Proceso estacionario

Tipo de proceso estocástico

En matemáticas y estadística , un proceso estacionario (o un proceso estricto/estrictamente estacionario o un proceso fuerte/fuertemente estacionario ) es un proceso estocástico cuya distribución de probabilidad conjunta incondicional no cambia cuando se desplaza en el tiempo. En consecuencia, parámetros como la media y la varianza tampoco cambian con el tiempo.

Dado que la estacionariedad es un supuesto subyacente a muchos procedimientos estadísticos utilizados en el análisis de series de tiempo , los datos no estacionarios a menudo se transforman para volverse estacionarios. La causa más común de violación de la estacionariedad es una tendencia en la media, que puede deberse a la presencia de una raíz unitaria o de una tendencia determinista. En el primer caso de una raíz unitaria, los shocks estocásticos tienen efectos permanentes y el proceso no es de reversión a la media . En el segundo caso de una tendencia determinista, el proceso se denomina proceso de tendencia estacionaria y los shocks estocásticos solo tienen efectos transitorios después de los cuales la variable tiende hacia una media de evolución determinista (no constante).

Un proceso estacionario de tendencia no es estrictamente estacionario, pero puede transformarse fácilmente en un proceso estacionario eliminando la tendencia subyacente, que es únicamente una función del tiempo. De manera similar, los procesos con una o más raíces unitarias pueden volverse estacionarios mediante la diferenciación. Un tipo importante de proceso no estacionario que no incluye un comportamiento similar a una tendencia es un proceso cicloestacionario , que es un proceso estocástico que varía cíclicamente con el tiempo.

Para muchas aplicaciones, la estacionariedad en sentido estricto es demasiado restrictiva. Por lo tanto, se emplean otras formas de estacionariedad, como la estacionariedad en sentido amplio o la estacionariedad de orden N. Las definiciones de los diferentes tipos de estacionariedad no son uniformes entre los distintos autores (véase Otra terminología).

Estacionariedad en sentido estricto

Definición

Formalmente, sea un proceso estocástico y sea la función de distribución acumulativa de la distribución conjunta incondicional (es decir, sin referencia a ningún valor de inicio particular) de en momentos . Entonces, se dice que es estrictamente estacionario , fuertemente estacionario o estacionario en sentido estricto si ^{[1] : p. 155} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })}$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{n}+\tau }$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

Como no afecta , es independiente del tiempo. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle F_{X}(\cdot )}$ ${\displaystyle F_{X}}$

Ejemplos

Arriba se muestran dos procesos simulados de series temporales, uno estacionario y el otro no estacionario. Se informa la estadística de prueba Dickey-Fuller aumentada (ADF) para cada proceso; la no estacionariedad no se puede rechazar para el segundo proceso con un nivel de significancia del 5% .

El ruido blanco es el ejemplo más simple de un proceso estacionario.

Un ejemplo de un proceso estacionario de tiempo discreto donde el espacio muestral también es discreto (de modo que la variable aleatoria puede tomar uno de los N valores posibles) es un esquema de Bernoulli . Otros ejemplos de un proceso estacionario de tiempo discreto con espacio muestral continuo incluyen algunos procesos autorregresivos y de promedio móvil que son ambos subconjuntos del modelo autorregresivo de promedio móvil . Los modelos con un componente autorregresivo no trivial pueden ser estacionarios o no estacionarios, dependiendo de los valores de los parámetros, y los casos especiales no estacionarios importantes son aquellos en los que existen raíces unitarias en el modelo.

Ejemplo 1

Sea cualquier variable aleatoria escalar , y definamos una serie temporal , por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

${\displaystyle X_{t}=Y\qquad {\text{ for all }}t.}$

Entonces, se trata de una serie temporal estacionaria, en la que las realizaciones consisten en una serie de valores constantes, con un valor constante diferente para cada realización. En este caso, no se aplica una ley de los grandes números , ya que el valor límite de un promedio de una única realización toma el valor aleatorio determinado por , en lugar de tomar el valor esperado de . ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

El promedio temporal de no converge ya que el proceso no es ergódico . ${\displaystyle X_{t}}$

Ejemplo 2

Como otro ejemplo de un proceso estacionario para el cual cualquier realización individual tiene una estructura aparentemente libre de ruido, supongamos que tenemos una distribución uniforme en y definimos la serie temporal como ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

${\displaystyle X_{t}=\cos(t+Y)\quad {\text{ for }}t\in \mathbb {R} .}$

Entonces es estrictamente estacionario ya que ( módulo ) sigue la misma distribución uniforme que para cualquier . ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle (t+Y)}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$

Ejemplo 3

Tenga en cuenta que un ruido blanco débil no es necesariamente estrictamente estacionario. Sea una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo y defina la serie temporal ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (0,2\pi )}$ ${\displaystyle \left\{z_{t}\right\}}$

${\displaystyle z_{t}=\cos(t\omega )\quad (t=1,2,...)}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} (z_{t})&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(t\omega )\,d\omega =0,\\\operatorname {Var} (z_{t})&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}(t\omega )\,d\omega =1/2,\\\operatorname {Cov} (z_{t},z_{j})&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(t\omega )\cos(j\omega )\,d\omega =0\quad \forall t\neq j.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, es un ruido blanco en sentido débil (la media y las covarianzas cruzadas son cero y las varianzas son todas iguales), pero no es estrictamente estacionario. ${\displaystyle \{z_{t}\}}$

norteestacionariedad de orden th

En la ecuación 1 , la distribución de muestras del proceso estocástico debe ser igual a la distribución de las muestras desplazadas en el tiempo para todos los . La estacionariedad de orden N es una forma más débil de estacionariedad donde esto solo se requiere para todos hasta un cierto orden . Se dice que un proceso aleatorio es estacionario de orden N si: ^{[1] : p. 152} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

Estacionariedad débil o de sentido amplio

Definición

Una forma más débil de estacionariedad que se emplea comúnmente en el procesamiento de señales se conoce como estacionariedad de sentido débil , estacionariedad de sentido amplio (WSS) o estacionariedad de covarianza . Los procesos aleatorios WSS solo requieren que el primer momento (es decir, la media) y la autocovarianza no varíen con respecto al tiempo y que el segundo momento sea finito para todos los tiempos. Cualquier proceso estrictamente estacionario que tenga una media y una covarianza finitas también es WSS. ^{[2] : p. 299}

Entonces, un proceso aleatorio de tiempo continuo que es WSS tiene las siguientes restricciones en su función media y función de autocovarianza : ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle m_{X}(t)\triangleq \operatorname {E} [X_{t}]}$ ${\displaystyle K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]}$

La primera propiedad implica que la función media debe ser constante. La segunda propiedad implica que la función de autocovarianza depende únicamente de la diferencia entre y y solo necesita ser indexada por una variable en lugar de dos variables. ^{[1] : p. 159} Por lo tanto, en lugar de escribir, ${\displaystyle m_{X}(t)}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle \,\!K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)\,}$

La notación suele abreviarse mediante la sustitución : ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

${\displaystyle K_{XX}(\tau )\triangleq K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)}$

Esto también implica que la autocorrelación depende sólo de , es decir ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

${\displaystyle \,\!R_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{1}-t_{2},0)\triangleq R_{X}(\tau ).}$

La tercera propiedad dice que los segundos momentos deben ser finitos para cualquier tiempo . ${\displaystyle t}$

Motivación

La principal ventaja de la estacionariedad en sentido amplio es que coloca la serie temporal en el contexto de los espacios de Hilbert . Sea H el espacio de Hilbert generado por { x ( t )} (es decir, la clausura del conjunto de todas las combinaciones lineales de estas variables aleatorias en el espacio de Hilbert de todas las variables aleatorias integrables al cuadrado en el espacio de probabilidad dado). Por la definitividad positiva de la función de autocovarianza, se sigue del teorema de Bochner que existe una medida positiva en la línea real tal que H es isomorfa al subespacio de Hilbert de L ² ( μ ) generado por { e ^{−2 π iξ⋅t} }. Esto da entonces la siguiente descomposición de tipo Fourier para un proceso estocástico estacionario en el tiempo continuo: existe un proceso estocástico con incrementos ortogonales tal que, para todo ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \omega _{\xi }}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle X_{t}=\int e^{-2\pi i\lambda \cdot t}\,d\omega _{\lambda },}$

donde la integral del lado derecho se interpreta en un sentido adecuado (de Riemann). El mismo resultado se aplica a un proceso estacionario en tiempo discreto, con la medida espectral ahora definida en el círculo unitario.

Al procesar señales aleatorias WSS con filtros lineales invariantes en el tiempo ( LTI ) , resulta útil pensar en la función de correlación como un operador lineal . Dado que es un operador circulante (depende solo de la diferencia entre los dos argumentos), sus funciones propias son las exponenciales complejas de Fourier . Además, dado que las funciones propias de los operadores LTI también son exponenciales complejas , el procesamiento LTI de señales aleatorias WSS es muy manejable: todos los cálculos se pueden realizar en el dominio de la frecuencia . Por lo tanto, el supuesto WSS se emplea ampliamente en algoritmos de procesamiento de señales .

Definición de proceso estocástico complejo

En el caso en que es un proceso estocástico complejo la función de autocovarianza se define como y, además de los requisitos de la ecuación 3 , se requiere que la función de pseudo-autocovarianza dependa únicamente del desfase temporal. En las fórmulas, es WSS, si ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]}$ ${\displaystyle J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]}$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

Estacionariedad conjunta

El concepto de estacionariedad puede extenderse a dos procesos estocásticos.

Estacionariedad conjunta en sentido estricto

Dos procesos estocásticos y se denominan estacionarios en sentido estricto en conjunto si su distribución acumulativa conjunta permanece inalterada ante cambios en el tiempo, es decir, si ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})}$

Articulación (METRO+norte)estacionariedad de orden ésimo

Se dice que dos procesos aleatorios son estacionarios de orden ( M  +  N ) en conjunto si: ^{[1] : p. 159} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

Estacionariedad débil o de sentido amplio de las articulaciones

Dos procesos estocásticos y se denominan conjuntamente estacionarios en sentido amplio si ambos son estacionarios en sentido amplio y su función de covarianza cruzada depende únicamente de la diferencia de tiempo . Esto se puede resumir de la siguiente manera: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]}$ ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

Relación entre los tipos de estacionariedad

• Si un proceso estocástico es estacionario de orden N , entonces también es estacionario de orden M para todo ⁠ ⁠ ${\displaystyle M\leq N}$ .
• Si un proceso estocástico es estacionario de segundo orden ( ) y tiene segundos momentos finitos, entonces también es estacionario en sentido amplio. ^{[1] : p. 159} ${\displaystyle N=2}$
• Si un proceso estocástico es estacionario en sentido amplio, no es necesariamente estacionario de segundo orden. ^{[1] : p. 159}
• Si un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto y tiene segundos momentos finitos, es estacionario en sentido amplio. ^{[2] : p. 299}
• Si dos procesos estocásticos son conjuntamente estacionarios de orden ( M  +  N ), esto no garantiza que los procesos individuales sean estacionarios de orden M y N respectivamente . ^{[1] : p. 159}

Otra terminología

La terminología utilizada para los tipos de estacionariedad distintos de la estacionariedad estricta puede ser bastante variada. A continuación se presentan algunos ejemplos.

• Priestley utiliza estacionario hasta el orden m si se aplican condiciones similares a las dadas aquí para la estacionariedad en sentido amplio en relación con momentos hasta el orden m . ^{[3] [4]} Por lo tanto, la estacionariedad en sentido amplio sería equivalente a "estacionario hasta el orden 2", que es diferente de la definición de estacionariedad de segundo orden dada aquí.
• Honarkhah y Caers también utilizan el supuesto de estacionariedad en el contexto de geoestadísticas de puntos múltiples, donde se supone que las estadísticas de n puntos más altos son estacionarias en el dominio espacial. ^[5]

Diferenciación

Una forma de hacer que algunas series temporales sean estacionarias es calcular las diferencias entre observaciones consecutivas. Esto se conoce como diferenciación . La diferenciación puede ayudar a estabilizar la media de una serie temporal eliminando los cambios en el nivel de una serie temporal y, por lo tanto, eliminando las tendencias. Esto también puede eliminar la estacionalidad, si las diferencias se toman de manera apropiada (por ejemplo, diferenciando observaciones con un año de diferencia para eliminar una tendencia anual).

Las transformaciones como los logaritmos pueden ayudar a estabilizar la varianza de una serie temporal.

Una de las formas de identificar series temporales no estacionarias es el gráfico de ACF . A veces, los patrones serán más visibles en el gráfico de ACF que en la serie temporal original; sin embargo, este no siempre es el caso. ^[6]

Otro método para identificar la no estacionariedad es observar la transformada de Laplace de una serie, que permitirá identificar tanto las tendencias exponenciales como la estacionalidad sinusoidal (tendencias exponenciales complejas). También pueden resultar útiles técnicas relacionadas con el análisis de señales, como la transformada wavelet y la transformada de Fourier .

Véase también

• Proceso Lévy
• Proceso ergódico estacionario
• Teorema de Wiener-Khinchin
• Ergodicidad
• Regularidad estadística
• Autocorrelación
• Reducir la probabilidad

Referencias

1. Park, Kun Il (2018). Fundamentos de probabilidad y procesos estocásticos con aplicaciones a las comunicaciones . Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
2. Ionut Florescu (7 de noviembre de 2014). Probabilidad y procesos estocásticos . John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-59320-2.
3. Priestley, MB (1981). Análisis espectral y series temporales . Academic Press. ISBN 0-12-564922-3.
4. Priestley, MB (1988). Análisis de series temporales no lineales y no estacionarias . Academic Press. ISBN 0-12-564911-8.
5. Honarkhah, M.; Caers, J. (2010). "Simulación estocástica de patrones utilizando modelado de patrones basado en la distancia". Geociencias matemáticas . 42 (5): 487–517. Código Bibliográfico :2010MatGe..42..487H. doi :10.1007/s11004-010-9276-7.
6. 8.1 Estacionariedad y diferenciación | OTexts . Consultado el 18 de mayo de 2016 . {{cite book}}: |website=ignorado ( ayuda )

Lectura adicional

• Enders, Walter (2010). Series temporales econométricas aplicadas (tercera edición). Nueva York: Wiley. pp. 53–57. ISBN 978-0-470-50539-7.
• Jestrovic, I.; Coyle, JL; Sejdic, E (2015). "Los efectos del aumento de la viscosidad del fluido en las características estacionarias de la señal EEG en adultos sanos". Brain Research . 1589 : 45–53. doi :10.1016/j.brainres.2014.09.035. PMC  4253861 . PMID  25245522.
• Hyndman, Athanasopoulos (2013). Pronóstico: principios y práctica. Otexts. https://www.otexts.org/fpp/8/1

Enlaces externos

• Descomposición espectral de una función aleatoria (Springer)