Esquema de Bernoulli

Generalización del proceso de Bernoulli a más de dos resultados posibles

En matemáticas , el esquema de Bernoulli o desplazamiento de Bernoulli es una generalización del proceso de Bernoulli a más de dos resultados posibles. ^{[1] [2]} Los esquemas de Bernoulli aparecen de forma natural en la dinámica simbólica y, por tanto, son importantes en el estudio de los sistemas dinámicos . Muchos sistemas dinámicos importantes (como los sistemas Axiom A ) presentan un repelente que es el producto del conjunto de Cantor y una variedad suave , y la dinámica en el conjunto de Cantor es isomorfa a la del desplazamiento de Bernoulli. ^[3] Esto es esencialmente la partición de Markov . El término desplazamiento se refiere al operador de desplazamiento , que puede utilizarse para estudiar los esquemas de Bernoulli. El teorema de isomorfismo de Ornstein ^{[4] [5]} muestra que los desplazamientos de Bernoulli son isomorfos cuando su entropía es igual.

Definición

Un esquema de Bernoulli es un proceso estocástico de tiempo discreto donde cada variable aleatoria independiente puede tomar uno de N valores posibles distintos, y el resultado i ocurre con probabilidad , con i  = 1, ...,  N , y ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}p_{i}=1.}$

El espacio muestral se suele denotar como

${\displaystyle X=\{1,\ldots ,N\}^{\mathbb {Z} }}$

como una abreviatura de

${\displaystyle X=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in \{1,\ldots ,N\}\;\forall k\in \mathbb {Z} \}.}$

La medida asociada se llama medida de Bernoulli ^[6]

${\displaystyle \mu =\{p_{1},\ldots ,p_{N}\}^{\mathbb {Z} }}$

La σ-álgebra sobre X es el producto del álgebra sigma; es decir, es el producto directo (contable) de las σ-álgebras del conjunto finito {1, ...,  N }. Por lo tanto, el triplete ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$

es un espacio de medida . Una base de es el conjunto de cilindros . Dado un conjunto de cilindros , su medida es ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \mu \left([x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]\right)=\prod _{i=0}^{n}p_{x_{i}}}$

La expresión equivalente, utilizando la notación de la teoría de la probabilidad, es

${\displaystyle \mu \left([x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathrm {Pr} (X_{0}=x_{0},X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n})}$

para las variables aleatorias ${\displaystyle \{X_{k}\}}$

El esquema de Bernoulli, como cualquier proceso estocástico, puede verse como un sistema dinámico dotándolo del operador de desplazamiento T donde

${\displaystyle T(x_{k})=x_{k+1}.}$

Dado que los resultados son independientes, el desplazamiento preserva la medida y, por lo tanto, T es una transformación que preserva la medida . El cuatrillo

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$

es un sistema dinámico que preserva la medida y se denomina esquema de Bernoulli o desplazamiento de Bernoulli . A menudo se denota por

${\displaystyle BS(p)=BS(p_{1},\ldots ,p_{N}).}$

El esquema de Bernoulli N = 2 se denomina proceso de Bernoulli . El desplazamiento de Bernoulli puede entenderse como un caso especial del desplazamiento de Markov , donde todas las entradas en la matriz de adyacencia son una, siendo así el grafo correspondiente una camarilla .

Partidos y métricas

La distancia de Hamming proporciona una métrica natural en un esquema de Bernoulli. Otra métrica importante es la denominada métrica , definida a través de un supremo sobre coincidencias de cadenas . ^[7] ${\displaystyle {\overline {f}}}$

Sean y dos cadenas de símbolos. Una coincidencia es una secuencia M de pares de índices en la cadena, es decir, pares tales que se entiende que están totalmente ordenados. Es decir, cada subsecuencia individual y están ordenados: y asimismo ${\displaystyle A=a_{1}a_{2}\cdots a_{m}}$ ${\displaystyle B=b_{1}b_{2}\cdots b_{n}}$ ${\displaystyle (i_{k},j_{k})}$ ${\displaystyle a_{i_{k}}=b_{j_{k}},}$ ${\displaystyle (i_{k})}$ ${\displaystyle (j_{k})}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}\leq m}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{r}\leq n.}$

La - distancia entre y es ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\overline {f}}(A,B)=1-{\frac {2\sup |M|}{m+n}}}$

donde se asume el supremo sobre todas las coincidencias entre y . Esto satisface la desigualdad triangular solo cuando y por lo tanto no es una métrica verdadera; a pesar de esto, se la suele llamar "distancia" en la literatura. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle m=n,}$

Generalizaciones

La mayoría de las propiedades del esquema de Bernoulli se derivan del producto directo numerable , en lugar de del espacio base finito. Por lo tanto, se puede tomar el espacio base como cualquier espacio de probabilidad estándar y definir el esquema de Bernoulli como ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu )}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )=(Y,{\mathcal {B}},\nu )^{\mathbb {Z} }}$

Esto funciona porque el producto directo contable de un espacio de probabilidad estándar es a su vez un espacio de probabilidad estándar.

Como generalización adicional, se pueden reemplazar los números enteros por un grupo discreto contable , de modo que ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )=(Y,{\mathcal {B}},\nu )^{G}}$

Para este último caso, el operador shift se reemplaza por la acción de grupo

${\displaystyle gx(f)=x(g^{-1}f)}$

para los elementos del grupo y entendido como una función (cualquier producto directo puede ser entendido como el conjunto de funciones , ya que este es el objeto exponencial ). La medida se toma como la medida de Haar , que es invariante bajo la acción del grupo: ${\displaystyle f,g\in G}$ ${\displaystyle x\in Y^{G}}$ ${\displaystyle x:G\to Y}$ ${\displaystyle Y^{G}}$ ${\displaystyle [G\to Y]}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (gx)=\mu (x).\,}$

Estas generalizaciones también se denominan comúnmente esquemas de Bernoulli, ya que todavía comparten la mayoría de las propiedades con el caso finito.

Propiedades

Ya. Sinai demostró que la entropía de Kolmogorov de un esquema de Bernoulli está dada por ^{[8] [9]}

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.}$

Esto puede verse como resultado de la definición general de la entropía de un producto cartesiano de espacios de probabilidad, que se desprende de la propiedad de equipartición asintótica . Para el caso de un espacio base general ( es decir , un espacio base que no es numerable), normalmente se considera la entropía relativa . Así, por ejemplo, si se tiene una partición numerable de la base Y , tal que , se puede definir la entropía como ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu )}$ ${\displaystyle Y'\subset Y}$ ${\displaystyle \nu (Y')=1}$

${\displaystyle H_{Y'}=-\sum _{y'\in Y'}\nu (y')\log \nu (y').}$

En general, esta entropía dependerá de la partición; sin embargo, para muchos sistemas dinámicos , es el caso que la dinámica simbólica es independiente de la partición (o más bien, hay isomorfismos que conectan la dinámica simbólica de diferentes particiones, dejando la medida invariante), y por lo tanto dichos sistemas pueden tener una entropía bien definida independiente de la partición.

Teorema de isomorfismo de Ornstein

El teorema de isomorfismo de Ornstein establece que dos esquemas de Bernoulli con la misma entropía son isomorfos . ^[4] El resultado es claro, ^[10] en el sentido de que sistemas muy similares, que no son esquemas, como los automorfismos de Kolmogorov , no tienen esta propiedad.

El teorema de isomorfismo de Ornstein es, de hecho, considerablemente más profundo: proporciona un criterio simple por el cual se puede juzgar que muchos sistemas dinámicos que preservan la medida son isomorfos a los esquemas de Bernoulli. El resultado fue sorprendente, ya que muchos sistemas que anteriormente se creía que no estaban relacionados demostraron ser isomorfos. Estos incluyen todos los procesos estocásticos estacionarios finitos ^{[ aclaración necesaria ]} , los subdesplazamientos de tipo finito , las cadenas de Markov finitas , los flujos de Anosov y los billares de Sinaí : todos ellos son isomorfos a los esquemas de Bernoulli.

Para el caso generalizado, el teorema de isomorfismo de Ornstein todavía se cumple si el grupo G es un grupo susceptible de numeración infinita . ^{[11] [12]}

Automorfismo de Bernoulli

Una transformación invertible que preserva la medida de un espacio de probabilidad estándar (espacio de Lebesgue) se denomina automorfismo de Bernoulli si es isomorfa a un desplazamiento de Bernoulli . ^[13]

Bernoulli libremente

Un sistema se denomina "Bernoulili flexible" si es equivalente de Kakutani a un desplazamiento de Bernoulli; en el caso de entropía cero, si es equivalente de Kakutani a una rotación irracional de un círculo.

Véase también

• Cambio de tipo finito
• Cadena de Markov
• Modelo de Bernoulli oculto

Referencias

1. P. Shields, La teoría de los cambios de Bernoulli , Univ. Chicago Press (1973)
2. Michael S. Keane, "Teoría ergódica y subdesplazamientos de tipo finito", (1991), que aparece como capítulo 2 en Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos , Tim Bedford, Michael Keane y Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN  0-19-853390-X
3. Pierre Gaspard, Caos, dispersión y mecánica estadística (1998), Cambridge University Press
4. Ornstein, Donald (1970). "Los desplazamientos de Bernoulli con la misma entropía son isomorfos". Advances in Mathematics . 4 : 337–352. doi : 10.1016/0001-8708(70)90029-0 .
5. DS Ornstein (2001) [1994], "Teorema de isomorfismo de Ornstein", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
6. Klenke, Achim (2006). Teoría de la probabilidad . Springer-Verlag. ISBN 978-1-84800-047-6.
7. Feldman, Jacob (1976). "Nuevos K {\displaystyle K} -automorfismos y un problema de Kakutani". Revista israelí de matemáticas . 24 (1): 16–38. doi : 10.1007/BF02761426 .
8. Ya.G. Sinai, (1959) "Sobre la noción de entropía de un sistema dinámico", Doklady de la Academia Rusa de Ciencias 124 , págs. 768–771.
9. Ya. G. Sinai, (2007) "Entropía métrica de un sistema dinámico"
10. Hoffman, Christopher (1999). "Máquina de contraejemplo AK {\displaystyle K}". Transacciones de la American Mathematical Society . 351 : 4263–4280.
11. Ornstein, Donald S .; Weiss, Benjamin (1987). "Teoremas de entropía e isomorfismo para acciones de grupos susceptibles". Journal d'Analyse Mathématique . 48 : 1–141. doi : 10.1007/BF02790325 .
12. Bowen, Lewis (2012). "Todo grupo infinito numerable es casi Ornstein". Matemáticas contemporáneas . 567 : 67–78. arXiv : 1103.4424 .
13. Peter Walters (1982) Introducción a la teoría ergódica , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90599-5