Modelo de Bohr-Sommerfeld

Ampliación del modelo de Bohr para permitir órbitas elípticas de electrones alrededor de un núcleo atómico.

Las extensiones de Sommerfeld del modelo de Bohr del sistema solar de 1913 del átomo de hidrógeno que muestran la adición de órbitas elípticas para explicar la estructura fina espectral.

El modelo de Bohr-Sommerfeld (también conocido como modelo de Sommerfeld o teoría de Bohr-Sommerfeld ) fue una extensión del modelo de Bohr para permitir órbitas elípticas de electrones alrededor de un núcleo atómico. La teoría de Bohr-Sommerfeld lleva el nombre del físico danés Niels Bohr y del físico alemán Arnold Sommerfeld . Sommerfeld argumentó que si las órbitas electrónicas pudieran ser elípticas en lugar de circulares, la energía del electrón sería la misma, excepto en presencia de un campo magnético, introduciendo lo que ahora se conoce como degeneración cuántica .

El modelo de Bohr-Sommerfeld complementó la condición de momento angular cuantificado del modelo de Bohr con una condición de cuantificación radial adicional de William Wilson , la condición de cuantificación de Wilson-Sommerfeld ^{[1] [2]}

${\displaystyle \int _{0}^{T}p_{r}\,dq_{r}=nh,}$

donde p _r es el momento radial conjugado canónicamente a la coordenada q , que es la posición radial, y T es un período orbital completo. La integral es la acción de las coordenadas del ángulo de acción . Esta condición, sugerida por el principio de correspondencia , es la única posible, ya que los números cuánticos son invariantes adiabáticos .

Historia

En 1913, Niels Bohr mostró rudimentos del principio de correspondencia definido posteriormente y lo utilizó para formular un modelo del átomo de hidrógeno que explicaba el espectro lineal . En los años siguientes, Arnold Sommerfeld extendió la regla cuántica a sistemas integrables arbitrarios haciendo uso del principio de invariancia adiabática de los números cuánticos introducido por Hendrik Lorentz y Albert Einstein . Sommerfeld hizo una contribución decisiva ^[3] al cuantificar la componente z del momento angular , lo que en la antigua era cuántica se llamaba "cuantización espacial" (en alemán: Richtungsquantelung ). Esto permitió que las órbitas del electrón fueran elipses en lugar de círculos e introdujo el concepto de degeneración cuántica. La teoría habría explicado correctamente el efecto Zeeman , excepto por la cuestión del espín del electrón . El modelo de Sommerfeld estaba mucho más cerca de la imagen de la mecánica cuántica moderna que el de Bohr.

En la década de 1950, Joseph Keller actualizó la cuantificación de Bohr-Sommerfeld utilizando la interpretación de Einstein de 1917, ^[4] ahora conocida como método de Einstein-Brillouin-Keller . En 1971, Martin Gutzwiller tuvo en cuenta que este método sólo funciona para sistemas integrables y derivó una forma semiclásica de cuantificar sistemas caóticos a partir de integrales de trayectoria . ^[5]

Predicciones

El modelo de Sommerfeld predijo que el momento magnético de un átomo medido a lo largo de un eje sólo tomará valores discretos, un resultado que parece contradecir la invariancia rotacional pero que fue confirmado por el experimento de Stern-Gerlach . Este fue un paso significativo en el desarrollo de la mecánica cuántica. También describió la posibilidad de que los niveles de energía atómica sean divididos por un campo magnético (llamado efecto Zeeman). Walther Kossel trabajó con Bohr y Sommerfeld en el modelo del átomo de Bohr-Sommerfeld introduciendo dos electrones en la primera capa y ocho en la segunda. ^[6]

Asuntos

El modelo de Bohr-Sommerfeld era fundamentalmente inconsistente y dio lugar a muchas paradojas. El número cuántico magnético medía la inclinación del plano orbital con respecto al plano xy  , y sólo podía tomar unos pocos valores discretos. Esto contradecía el hecho obvio de que un átomo podía girarse de un lado a otro con respecto a las coordenadas sin restricción. La cuantificación de Sommerfeld se puede realizar en diferentes coordenadas canónicas y, en ocasiones, da diferentes respuestas. La incorporación de correcciones de radiación fue difícil porque requirió encontrar coordenadas de ángulo de acción para un sistema combinado de radiación/átomo, lo cual es difícil cuando se permite que la radiación escape. Toda la teoría no se extendía a los movimientos no integrables, lo que significaba que muchos sistemas no podían tratarse ni siquiera en principio. Al final, el modelo fue sustituido por el moderno tratamiento mecánico-cuántico del átomo de hidrógeno, propuesto por primera vez por Wolfgang Pauli en 1925, utilizando la mecánica matricial de Heisenberg . La imagen actual del átomo de hidrógeno se basa en los orbitales atómicos de la mecánica ondulatoria , que Erwin Schrödinger desarrolló en 1926.

Sin embargo, esto no quiere decir que el modelo de Bohr-Sommerfeld no haya tenido éxitos. Los cálculos basados ​​en el modelo de Bohr-Sommerfeld pudieron explicar con precisión una serie de efectos espectrales atómicos más complejos. Por ejemplo, hasta las perturbaciones de primer orden , el modelo de Bohr y la mecánica cuántica hacen las mismas predicciones para la división de la línea espectral en el efecto Stark . Sin embargo, en perturbaciones de orden superior, el modelo de Bohr y la mecánica cuántica difieren, y las mediciones del efecto Stark bajo altas intensidades de campo ayudaron a confirmar la exactitud de la mecánica cuántica respecto del modelo de Bohr. La teoría predominante detrás de esta diferencia radica en las formas de los orbitales de los electrones, que varían según el estado energético del electrón.

Las condiciones de cuantificación de Bohr-Sommerfeld plantean interrogantes en las matemáticas modernas. La condición de cuantificación semiclásica consistente requiere un cierto tipo de estructura en el espacio de fase, lo que impone limitaciones topológicas a los tipos de variedades simplécticas que pueden cuantificarse. En particular, la forma simpléctica debe ser la forma de curvatura de una conexión de un haz de líneas hermitianas , lo que se denomina precuantización .

Órbita relativista

Órbitas elípticas con la misma energía y momento angular cuantificado.

Arnold Sommerfeld derivó la solución relativista de los niveles de energía atómica. ^[3] Comenzaremos esta derivación ^[7] con la ecuación relativista para la energía en el potencial eléctrico.

${\displaystyle W={m_{\mathrm {0} }c^{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)-k{\frac {Ze^{2}}{r}}}$

Después de la sustitución obtenemos ${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}+k{\frac {Ze^{2}}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}u}$

Para el momento y su relación , la ecuación de movimiento es (ver ecuación de Binet ) ${\displaystyle p_{\mathrm {r} }=m{\dot {r}}}$ ${\displaystyle p_{\mathrm {\varphi } }=mr^{2}{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\frac {p_{\mathrm {r} }}{p_{\mathrm {\varphi } }}}=-{\frac {du}{d\varphi }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=-\left(1-k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\right)u+{\frac {m_{\mathrm {0} }kZe^{2}}{p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\left(1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}\right)=-\omega _{\mathrm {0} }^{2}u+K}$

con solucion

${\displaystyle u={\frac {1}{r}}=K+A\cos \omega _{\mathrm {0} }\varphi }$

El desplazamiento angular del periapsis por revolución viene dado por

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {s} }=2\pi \left({\frac {1}{\omega _{\mathrm {0} }}}-1\right)\approx 4\pi ^{3}k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}n_{\mathrm {\varphi } }^{2}h^{2}}}}$

Con las condiciones cuánticas

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {\varphi } }\,d\varphi =2\pi p_{\mathrm {\varphi } }=n_{\mathrm {\varphi } }h}$

y

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {r} }\,dr=p_{\mathrm {\varphi } }\oint \left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\,d\varphi =n_{\mathrm {r} }h}$

obtendremos energías

${\displaystyle {\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}=\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{\mathrm {r} }+{\sqrt {n_{\mathrm {\varphi } }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2}-1}$

¿ Dónde está la constante de estructura fina ? Esta solución (usando sustituciones de números cuánticos) es equivalente a la solución de la ecuación de Dirac . ^[8] Sin embargo, ambas soluciones no logran predecir los cambios de Lamb . ${\displaystyle \alpha }$

Ver también

• modelo de bohr
• Vieja teoría cuántica

Referencias

1. A. Sommerfeld (1916). "Zur Quantentheorie der Spektrallinien". Annalen der Physik (en alemán). 51 (17): 1–94. Código bibliográfico : 1916AnP...356....1S. doi : 10.1002/andp.19163561702.
2. W. Wilson (1915). "La teoría cuántica de la radiación y los espectros lineales". Revista Filosófica . 29 (174): 795–802. doi :10.1080/14786440608635362.
3. Sommerfeld, Arnold (1919). Atombau und Spektrallinien'. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 978-3-87144-484-5.
4. Los artículos recopilados de Albert Einstein, vol. 6, A. Engel, trad., Princeton U. Press, Princeton, Nueva Jersey (1997), pág. 434
5. Stone, AD (agosto de 2005). "La intuición desconocida de Einstein y el problema de cuantificar el caos" (PDF) . Física hoy . 58 (8): 37–43. Código Bib : 2005PhT....58h..37S. doi : 10.1063/1.2062917.
6. Heilbron, John L. (1967). "La teoría de Kossel-Sommerfeld y el átomo del anillo". Isis . 58 (4): 450–485. doi :10.1086/350299. JSTOR  228422. S2CID  144639796.
7. https://archive.org/details/atombauundspekt00sommgoog/page/n541 - Atombau und Spektrallinien, 1921, página 520
8. Ya I Granovski (2004). "Fórmula de Sommerfeld y teoría de Dirac" (PDF) . Física-Uspekhi . 47 (5): 523–524. Código Bib : 2004PhyU...47..523G. doi :10.1070/PU2004v047n05ABEH001885. S2CID  250900220.