y . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$
• Tiempo : la coordenada , que actúa como parámetro , que describe la evolución del sistema, distinta de las coordenadas espaciales.

Las coordenadas espaciales y el tiempo son variables independientes de valor discreto , que se encuentran a distancias regulares llamadas longitud de intervalo ^[3] y paso de tiempo , respectivamente. Utilizando estos nombres, la condición CFL relaciona la longitud del paso de tiempo con una función de las longitudes de intervalo de cada coordenada espacial y de la velocidad máxima a la que la información puede viajar en el espacio físico.

Operativamente, la condición CFL se prescribe comúnmente para aquellos términos de la aproximación de diferencias finitas de ecuaciones diferenciales parciales generales que modelan el fenómeno de advección . ^[4]

El caso unidimensional

Para el caso unidimensional, la ecuación del modelo de tiempo continuo (que generalmente se resuelve para ) es: ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}=u{\frac {\partial w}{\partial x}}.}$

La condición CFL tiene entonces la siguiente forma:

${\displaystyle C={\frac {u\,\Delta t}{\Delta x}}\leq C_{\max }}$

donde el número adimensional se llama número de Courant , ${\displaystyle C}$

• ${\displaystyle u}$es la magnitud de la velocidad (cuya dimensión es longitud/tiempo)
• ${\displaystyle \Delta t}$es el paso de tiempo (cuya dimensión es el tiempo)
• ${\displaystyle \Delta x}$es el intervalo de longitud (cuya dimensión es la longitud).

El valor de cambia con el método utilizado para resolver la ecuación discretizada, especialmente dependiendo de si el método es explícito o implícito . Si se utiliza un solucionador explícito (con marcha temporal), normalmente . Los solucionadores implícitos (matriciales) suelen ser menos sensibles a la inestabilidad numérica, por lo que se pueden tolerar valores mayores de . ${\displaystyle C_{\max }}$ ${\displaystyle C_{\max }=1}$ ${\displaystyle C_{\max }}$

Los dos y generalnorte-caso dimensional

En el caso bidimensional , la condición CFL se convierte en

${\displaystyle C={\frac {u_{x}\,\Delta t}{\Delta x}}+{\frac {u_{y}\,\Delta t}{\Delta y}}\leq C_{\max }}$

con los significados obvios de los símbolos involucrados. Por analogía con el caso bidimensional, la condición CFL general para el caso bidimensional es la siguiente: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle C=\Delta t\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}}{\Delta x_{i}}}\right)\leq C_{\max }.}$

No es necesario que la longitud del intervalo sea la misma para cada variable espacial . Este " grado de libertad " se puede utilizar para optimizar en cierta medida el valor del paso de tiempo para un problema en particular, variando los valores de los diferentes intervalos para que no sean demasiado pequeños. ${\displaystyle \Delta x_{i},i=1,\ldots ,n}$

Notas

1. Véase la referencia Courant, Friedrichs & Lewy 1928. También existe una traducción al inglés del original alemán de 1928 : véanse las referencias Courant, Friedrichs & Lewy 1956 y Courant, Friedrichs & Lewy 1967.
2. Esta situación ocurre comúnmente cuando un operador diferencial parcial hiperbólico ha sido aproximado por una ecuación de diferencias finitas , que luego se resuelve mediante métodos de álgebra lineal numérica .
3. Esta cantidad no es necesariamente la misma para cada variable espacial, como se muestra en la sección "El caso bidimensional y el caso n-dimensional general" de esta entrada: se puede seleccionar para relajar un poco la condición.
4. Precisamente, esta es la parte hiperbólica de la EDP bajo análisis.

Referencias

• Courant, R .; Friedrichs, K .; Lewy, H. (1928), "Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik", Mathematische Annalen (en alemán), 100 (1): 32–74, Bibcode :1928MatAn.100...32C, doi :10.1007/BF01448839, JFM  54.0486.01, SEÑOR  1512478, S2CID  120760331.
• Courant, R. ; Friedrichs, K. ; Lewy, H. (septiembre de 1956) [1928], On the partial difference equations of mathematics physics, AEC Research and Development Report, vol. NYO-7689, Nueva York: AEC Computing and Applied Mathematics Centre – Courant Institute of Mathematical Sciences , pp. V + 76, archivado desde el original el 23 de octubre de 2008.: traducido del alemán por Phyllis Fox. Esta es una versión anterior del artículo Courant, Friedrichs & Lewy 1967, que circuló como informe de investigación.
• Courant, R. ; Friedrichs, K. ; Lewy, H. (marzo de 1967) [1928], "Sobre las ecuaciones en diferencias parciales de la física matemática", IBM Journal of Research and Development , 11 (2): 215–234, Bibcode :1967IBMJ...11..215C, doi :10.1147/rd.112.0215, MR  0213764, Zbl  0145.40402Se puede encontrar una copia descargable gratuita aquí.

• Carlos A. de Moura y Carlos S. Kubrusly (Eds.): "La condición Courant-Friedrichs-Lewy (CFL): 80 años después de su descubrimiento", Birkhauser, ISBN 978-0-8176-8393-1 (2013).

Enlaces externos

• Bakhvalov, NS (2001) [1994], "Condición de Courant–Friedrichs–Lewy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Condición de Courant-Friedrichs-Lewy". MathWorld .