Círculo Ford

Círculo racional tangente a la recta real

Círculos de Ford para p / q con q de 1 a 20. Los círculos con q ≤ 10 se etiquetan como ⁠pag/q⁠ y codificados por colores según q . Cada círculo es tangente a la línea base y a sus círculos vecinos. Las fracciones irreducibles con el mismo denominador tienen círculos del mismo tamaño.

En matemáticas , un círculo de Ford es un círculo en el plano euclidiano , en una familia de círculos que son todos tangentes al eje y en puntos racionales . Para cada número racional , expresado en términos mínimos, hay un círculo de Ford cuyo centro está en el punto y cuyo radio es . Es tangente al eje y en su punto inferior, . Los dos círculos de Ford para números racionales y (ambos en términos mínimos) son círculos tangentes cuando y en caso contrario estos dos círculos son disjuntos. ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle (p/q,1/(2q^{2}))}$ ${\displaystyle 1/(2q^{2})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (p/q,0)}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle r/s}$ ${\displaystyle |ps-qr|=1}$

Historia

Los círculos de Ford son un caso especial de círculos mutuamente tangentes; la línea base puede considerarse como un círculo con un radio infinito. Los sistemas de círculos mutuamente tangentes fueron estudiados por Apolonio de Perge , en cuyo honor se nombran el problema de Apolonio y la junta apolínea . ^[2] En el siglo XVII, René Descartes descubrió el teorema de Descartes , una relación entre los recíprocos de los radios de círculos mutuamente tangentes. ^[2]

Los círculos de Ford también aparecen en los Sangaku (rompecabezas geométricos) de las matemáticas japonesas . Un problema típico, que se presenta en una tablilla de 1824 en la prefectura de Gunma , cubre la relación de tres círculos en contacto con una tangente común . Dado el tamaño de los dos círculos grandes exteriores, ¿cuál es el tamaño del círculo pequeño entre ellos? La respuesta es equivalente a un círculo de Ford: ^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r_{\text{middle}}}}}={\frac {1}{\sqrt {r_{\text{left}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {r_{\text{right}}}}}.}$

Los círculos de Ford reciben su nombre del matemático estadounidense Lester R. Ford, Sr. , quien escribió sobre ellos en 1938. ^[1]

Propiedades

Comparación de círculos de Ford y un diagrama de Farey con arcos circulares para n de 1 a 9. Observe que cada arco interseca sus círculos correspondientes en ángulos rectos. En la imagen SVG, pase el cursor sobre un círculo o una curva para resaltarlo y sus términos.

El círculo de Ford asociado con la fracción se denota por o Hay un círculo de Ford asociado con cada número racional . Además, la línea se cuenta como un círculo de Ford: se puede pensar en él como el círculo de Ford asociado con el infinito , que es el caso ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle C[p/q]}$ ${\displaystyle C[p,q].}$ ${\displaystyle y=1}$ ${\displaystyle p=1,q=0.}$

Dos círculos de Ford diferentes son disjuntos o tangentes entre sí. No hay dos interiores de círculos de Ford que se intersequen, aunque haya un círculo de Ford tangente al eje x en cada punto de él con coordenadas racionales . Si está entre 0 y 1, los círculos de Ford que son tangentes a se pueden describir de diversas formas como ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle C[p/q]}$

1. los círculos donde ^[1] ${\displaystyle C[r/s]}$ ${\displaystyle |ps-qr|=1,}$
2. los círculos asociados con las fracciones que son vecinas de en alguna secuencia de Farey , ^[1] o ${\displaystyle r/s}$ ${\displaystyle p/q}$
3. los círculos donde está el siguiente ancestro más grande o el siguiente más pequeño en el árbol de Stern-Brocot o donde está el siguiente ancestro más grande o el siguiente más pequeño en . ^[1] ${\displaystyle C[r/s]}$ ${\displaystyle r/s}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle r/s}$

Si y son dos círculos de Ford tangentes, entonces el círculo que pasa por y (las coordenadas x de los centros de los círculos de Ford) y que es perpendicular al eje (cuyo centro está en el eje x) también pasa por el punto donde los dos círculos son tangentes entre sí. ${\displaystyle C[p/q]}$ ${\displaystyle C[r/s]}$ ${\displaystyle (p/q,0)}$ ${\displaystyle (r/s,0)}$ ${\displaystyle x}$

Los centros de los círculos de Ford constituyen un subconjunto discreto (y por lo tanto contable) del plano, cuyo cierre es el eje real: un conjunto incontable.

Los círculos de Ford también pueden considerarse como curvas en el plano complejo . El grupo modular de transformaciones del plano complejo asigna círculos de Ford a otros círculos de Ford. ^[1]

Los círculos de Ford son un subconjunto de los círculos en la junta apolínea generados por las líneas y y el círculo ^[4] ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=1}$ ${\displaystyle C[0/1].}$

Al interpretar la mitad superior del plano complejo como un modelo del plano hiperbólico (el modelo de semiplano de Poincaré ), los círculos de Ford pueden interpretarse como horociclos . En geometría hiperbólica, dos horociclos cualesquiera son congruentes . Cuando estos horociclos están circunscritos por apeirógonos, forman un mosaico en el plano hiperbólico con un mosaico apeirógono de orden 3 .

Área total de los círculos de Ford

Existe un vínculo entre el área de los círculos de Ford, la función totient de Euler, la función zeta de Riemann y la constante de Apéry ^[5]. Como no hay dos círculos de Ford que se intersequen, se deduce inmediatamente que el área total de los círculos de Ford ${\displaystyle \varphi ,}$ ${\displaystyle \zeta ,}$ ${\displaystyle \zeta (3).}$

${\displaystyle \left\{C[p,q]:0<{\frac {p}{q}}\leq 1\right\}}$

es menor que 1. De hecho, el área total de estos círculos de Ford está dada por una suma convergente, que puede evaluarse. De la definición, el área es

${\displaystyle A=\sum _{q\geq 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}.}$

Simplificando esta expresión obtenemos

${\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},}$

donde la última igualdad refleja la función generadora de Dirichlet para la función totient de Euler. Dado que esto finalmente se convierte en ${\displaystyle \varphi (q).}$ ${\displaystyle \zeta (4)=\pi ^{4}/90,}$

${\displaystyle A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.}$

Nótese que, por convención, los cálculos anteriores excluyeron el círculo de radio correspondiente a la fracción . Incluyen el círculo completo para , cuya mitad se encuentra fuera del intervalo unitario, por lo que la suma sigue siendo la fracción del cuadrado unitario cubierto por los círculos de Ford. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$

Esferas de Ford (3D)

Esferas de Ford por encima del dominio complejo

El concepto de círculos de Ford se puede generalizar de los números racionales a los racionales gaussianos , dando lugar a las esferas de Ford. En esta construcción, los números complejos se insertan como un plano en un espacio euclidiano tridimensional , y para cada punto racional gaussiano en este plano se construye una esfera tangente al plano en ese punto. Para un racional gaussiano representado en términos mínimos como , el diámetro de esta esfera debería ser donde representa el conjugado complejo de . Las esferas resultantes son tangentes para pares de racionales gaussianos y con , y de lo contrario no se intersecan entre sí. ^{[6] [7]} ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle 1/2q{\bar {q}}}$ ${\displaystyle {\bar {q}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle P/Q}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle |Pq-pQ|=1}$

Véase también

• Junta apolínea : un fractal con infinitos círculos mutuamente tangenciales en un círculo en lugar de en una línea
• Cadena Steiner
• Cadena de vilano

Referencias

1. Ford, LR (1938), "Fracciones", The American Mathematical Monthly , 45 (9): 586–601, doi :10.2307/2302799, JSTOR  2302799, MR  1524411.
2. Coxeter, HSM (1968), "El problema de Apolonio", The American Mathematical Monthly , 75 (1): 5–15, doi :10.2307/2315097, JSTOR  2315097, MR  0230204.
3. Fukagawa, Hidetosi; Pedoe, Dan (1989), Problemas de geometría del templo japonés , Winnipeg, MB: Centro de investigación Charles Babbage, ISBN 0-919611-21-4, Sr.  1044556.
4. Graham, Ronald L. ; Lagarias, Jeffrey C. ; Mallows, Colin L. ; Wilks, Allan R. ; Yan, Catherine H. (2003), "Empaquetamientos de círculos apolíneos: teoría de números", Journal of Number Theory , 100 (1): 1–45, arXiv : math.NT/0009113 , doi :10.1016/S0022-314X(03)00015-5, MR  1971245, S2CID  16607718.
5. Marszalek, Wieslaw (2012), "Circuitos con secuencias de Farey jerárquicas oscilatorias y propiedades fractales", Circuitos, sistemas y procesamiento de señales , 31 (4): 1279–1296, doi :10.1007/s00034-012-9392-3, S2CID  5447881.
6. Pickover, Clifford A. (2001), "Capítulo 103. Belleza y números racionales gaussianos", Maravillas de los números: aventuras en las matemáticas, la mente y el significado, Oxford University Press, págs. 243-246, ISBN 9780195348002.
7. Northshield, Sam (2015), Círculos y esferas de Ford , arXiv : 1503.00813 , Bibcode :2015arXiv150300813N.

Enlaces externos

• Los círculos conmovedores de Ford en Cut-the-Knot
• Weisstein, Eric W. "El círculo de Ford". MathWorld .
• Bonahon, Francis . "Funny Fractions and Ford Circles" (video de YouTube) . Brady Haran . Archivado desde el original el 2021-12-21 . Consultado el 9 de junio de 2015 .