Circle Limit III es un grabado en madera realizado en 1959 por el artista holandés MC Escher , en el que "cadenas de peces se disparan como cohetes desde infinitamente lejos" y luego "caen de nuevo al lugar de donde vinieron". [1]
Se trata de una de una serie de cuatro xilografías de Escher que representan ideas de la geometría hiperbólica . El físico y matemático holandés Bruno Ernst la llamó «la mejor de las cuatro». [2]
Escher se interesó en las teselaciones del plano después de una visita a la Alhambra en Granada , España, en 1936, [3] [4] y desde la época de su obra de arte Metamorfosis I de 1937 había comenzado a incorporar figuras humanas y animales teseladas en sus obras de arte. [4]
En una carta de 1958 de Escher a HSM Coxeter , Escher escribió que se inspiró para hacer su serie Circle Limit en una figura del artículo de Coxeter "Crystal Symmetry and its Generalizations". [2] [3] La figura de Coxeter representa una teselación del plano hiperbólico mediante triángulos rectángulos con ángulos de 30°, 45° y 90°; los triángulos con estos ángulos son posibles en la geometría hiperbólica pero no en la geometría euclidiana. Esta teselación puede interpretarse como la representación de las líneas de reflexión y los dominios fundamentales del grupo de triángulos (6,4,2) . [5] Casselman (2010) ofrece un análisis elemental de la figura de Coxeter, como Escher podría haberlo entendido. [6]
Escher parece haber creído que las curvas blancas de su xilografía, que dividen al pez en dos, representan líneas hiperbólicas en el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, en el que todo el plano hiperbólico se modela como un disco en el plano euclidiano, y las líneas hiperbólicas se modelan como arcos circulares perpendiculares al límite del disco. De hecho, Escher escribió que el pez se mueve "perpendicularmente al límite". [1] Sin embargo, como demostró Coxeter, no existe una disposición hiperbólica de líneas cuyas caras sean alternativamente cuadrados y triángulos equiláteros, como lo representa la figura. Más bien, las curvas blancas son hiperciclos que se encuentran con el círculo límite en ángulos de cos −1 2 1/4 − 2 −1/4/2 , aproximadamente 80°. [2]
Los ejes de simetría de los triángulos y cuadrados que se encuentran entre las líneas blancas son verdaderas líneas hiperbólicas. Los cuadrados y triángulos de la xilografía se parecen mucho a la disposición octogonal alternada del plano hiperbólico, que también presenta cuadrados y triángulos que se encuentran en el mismo patrón de incidencia. Sin embargo, la geometría precisa de estas formas no es la misma. En la disposición octogonal alternada, los lados de los cuadrados y triángulos son segmentos de línea hiperbólicamente rectos, que no se unen en curvas suaves, sino que forman cadenas poligonales con vértices. En la xilografía de Escher, los lados de los cuadrados y triángulos están formados por arcos de hiperciclos, que no son rectos en la geometría hiperbólica, sino que se conectan suavemente entre sí sin vértices.
Los puntos en los centros de los cuadrados, donde cuatro peces se encuentran en sus aletas, forman los vértices de un mosaico triangular de orden 8 , mientras que los puntos donde se encuentran las aletas de tres peces y los puntos donde se cruzan tres líneas blancas forman los vértices de su dual , el mosaico octogonal . [2] Se pueden construir teselaciones similares con líneas de peces para otros mosaicos hiperbólicos formados por polígonos distintos de triángulos y cuadrados, o con más de tres curvas blancas en cada cruce. [7]
Las coordenadas euclidianas de los círculos que contienen las tres curvas blancas más prominentes en el grabado se pueden obtener mediante cálculos en el campo de los números racionales extendidos por las raíces cuadradas de dos y tres. [8]
Visto como un patrón, ignorando los colores de los peces, en el plano hiperbólico, el grabado en madera tiene simetría rotacional triple y cuádruple en los centros de sus triángulos y cuadrados, respectivamente, simetría diedral de orden tres (la simetría de un triángulo equilátero) en los puntos donde se cruzan las curvas blancas. En la notación orbifold de John Conway , este conjunto de simetrías se denota 433. Cada pez proporciona una región fundamental para este grupo de simetría. Contrariamente a las apariencias, los peces no tienen simetría bilateral : las curvas blancas del dibujo no son ejes de simetría de reflexión. [9] [10] Por ejemplo, el ángulo en la parte posterior de la aleta derecha es de 90° (donde se unen cuatro aletas), pero en la parte posterior de la aleta izquierda, mucho más pequeña, es de 120° (donde se unen tres aletas).
Los peces de Circle Limit III están representados en cuatro colores, lo que permite que cada hilera de peces tenga un solo color y cada dos peces adyacentes tengan colores diferentes. Junto con la tinta negra utilizada para delinear los peces, el grabado en madera en general tiene cinco colores. Está impreso a partir de cinco bloques de madera, cada uno de los cuales proporciona uno de los colores dentro de un cuarto del disco, para un total de 20 impresiones. El diámetro del círculo exterior, tal como está impreso, es de 41,5 cm ( 16+3 ⁄ 8 pulgadas). [11]
Además de estar incluidas en la colección del Museo Escher de La Haya , las copias de Circle Limit III están incluidas en las colecciones de la Galería Nacional de Arte [12] y la Galería Nacional de Canadá . [13]
