Número de Betti

Aproximadamente, el número de agujeros de dimensión k en una superficie topológica

En topología algebraica , los números de Betti se utilizan para distinguir espacios topológicos en función de la conectividad de complejos simpliciales de n dimensiones . Para los espacios de dimensión finita más razonables (como las variedades compactas , los complejos simpliciales finitos o los complejos CW ), la secuencia de números de Betti es 0 a partir de cierto punto (los números de Betti se anulan por encima de la dimensión de un espacio) y todos son finitos.

El n ^-ésimo número de Betti representa el rango del n- ^ésimo grupo de homología , denotado H _n , que nos dice el número máximo de cortes que se pueden hacer antes de separar una superficie en dos piezas o 0-ciclos, 1-ciclos, etc. ^[1] Por ejemplo, si entonces , si entonces , si entonces , si entonces , etc. Nótese que solo se consideran los rangos de grupos infinitos, así que por ejemplo si , donde es el grupo cíclico finito de orden 2, entonces . Estos componentes finitos de los grupos de homología son sus subgrupos de torsión , y se denotan por coeficientes de torsión . ${\displaystyle H_{n}(X)\cong 0}$ ${\displaystyle b_{n}(X)=0}$ ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b_{n}(X)=1}$ ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b_{n}(X)=2}$ ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b_{n}(X)=3}$ ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} ^{k}\oplus \mathbb {Z} /(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2)}$ ${\displaystyle b_{n}(X)=k}$

El término "números de Betti" fue acuñado por Henri Poincaré en honor a Enrico Betti . La formulación moderna se debe a Emmy Noether . Los números de Betti se utilizan hoy en día en campos como la homología simplicial , la informática y las imágenes digitales .

Interpretación geométrica

Para un toro, el primer número de Betti es b ₁ = 2 , que puede considerarse intuitivamente como el número de "agujeros" circulares.

De manera informal, el k -ésimo número de Betti se refiere al número de agujeros de dimensión k en una superficie topológica. Un " agujero de dimensión k " es un ciclo de dimensión k que no es un límite de un objeto de dimensión ( k +1).

Los primeros números de Betti tienen las siguientes definiciones para complejos simpliciales de dimensión 0, 1 y 2 :

• b ₀ es el número de componentes conectados;
• b ₁ es el número de agujeros unidimensionales o "circulares";
• b ₂ es el número de "vacíos" o "cavidades" bidimensionales.

Así, por ejemplo, un toro tiene un componente de superficie conectado, de modo que b ₀ = 1, dos agujeros "circulares" (uno ecuatorial y otro meridional ), de modo que b ₁ = 2, y una única cavidad encerrada dentro de la superficie, de modo que b ₂ = 1.

Otra interpretación de b _k es el número máximo de curvas k -dimensionales que se pueden eliminar mientras el objeto permanece conectado. Por ejemplo, el toro permanece conectado después de eliminar dos curvas unidimensionales (ecuatorial y meridional), por lo que b ₁ = 2. ^[2]

Los números Betti bidimensionales son más fáciles de entender porque podemos ver el mundo en 0, 1, 2 y 3 dimensiones.

Definición formal

Para un entero  no negativo k , el k ésimo número de Betti b _k ( X ) del espacio X se define como el rango (número de generadores linealmente independientes) del grupo abeliano H _k ( X ), el k ésimo grupo de homología de  X . El k ésimo grupo de homología es , las s son las funciones límite del complejo simplicial y el rango de H _k es el k ésimo número de Betti. De manera equivalente, se puede definir como la dimensión del espacio vectorial de H _k ( X ;  Q ) ya que el grupo de homología en este caso es un espacio vectorial sobre  Q . El teorema del coeficiente universal , en un caso muy simple sin torsión, muestra que estas definiciones son las mismas. ${\displaystyle H_{k}=\ker \delta _{k}/\operatorname {Im} \delta _{k+1}}$ ${\displaystyle \delta _{k}}$

De manera más general, dado un campo F se puede definir b _k ( X ,  F ), el k -ésimo número de Betti con coeficientes en F , como la dimensión del espacio vectorial de H _k ( X ,  F ).

Polinomio de Poincaré

El polinomio de Poincaré de una superficie se define como la función generadora de sus números de Betti. Por ejemplo, los números de Betti del toro son 1, 2 y 1; por lo tanto, su polinomio de Poincaré es . La misma definición se aplica a cualquier espacio topológico que tenga una homología finitamente generada. ${\displaystyle 1+2x+x^{2}}$

Dado un espacio topológico que tiene una homología generada finitamente, el polinomio de Poincaré se define como la función generadora de sus números de Betti, a través del polinomio donde el coeficiente de es . ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Ejemplos

Números de Betti de un gráfico

Consideremos un grafo topológico G en el que el conjunto de vértices es V , el conjunto de aristas es E y el conjunto de componentes conexos es C . Como se explica en la página sobre homología de grafos , sus grupos de homología están dados por:

${\displaystyle H_{k}(G)={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{|C|}&k=0\\\mathbb {Z} ^{|E|+|C|-|V|}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Esto se puede demostrar directamente por inducción matemática sobre el número de aristas. Una nueva arista incrementa el número de ciclos 1 o disminuye el número de componentes conectados.

Por lo tanto, el número de Betti "cero" b ₀ ( G ) es igual a | C |, que es simplemente el número de componentes conectados. ^[3]

El primer número de Betti b ₁ ( G ) es igual a | E | + | C | - | V |. También se denomina número ciclomático , un término introducido por Gustav Kirchhoff antes del artículo de Betti. ^[4] Véase complejidad ciclomática para una aplicación a la ingeniería de software .

Todos los demás números de Betti son 0.

Números de Betti de un complejo simplicial

Consideremos un complejo simplicial con 0-símplices: a, b, c y d, 1-símplices: E, F, G, H e I, y el único 2-símplice es J, que es la región sombreada en la figura. Hay un componente conexo en esta figura ( b ₀ ); un agujero, que es la región no sombreada ( b ₁ ); y ningún "vacío" o "cavidad" ( b ₂ ).

Esto significa que el rango de es 1, el rango de es 1 y el rango de es 0. ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

La secuencia de números de Betti para esta figura es 1, 1, 0, 0, ...; el polinomio de Poincaré es . ${\displaystyle 1+x\,}$

Números de Betti del plano proyectivo

Los grupos de homología del plano proyectivo P son: ^[5]

${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Aquí, Z ₂ es el grupo cíclico de orden 2. El 0-ésimo número de Betti es nuevamente 1. Sin embargo, el 1-er número de Betti es 0. Esto se debe a que H ₁ ( P ) es un grupo finito - no tiene ningún componente infinito. El componente finito del grupo se llama coeficiente de torsión de P . Los números de Betti (racionales) b _k ( X ) no tienen en cuenta ninguna torsión en los grupos de homología, pero son invariantes topológicos básicos muy útiles. En los términos más intuitivos, permiten contar el número de agujeros de diferentes dimensiones.

Propiedades

Característica de Euler

Para un complejo CW finito K tenemos

${\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,F),\,}$

donde denota la característica de Euler de K y cualquier campo  F . ${\displaystyle \chi (K)}$

Producto cartesiano

Para cualesquiera dos espacios X e Y tenemos

${\displaystyle P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},}$

donde denota el polinomio de Poincaré de X , (más generalmente, la serie de Hilbert–Poincaré , para espacios de dimensión infinita), es decir, la función generadora de los números de Betti de X : ${\displaystyle P_{X}}$

${\displaystyle P_{X}(z)=b_{0}(X)+b_{1}(X)z+b_{2}(X)z^{2}+\cdots ,\,\!}$

Véase teorema de Künneth .

Simetría

Si X es una variedad n -dimensional, existe simetría que intercambia y , para cualquier : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X),}$

bajo condiciones (una variedad cerrada y orientada ); véase dualidad de Poincaré .

Diferentes coeficientes

La dependencia del campo F es solo a través de su característica . Si los grupos de homología están libres de torsión , los números de Betti son independientes de F . La conexión de p -torsión y el número de Betti para la característica  p , para p un número primo, se da en detalle por el teorema del coeficiente universal (basado en functores Tor , pero en un caso simple).

Más ejemplos

1. La secuencia de números de Betti para un círculo es 1, 1, 0, 0, 0, ...;

   El polinomio de Poincaré es

   ${\displaystyle 1+x\,}$.

2. La secuencia de números de Betti para un toro de tres es 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ... .

   El polinomio de Poincaré es

   ${\displaystyle (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,}$.

3. De manera similar, para un toro n ,

   El polinomio de Poincaré es

   ${\displaystyle (1+x)^{n}\,}$(por el teorema de Künneth ), por lo que los números de Betti son los coeficientes binomiales .

Es posible que espacios que son de dimensión infinita de manera esencial tengan una secuencia infinita de números de Betti distintos de cero. Un ejemplo es el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , con secuencia 1, 0, 1, 0, 1, ... que es periódico, con una longitud de período de 2. En este caso la función de Poincaré no es un polinomio sino una serie infinita

${\displaystyle 1+x^{2}+x^{4}+\dotsb }$,

que, siendo una serie geométrica, puede expresarse como la función racional

${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}.}$

De manera más general, cualquier secuencia que sea periódica se puede expresar como una suma de series geométricas, generalizando lo anterior. Por ejemplo, tiene la función generadora ${\displaystyle a,b,c,a,b,c,\dots ,}$

${\displaystyle \left(a+bx+cx^{2}\right)/\left(1-x^{3}\right)\,}$

y, de manera más general, las secuencias recursivas lineales son exactamente las secuencias generadas por funciones racionales ; por lo tanto, la serie de Poincaré se puede expresar como una función racional si y sólo si la secuencia de números de Betti es una secuencia recursiva lineal.

Los polinomios de Poincaré de los grupos de Lie simples compactos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{SU(n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{5}\right)\cdots \left(1+x^{2n+1}\right)\\P_{SO(2n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{Sp(n)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{SO(2n)}(x)&=\left(1+x^{2n-1}\right)\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-5}\right)\\P_{G_{2}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\\P_{F_{4}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{6}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{9}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{17}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{7}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{19}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\\P_{E_{8}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\left(1+x^{39}\right)\left(1+x^{47}\right)\left(1+x^{59}\right)\end{aligned}}}$

Relación con dimensiones de espacios de formas diferenciales

En situaciones geométricas en las que es una variedad cerrada , la importancia de los números de Betti puede surgir de una dirección diferente, a saber, que predicen las dimensiones de los espacios vectoriales de formas diferenciales cerradas módulo formas diferenciales exactas . La conexión con la definición dada anteriormente se da a través de tres resultados básicos, el teorema de De Rham y la dualidad de Poincaré (cuando se aplican), y el teorema del coeficiente universal de la teoría de homología . ${\displaystyle X}$

Existe una lectura alternativa, a saber, que los números de Betti dan las dimensiones de los espacios de formas armónicas . Esto requiere el uso de algunos de los resultados de la teoría de Hodge sobre el laplaciano de Hodge .

En este contexto, la teoría de Morse proporciona un conjunto de desigualdades para sumas alternas de números de Betti en términos de una suma alterna correspondiente del número de puntos críticos de una función de Morse de un índice dado : ${\displaystyle N_{i}}$

${\displaystyle b_{i}(X)-b_{i-1}(X)+\cdots \leq N_{i}-N_{i-1}+\cdots .}$

Edward Witten dio una explicación de estas desigualdades utilizando la función Morse para modificar la derivada exterior en el complejo de De Rham . ^[6]

Véase también

• Análisis de datos topológicos
• Coeficiente de torsión
• Característica de Euler

Referencias

1. Barile y Weisstein, Margherita y Eric. "Número de Betti". De MathWorld--Un recurso web de Wolfram.
2. Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Albin, Pierre (2019). "Historia de la topología algebraica". YouTube .
3. Per Hage (1996). Redes de islas: comunicación, parentesco y estructuras de clasificación en Oceanía. Cambridge University Press. pág. 49. ISBN 978-0-521-55232-5.
4. Peter Robert Kotiuga (2010). Una celebración del legado matemático de Raoul Bott. American Mathematical Soc. pág. 20. ISBN 978-0-8218-8381-5.
5. Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Wildberger, Norman J. (2012). "Complejos delta, números de Betti y torsión". YouTube .
6. Witten, Edward (1982), "Supersimetría y teoría de Morse", Journal of Differential Geometry , 17 (4): 661–692, doi : 10.4310/jdg/1214437492

• Warner, Frank Wilson (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90894-3.
• Roe, John (1998), Operadores elípticos, topología y métodos asintóticos , Research Notes in Mathematics Series, vol. 395 (segunda edición), Boca Raton, FL: Chapman and Hall, ISBN 0-582-32502-1.