En óptica , una cáustica o red cáustica [1] es la envoltura de rayos de luz que han sido reflejados o refractados por una superficie u objeto curvo, o la proyección de esa envoltura de rayos sobre otra superficie. [2] La cáustica es una curva o superficie a la que cada uno de los rayos de luz es tangente , definiendo un límite de una envoltura de rayos como una curva de luz concentrada. [2] En algunos casos, las cáusticas pueden verse como parches de luz o sus bordes brillantes, formas que a menudo tienen singularidades de cúspide .
La concentración de luz, especialmente la solar , puede quemar. La palabra cáustico , de hecho, viene del griego καυστός, quemado, pasando por el latín causticus , que arde.
Una situación común en la que las cáusticas son visibles es cuando la luz brilla sobre un vaso de bebida. El vidrio proyecta una sombra, pero también produce una región curva de luz brillante. En circunstancias ideales (incluidos rayos perfectamente paralelos, como si provinieran de una fuente puntual en el infinito), se puede producir una mancha de luz con forma de nefroide . [3] [4] Las cáusticas onduladas se forman comúnmente cuando la luz brilla a través de ondas en un cuerpo de agua.
Otra cáustica conocida es el arco iris . [5] [6] La dispersión de la luz por las gotas de lluvia hace que diferentes longitudes de onda de luz se refracten en arcos de diferente radio, produciendo el arco.
En gráficos por computadora, la mayoría de los sistemas de renderizado modernos admiten cáusticas. Algunos de ellos incluso admiten cáusticas volumétricas . Esto se logra trazando los posibles caminos de un haz de luz, teniendo en cuenta la refracción y la reflexión. El mapeo de fotones es una implementación de esto. Las cáusticas volumétricas también se pueden lograr mediante el trazado de caminos volumétricos . Algunos sistemas de gráficos por computadora funcionan mediante "trazado de rayos hacia adelante", en el que los fotones se modelan como si vinieran de una fuente de luz y rebotaran en el entorno de acuerdo con reglas. Las cáusticas se forman en las regiones donde suficientes fotones golpean una superficie, lo que hace que sea más brillante que el área promedio en la escena. El "trazado de rayos hacia atrás" funciona de manera inversa, comenzando en la superficie y determinando si hay un camino directo a la fuente de luz. [7] Algunos ejemplos de cáusticas trazadas por rayos en 3D se pueden encontrar aquí.
La mayoría de los sistemas de gráficos por ordenador se centran en la estética, más que en la precisión física . Esto es especialmente cierto cuando se trata de gráficos en tiempo real en juegos de ordenador [8], donde se utilizan principalmente texturas genéricas precalculadas en lugar de cálculos físicamente correctos.
La ingeniería cáustica describe el proceso de resolver el problema inverso a la computación gráfica , es decir, dada una imagen específica, determinar una superficie cuya luz refractada o reflejada forma dicha imagen.
En la versión discreta de este problema, la superficie se divide en varias microsuperficies que se suponen lisas, es decir, la luz reflejada/refractada por cada microsuperficie forma una cáustica gaussiana. La cáustica gaussiana significa que cada microsuperficie obedece a una distribución gaussiana . La posición y orientación de cada una de las microsuperficies se obtienen luego utilizando una combinación de integración de Poisson y recocido simulado . [9]
Se han utilizado muchos enfoques diferentes para abordar el problema continuo. Un enfoque utiliza una idea de la teoría del transporte denominada transporte óptimo [10] para encontrar una correspondencia entre los rayos de luz entrantes y la superficie del objetivo. Después de obtener dicha correspondencia, la superficie se optimiza adaptándola iterativamente utilizando la ley de refracción de Snell . [11] [12]
Controlar el patrón cáustico es un problema bastante desafiante ya que cambios muy pequeños de la superficie afectarán significativamente la calidad del patrón ya que las direcciones de los rayos de luz pueden ser interferidas por otros rayos de luz a medida que se cruzan con y refractan a través del material. Esto conducirá a un patrón disperso y discontinuo. Para abordar este problema, uno de los métodos propuestos existentes para controlar el patrón cáustico es el basado en el transporte óptimo redirigiendo las direcciones de la luz a medida que se propaga a través de la superficie de un cierto material transparente . Esto se hace resolviendo un problema de optimización inversa basado en el transporte óptimo . [13] [14] Dada una imagen de referencia de un objeto/patrón, el objetivo es formular la descripción matemática de la superficie del material a través de la cual la luz se refracta y converge al patrón similar de la imagen de referencia. Esto se hace reorganizando/recalculando la intensidad de luz inicial hasta que se alcanza el mínimo del problema de optimización.
Considerando aquí solo la cáustica refractiva, el objetivo se puede determinar de la siguiente manera (principio similar para la cáustica reflexiva con diferente salida):
Entrada: imagen del patrón que se obtendrá después de propagar las luces a través del material, dada la posición de la fuente de luz.
Salida: geometría cáustica en el receptor (superficie sólida plana, por ejemplo: suelo, pared, etc.)
Para lograr el patrón objetivo, la superficie donde la luz se refracta y sale al ambiente exterior debe fabricarse en una forma determinada para lograr el patrón deseado en el otro lado del material.
Como se mencionó, dada una imagen de entrada, este proceso producirá un patrón cáustico similar al de la salida. En principio, hay dos etapas principales, cada una de las cuales incluye dos subetapas:
Como la refracción ocurre a través de una superficie transparente, por ejemplo los patrones que aparecen bajo la superficie del agua clara, se pueden observar tres fenómenos principales:
Para realizar el cálculo, se introducen respectivamente las siguientes 3 magnitudes para describir las características geométricas del patrón: singularidad puntual (que mide la intensidad de la luz en un punto de luz muy concentrado), singularidad de curva (que mide la intensidad de la luz en una curva de luz o alrededor de ella) y medida de irradiancia (que mide la intensidad en una zona de luz poco concentrada). Al unirlas, la siguiente función define la medida del flujo radiante total en una sección determinada Ω de la superficie del objetivo:
Después de este paso, hay dos medidas existentes de las medidas de flujo radiante de la fuente (distribución uniforme, por inicialización) y el objetivo (calculado en el paso anterior). Lo que queda por calcular es el mapeo de la fuente al objetivo. Para hacer esto, hay varias cantidades que deben definirse. En primer lugar, se definen dos intensidades de luz evaluadas por probabilidades: (intensidad de luz evaluada dividiendo por el flujo de la región de unión entre y ), (intensidad de luz evaluada dividiendo por el flujo de la región de unión entre y ). En segundo lugar, se genera la malla de la fuente como sitios múltiples , que luego se deforma. A continuación, se define un diagrama de potencia (un conjunto de celdas de potencia) en este conjunto de sitios ponderados por un vector de peso . Finalmente, el objetivo es decidir si se van a mover qué celdas de potencia. Considerando todos los vértices de la superficie, encontrar el minimizador de la siguiente función convexa producirá el diagrama de potencia coincidente para el objetivo:
Después de resolver el problema de transporte óptimo, se obtienen los vértices. Sin embargo, esto no brinda información sobre cómo debería verse la superficie final. Para lograr la superficie objetivo deseada, dados el rayo de luz entrante , el rayo de luz saliente y el diagrama de potencia del paso anterior, la representación de las normales de la superficie se puede calcular de acuerdo con la ley de Snell como:
dónde,
Una vez obtenida la representación normal, el refinamiento de la superficie se logra minimizando la siguiente función de energía compuesta :
dónde,
Los gráficos inversos son un método para observar los datos de una imagen e inferir todas las propiedades posibles, incluida la geometría 3D, la iluminación, los materiales y el movimiento, para generar una imagen realista. [15] En los gráficos por computadora convencionales, para renderizar una imagen con la apariencia y los efectos deseados, se le dan todas las propiedades/características relevantes. Esto podría describirse como el método directo. Por el contrario, en el diseño cáustico, las propiedades y características de los objetos (especialmente la superficie del material) no son triviales. La restricción dada es la imagen objetivo a obtener. Por lo tanto, el objetivo es obtener sus propiedades y características observando e infiriendo la imagen objetivo. Esto puede considerarse el método inverso/hacia atrás.
La siguiente es la función de pérdida básica que explica cómo optimizar los parámetros:
dónde,
En primer lugar, se diseña el patrón objetivo y se calcula el paso hacia adelante para obtener el patrón sintético. Se compara con el patrón objetivo y se obtiene la pérdida. La objeción es dejar que el patrón sintético sea lo más similar posible al patrón objetivo y luego realizar la propagación hacia atrás para obtener las propiedades optimizadas necesarias para su uso en la fabricación de cáusticos.
Podría haber más elementos, por ejemplo, el albedo y el coeficiente de refracción .
Introduzca U como una variable intermedia que indica las posiciones de las coordenadas de los vértices proyectados en 2D. El gradiente de estas propiedades se puede derivar indirectamente mediante la regla de la cadena.
Después de aplicar el descenso de gradiente estocástico , se puede lograr el valor óptimo y . Posteriormente, estas cantidades se utilizan para tallar o fresar el material para generar el patrón objetivo.
Un enfoque común es utilizar la capacidad de realizar operaciones diferenciales en varios marcos/bibliotecas de autodiferenciación de aprendizaje profundo , como: Tensorflow , PyTorch , Theano .
Otro enfoque consiste en utilizar el marco OpenDR [15] para construir un modelo gráfico de avance y obtener automáticamente derivadas con respecto a los parámetros del modelo para la optimización. A medida que se obtienen las propiedades de optimización, se puede generar la imagen de destino. OpenDR proporciona un método de optimización local que se puede incorporar en marcos de programación probabilística. Esto se puede utilizar para resolver el problema de la cáustica.
Una vez diseñado computacionalmente el patrón cáustico, los datos procesados se enviarán a la etapa de fabricación para obtener el producto final. El enfoque más común es la fabricación sustractiva ( mecanizado ).
Se pueden utilizar diversos materiales dependiendo de la calidad deseada, el esfuerzo que requiere su fabricación y el método de fabricación disponible.
El diseño de patrones cáusticos tiene muchas aplicaciones en el mundo real, por ejemplo en: