Ley de Biot-Savart

Ley importante del magnetismo clásico.

En física , específicamente en electromagnetismo , la ley de Biot-Savart ( / ˈ b iː oʊ s ə ˈ v ɑːr / o / ˈ b j oʊ s ə ˈ v ɑːr / ) ^[1] es una ecuación que describe el campo magnético generado por una constante corriente eléctrica . Relaciona el campo magnético con la magnitud, dirección, longitud y proximidad de la corriente eléctrica.

La ley de Biot-Savart es fundamental para la magnetostática . Es válido en la aproximación magnetostática y consistente tanto con la ley de circuitos de Ampère como con la ley de Gauss para el magnetismo . ^[2] Cuando la magnetostática no se aplica, la ley de Biot-Savart debe ser reemplazada por las ecuaciones de Jefimenko . La ley lleva el nombre de Jean-Baptiste Biot y Félix Savart , quienes descubrieron esta relación en 1820.

Ecuación

En las siguientes ecuaciones, se supone que el medio no es magnético (por ejemplo, vacío). Esto permite derivar directamente el campo magnético B , mientras que el vector fundamental aquí es H. ^[3]

Corrientes eléctricas (a lo largo de una curva cerrada/cable)

Se muestran las direcciones de , y el valor de ${\displaystyle Id{\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }$ ${\displaystyle |\mathbf {r'} |}$

La ley de Biot-Savart ^{[4] : ​​la sección 5-2-1} se utiliza para calcular la densidad de flujo magnético resultante B en la posición r en el espacio 3D generado por una corriente filamentosa I (por ejemplo, debida a un cable). Una corriente constante (o estacionaria) es un flujo continuo de cargas que no cambia con el tiempo y la carga no se acumula ni se agota en ningún punto. La ley es un ejemplo físico de una integral de línea , que se evalúa sobre el camino C por el que fluyen las corrientes eléctricas (por ejemplo, el cable). La ecuación en unidades SI teslas (T) es ^[5]

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}}$

donde es un vector a lo largo del camino cuya magnitud es la longitud del elemento diferencial del cable en la dirección de la corriente convencional , es un punto en el camino y es el vector de desplazamiento total desde el elemento del cable ( ) en el punto hasta el punto en cual se está calculando el campo ( ), y μ ₀ es la constante magnética . Alternativamente: ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {r'} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r'} |^{2}}}}$$

vector unitariocantidades vectoriales ${\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }$ ${\displaystyle \mathbf {r'} }$

La integral suele ser alrededor de una curva cerrada , ya que las corrientes eléctricas estacionarias sólo pueden fluir por caminos cerrados cuando están acotados. Sin embargo, la ley también se aplica a cables infinitamente largos (este concepto se utilizó en la definición de la unidad SI de corriente eléctrica, el amperio , hasta el 20 de mayo de 2019).

Para aplicar la ecuación se elige arbitrariamente el punto del espacio donde se desea calcular el campo magnético ( ). Manteniendo ese punto fijo, se calcula la integral de línea sobre la trayectoria de la corriente eléctrica para encontrar el campo magnético total en ese punto. La aplicación de esta ley se basa implícitamente en el principio de superposición de campos magnéticos, es decir, el hecho de que el campo magnético es una suma vectorial del campo creado por cada sección infinitesimal del cable individualmente. ^[6] ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Por ejemplo, considere el campo magnético de una espira de radio que transporta una corriente. Para un punto situado a una distancia a lo largo de la línea central de la espira, el vector del campo magnético en ese punto es: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \mathbf {B} ({\hat {\mathbf {x} }})={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(x^{2}+R^{2})^{3/2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$$

^{[4] : Sec 5-2, Ecn (25)}bobina de HelmholtzsolenoideMagsail . integrales elípticas^[7] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$

Densidad de corriente eléctrica (en todo el volumen del conductor)

Las formulaciones dadas anteriormente funcionan bien cuando se puede aproximar que la corriente pasa a través de un cable infinitamente estrecho. Si el conductor tiene cierto espesor, la formulación adecuada de la ley de Biot-Savart (nuevamente en unidades SI ) es:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {(\mathbf {J} \,dV)\times \mathbf {r} '}{|\mathbf {r} '|^{3}}}}$

donde es el vector desde dV hasta el punto de observación , es el elemento de volumen y es el vector de densidad de corriente en ese volumen (en SI en unidades de A/m ² ). ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

En términos de vector unitario ${\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }$

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ dV{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}}$$

Corriente uniforme constante

En el caso especial de una corriente constante uniforme I , el campo magnético es ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{C}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}}$$

Carga puntual a velocidad constante

En el caso de una partícula con carga puntual q que se mueve a una velocidad constante v , las ecuaciones de Maxwell dan la siguiente expresión para el campo eléctrico y el campo magnético: ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)^{\frac {3}{2}}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}\\\mathbf {H} &=\mathbf {v} \times \mathbf {D} \\\mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \end{aligned}}}$$

la transformación de Lorentzfuerza de Coulombde cuatro fuerzas^[9] ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} '}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$

Cuando v ² ≪ c ² , el campo eléctrico y el campo magnético se pueden aproximar como ^[8]

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}}$$

Estas ecuaciones fueron derivadas por primera vez por Oliver Heaviside en 1888. Algunos autores ^{[10] [11]} llaman a la ecuación anterior "ley de Biot-Savart para una carga puntual" debido a su gran parecido con la ley estándar de Biot-Savart. Sin embargo, este lenguaje es engañoso ya que la ley de Biot-Savart se aplica sólo a corrientes estacionarias y una carga puntual que se mueve en el espacio no constituye una corriente estacionaria. ^[12] ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Aplicaciones de respuestas magnéticas

La ley de Biot-Savart se puede utilizar en el cálculo de respuestas magnéticas incluso a nivel atómico o molecular, por ejemplo, blindajes químicos o susceptibilidades magnéticas , siempre que la densidad de corriente pueda obtenerse a partir de un cálculo o teoría de la mecánica cuántica.

Aplicaciones de aerodinámica

La figura muestra la velocidad ( ) inducida en un punto P por un elemento de filamento de vórtice ( ) de fuerza . ${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle dl}$ ${\displaystyle \Gamma }$

La ley de Biot-Savart también se utiliza en teoría aerodinámica para calcular la velocidad inducida por las líneas de vórtice .

En la aplicación aerodinámica , los papeles de la vorticidad y la corriente se invierten en comparación con la aplicación magnética.

En el artículo de Maxwell de 1861 'Sobre líneas físicas de fuerza', ^[13] la intensidad del campo magnético H se equiparaba directamente con la vorticidad pura (giro), mientras que B era una vorticidad ponderada que se ponderaba según la densidad del mar de vórtice. Maxwell consideró la permeabilidad magnética μ como una medida de la densidad del mar de vórtices. De ahí la relación,

Corriente de inducción magnética

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$$

era esencialmente una analogía rotacional con la relación lineal de la corriente eléctrica,

Corriente de convección eléctrica

$${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} ,}$$

donde ρ es la densidad de carga eléctrica.

B fue visto como una especie de corriente magnética de vórtices alineados en sus planos axiales, siendo H la velocidad circunferencial de los vórtices.

La ecuación de la corriente eléctrica puede verse como una corriente convectiva de carga eléctrica que implica movimiento lineal. Por analogía, la ecuación magnética es una corriente inductiva que involucra espín. No hay movimiento lineal en la corriente inductiva a lo largo de la dirección del vector B. La corriente inductiva magnética representa líneas de fuerza. En particular, representa líneas de fuerza de la ley del cuadrado inverso.

En aerodinámica, las corrientes de aire inducidas forman anillos solenoidales alrededor de un eje de vórtice. Se puede hacer una analogía de que el eje del vórtice desempeña el papel que desempeña la corriente eléctrica en el magnetismo . Esto coloca a las corrientes de aire de la aerodinámica (campo de velocidad del fluido) en el papel equivalente del vector de inducción magnética B en el electromagnetismo.

En electromagnetismo, las líneas B forman anillos solenoidales alrededor de la fuente de corriente eléctrica, mientras que en aerodinámica, las corrientes de aire (velocidad) forman anillos solenoidales alrededor del eje del vórtice fuente.

Por lo tanto, en electromagnetismo, el vórtice desempeña el papel de "efecto", mientras que en aerodinámica, el vórtice desempeña el papel de "causa". Sin embargo, cuando miramos las líneas B de forma aislada, vemos exactamente el escenario aerodinámico en la medida en que B es el eje del vórtice y H es la velocidad circunferencial, como en el artículo de Maxwell de 1861.

En dos dimensiones , para una línea de vórtice de longitud infinita, la velocidad inducida en un punto viene dada por

$${\displaystyle v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$$

Γr

Este es un caso límite de la fórmula para segmentos de vórtice de longitud finita (similar a un alambre finito):

$${\displaystyle v={\frac {\Gamma }{4\pi r}}\left[\cos A-\cos B\right]}$$

AB

La ley de Biot-Savart, la ley del circuito de Ampère y la ley de Gauss para el magnetismo

En una situación magnetostática , el campo magnético B calculado a partir de la ley de Biot-Savart siempre satisfará la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Ampère : ^[14]

Prueba

Empezando por la ley Biot-Savart:

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}}}}$$

Sustituyendo la relación

$${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)}$$

y usando la regla del producto para rizos , así como el hecho de que J no depende de , esta ecuación se puede reescribir como ^[14] ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \iiint _{V}d^{3}l{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {l} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}}$$

Dado que la divergencia de un rizo es siempre cero, esto establece la ley de Gauss para el magnetismo . Luego, tomando el rizo de ambos lados, usando la fórmula para el rizo de un rizo y nuevamente usando el hecho de que J no depende de , eventualmente obtenemos el resultado ^[14] ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\cdot \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)}$$

Finalmente, conectando las relaciones ^[14]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)&=-\nabla _{l}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right),\\\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)&=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {l} )\end{aligned}}}$$

(donde δ es la función delta de Dirac ), utilizando el hecho de que la divergencia de J es cero (debido al supuesto de la magnetostática ), y realizando una integración por partes , el resultado resulta ser ^[14]

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }$$

es decir, la ley de Ampère . (Debido a la suposición de la magnetostática , no hay ningún término de corriente de desplazamiento adicional en la ley de Ampère). ${\displaystyle \partial \mathbf {E} /\partial t=\mathbf {0} }$

En una situación no magnetostática, la ley de Biot-Savart deja de ser cierta (es reemplazada por las ecuaciones de Jefimenko ), mientras que la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Maxwell-Ampère siguen siendo verdaderas.

Antecedentes teóricos

Inicialmente, la ley de Biot-Savart se descubrió experimentalmente, luego esta ley se derivó teóricamente de diferentes maneras. En The Feynman Lectures on Physics , al principio se enfatiza la similitud de las expresiones para el potencial eléctrico fuera de la distribución estática de cargas y el potencial del vector magnético fuera del sistema de corrientes distribuidas continuamente, y luego se calcula el campo magnético a través del rizo de el potencial vectorial. ^[15] Otro enfoque implica una solución general de la ecuación de onda no homogénea para el potencial vectorial en el caso de corrientes constantes. ^[16] El campo magnético también se puede calcular como consecuencia de las transformaciones de Lorentz para la fuerza electromagnética que actúa desde una partícula cargada sobre otra partícula. ^[17] Otras dos formas de derivar la ley de Biot-Savart incluyen: 1) Transformación de Lorentz de los componentes del tensor electromagnético desde un marco de referencia en movimiento, donde solo hay un campo eléctrico de alguna distribución de cargas, a un marco de referencia estacionario. , en el que se mueven estas cargas. 2) el uso del método de los potenciales retardados .

Ver también

Gente

• André-Marie Ampère
• James Clerk Maxwell
• Pierre-Simon Laplace

Electromagnetismo

• Darwin Lagrangiano

Notas

1. "Ley Biot-Savart". Diccionario íntegro de Random House Webster .
2. Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York: Wiley. Capítulo 5. ISBN 0-471-30932-X.
3. Landau, LD; Lifshitz, EM (1980). La teoría clásica de los campos: volumen 2 (4ª ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0750627689.
4. Zhan, Marcus (2003). "Teoría del campo electromagnético: un enfoque de resolución de problemas". vaca.mit.edu . Consultado el 3 de julio de 2022 .
5. Electromagnetismo (segunda edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 
6. El principio de superposición se aplica a los campos eléctrico y magnético porque son la solución a un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales , concretamente las ecuaciones de Maxwell , donde la corriente es uno de los "términos fuente".
7. Tierra libre, RM (2015). "Matemáticas de Magsail". Revista de la Sociedad Interplanetaria Británica . 68 : 306–323 - vía bis-space.com.
8. Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. págs. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X.
9. Rosser, WGV (1968). Electromagnetismo clásico vía la relatividad. págs. 29–42. doi :10.1007/978-1-4899-6559-2. ISBN 978-1-4899-6258-4.
10. Caballero, Randall (2017). Física para científicos e ingenieros (4ª ed.). Educación superior Pearson. pag. 800.
11. "Campo magnético de una carga puntual en movimiento". Archivado desde el original el 19 de junio de 2009 . Consultado el 30 de septiembre de 2009 .
12. Consulte la nota a pie de página de advertencia en Griffiths p. 219 o la discusión en Jackson p. 175–176.
13. Maxwell, JC "Sobre las líneas físicas de fuerza" (PDF) . Bienes comunes de Wikimedia . Consultado el 25 de diciembre de 2011 .
14. Véase Jackson, páginas 178–79 o Griffiths p. 222–24. La presentación en Griffiths es particularmente minuciosa, con todos los detalles detallados.
15. Las conferencias Feynman sobre física vol. II Cap. 14: El campo magnético en diversas situaciones
16. David Tong. Conferencias sobre electromagnetismo. Universidad de Cambridge, Tripos Matemáticos Parte IB y Parte II (2015). http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/em.html.
17. Daniel Zile y James Overdui. Derivación de la ley de Biot-Savart a partir de la ley de Coulomb e implicaciones para la gravedad. Reunión de abril de 2014 de la APS, id. abstracto. D1.033. https://doi.org/10.1103/BAPS.2014.APRIL.D1.33.

Referencias

• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Feynman, Richard (2005). Las conferencias Feynman sobre física (2ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-9045-2.

Otras lecturas

• Electricidad y física moderna (segunda edición), GAG Bennet, Edward Arnold (Reino Unido), 1974, ISBN 0-7131-2459-8 
• Principios esenciales de la física, PM Whelan, MJ Hodgeson, segunda edición, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1 
• Manual de fórmulas físicas de Cambridge, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Física para científicos e ingenieros: con física moderna (sexta edición), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7 
• Encyclopaedia of Physics (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Enciclopedia de Física McGraw Hill (segunda edición), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 

enlaces externos

• Medios relacionados con la ley Biot-Savart en Wikimedia Commons
• MISN-0-125 La ley Ampère-Laplace-Biot-Savart por Orilla McHarris y Peter Signell para el Proyecto PHYSNET.