Esquema de Bernoulli

Generalización del proceso de Bernoulli a más de dos resultados posibles

En matemáticas , el esquema de Bernoulli o cambio de Bernoulli es una generalización del proceso de Bernoulli a más de dos resultados posibles. ^{[1] [2]} Los esquemas de Bernoulli aparecen naturalmente en la dinámica simbólica y, por lo tanto, son importantes en el estudio de los sistemas dinámicos . Muchos sistemas dinámicos importantes (como los sistemas Axiom A ) exhiben un repelente que es el producto del conjunto de Cantor y una variedad suave , y la dinámica en el conjunto de Cantor es isomorfa a la del cambio de Bernoulli. ^[3] Esta es esencialmente la partición de Markov . El término turno hace referencia al operador de turno , que puede usarse para estudiar los esquemas de Bernoulli. El teorema del isomorfismo de Ornstein ^{[4] [5]} muestra que los desplazamientos de Bernoulli son isomorfos cuando su entropía es igual.

Definición

Un esquema de Bernoulli es un proceso estocástico de tiempo discreto donde cada variable aleatoria independiente puede tomar uno de N valores distintos posibles, con el resultado i ocurriendo con probabilidad , con i  = 1, ...,  N , y ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}p_{i}=1.}$

El espacio muestral generalmente se denota como

${\displaystyle X=\{1,\ldots ,N\}^{\mathbb {Z} }}$

como abreviatura de

${\displaystyle X=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in \{1,\ldots ,N\}\;\forall k\in \mathbb {Z} \}.}$

La medida asociada se llama medida de Bernoulli ^[6]

${\displaystyle \mu =\{p_{1},\ldots ,p_{N}\}^{\mathbb {Z} }}$

El σ-álgebra en X es el producto del álgebra sigma; es decir, es el producto directo (contable) de las σ-álgebras del conjunto finito {1, ...,  N }. Así, el triplete ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$

es un espacio de medida . Una base son los juegos de cilindros . Dado un conjunto de cilindros , su medida es ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \mu \left([x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]\right)=\prod _{i=0}^{n}p_{x_{i}}}$

La expresión equivalente, usando la notación de la teoría de la probabilidad, es

${\displaystyle \mu \left([x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathrm {Pr} (X_{0}=x_{0},X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n})}$

para las variables aleatorias ${\displaystyle \{X_{k}\}}$

El esquema de Bernoulli, como cualquier proceso estocástico, puede verse como un sistema dinámico dotándolo del operador de desplazamiento T donde

${\displaystyle T(x_{k})=x_{k+1}.}$

Dado que los resultados son independientes, el desplazamiento preserva la medida y, por lo tanto, T es una transformación que preserva la medida . el cuatrillizo

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$

es un sistema dinámico que preserva la medida y se llama esquema de Bernoulli o desplazamiento de Bernoulli . A menudo se denota por

${\displaystyle BS(p)=BS(p_{1},\ldots ,p_{N}).}$

El esquema de Bernoulli N = 2 se denomina proceso de Bernoulli . El desplazamiento de Bernoulli puede entenderse como un caso especial del desplazamiento de Markov , donde todas las entradas en la matriz de adyacencia son una, siendo así el gráfico correspondiente una camarilla .

Coincidencias y métricas

La distancia de Hamming proporciona una métrica natural en un esquema de Bernoulli. Otra métrica importante es la llamada métrica, definida mediante un supremo sobre coincidencias de cadenas . ^[7] ${\displaystyle {\overline {f}}}$

Sean y dos cadenas de símbolos. Una coincidencia es una secuencia M de pares de índices dentro de la cadena, es decir pares tales que se entiende que están totalmente ordenados. Es decir, cada subsecuencia individual y están ordenadas: y de la misma manera ${\displaystyle A=a_{1}a_{2}\cdots a_{m}}$ ${\displaystyle B=b_{1}b_{2}\cdots b_{n}}$ ${\displaystyle (i_{k},j_{k})}$ ${\displaystyle a_{i_{k}}=b_{j_{k}},}$ ${\displaystyle (i_{k})}$ ${\displaystyle (j_{k})}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}\leq m}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{r}\leq n.}$

La - distancia entre y es ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\overline {f}}(A,B)=1-{\frac {2\sup |M|}{m+n}}}$

donde el supremum se asume en todos los partidos entre y . Esto satisface la desigualdad del triángulo sólo cuando y por lo tanto no es una métrica verdadera; a pesar de esto, comúnmente se le llama "distancia" en la literatura. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle m=n,}$

Generalizaciones

La mayoría de las propiedades del esquema de Bernoulli se derivan del producto directo contable , más que del espacio base finito. Por lo tanto, se puede tomar el espacio base como cualquier espacio de probabilidad estándar y definir el esquema de Bernoulli como ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu )}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )=(Y,{\mathcal {B}},\nu )^{\mathbb {Z} }}$

Esto funciona porque el producto directo contable de un espacio de probabilidad estándar es nuevamente un espacio de probabilidad estándar.

Como generalización adicional, se pueden reemplazar los números enteros por un grupo discreto contable , de modo que ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )=(Y,{\mathcal {B}},\nu )^{G}}$

Para este último caso, el operador de turno es sustituido por la acción grupal

${\displaystyle gx(f)=x(g^{-1}f)}$

para elementos del grupo y entendido como una función (cualquier producto directo puede entenderse como el conjunto de funciones , ya que este es el objeto exponencial ). La medida se toma como la medida de Haar , que es invariante bajo la acción grupal: ${\displaystyle f,g\in G}$ ${\displaystyle x\in Y^{G}}$ ${\displaystyle x:G\to Y}$ ${\displaystyle Y^{G}}$ ${\displaystyle [G\to Y]}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (gx)=\mu (x).\,}$

Estas generalizaciones también se denominan comúnmente esquemas de Bernoulli, ya que todavía comparten la mayoría de las propiedades con el caso finito.

Propiedades

Sí. Sinaí demostró que la entropía de Kolmogorov de un esquema de Bernoulli viene dada por ^{[8] [9]}

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.}$

Esto puede verse como resultado de la definición general de la entropía de un producto cartesiano de espacios de probabilidad, que se deriva de la propiedad de equipartición asintótica . Para el caso de un espacio base general ( es decir, un espacio base que no es contable), normalmente se considera la entropía relativa . Entonces, por ejemplo, si uno tiene una partición contable de la base Y , tal que , se puede definir la entropía como ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu )}$ ${\displaystyle Y'\subset Y}$ ${\displaystyle \nu (Y')=1}$

${\displaystyle H_{Y'}=-\sum _{y'\in Y'}\nu (y')\log \nu (y').}$

En general, esta entropía dependerá de la partición; sin embargo, para muchos sistemas dinámicos , se da el caso de que la dinámica simbólica es independiente de la partición (o más bien, hay isomorfismos que conectan la dinámica simbólica de diferentes particiones, dejando la medida invariante), por lo que tales sistemas pueden tener una entropía definida independiente de la partición.

Teorema del isomorfismo de Ornstein

El teorema del isomorfismo de Ornstein establece que dos esquemas de Bernoulli con la misma entropía son isomórficos . ^[4] El resultado es claro, ^[10] en el sentido de que sistemas muy similares que no son esquemas, como los automorfismos de Kolmogorov , no tienen esta propiedad.

De hecho, el teorema del isomorfismo de Ornstein es considerablemente más profundo: proporciona un criterio simple mediante el cual se puede considerar que muchos sistemas dinámicos diferentes que preservan medidas son isomórficos a los esquemas de Bernoulli. El resultado fue sorprendente, ya que muchos sistemas que antes se creían no relacionados resultaron ser isomórficos. Estos incluyen todos los procesos estocásticos estacionarios finitos ^{[ se necesita aclaración ]} , subdesplazamientos de tipo finito , cadenas finitas de Markov , flujos de Anosov y billares del Sinaí : todos ellos son isomorfos a los esquemas de Bernoulli.

Para el caso generalizado, el teorema del isomorfismo de Ornstein sigue siendo válido si el grupo G es un grupo numerable infinito . ^{[11] [12]}

automorfismo de Bernoulli

Una transformación invertible que conserva la medida de un espacio de probabilidad estándar (espacio de Lebesgue) se denomina automorfismo de Bernoulli si es isomorfa a un desplazamiento de Bernoulli . ^[13]

Bernoulli libremente

Un sistema se denomina "vagamente Bernoulli" si es equivalente en Kakutani a un cambio de Bernoulli; en el caso de entropía cero, si es Kakutani, equivalente a una rotación irracional de un círculo.

Ver también

• Cambio de tipo finito
• cadena de markov
• Modelo oculto de Bernoulli

Referencias

1. P. Shields, La teoría de los cambios de Bernoulli , Univ. Prensa de Chicago (1973)
2. Michael S. Keane, "Teoría ergódica y subcambios de tipo finito", (1991), que aparece como Capítulo 2 en Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos , Tim Bedford, Michael Keane y Caroline Series, Eds. Prensa de la Universidad de Oxford, Oxford (1991). ISBN  0-19-853390-X
3. Pierre Gaspard, Caos, dispersión y mecánica estadística (1998), prensa de la Universidad de Cambridge
4. Ornstein, Donald (1970). "Los desplazamientos de Bernoulli con la misma entropía son isomórficos". Avances en Matemáticas . 4 : 337–352. doi : 10.1016/0001-8708(70)90029-0 .
5. DS Ornstein (2001) [1994], "Teorema del isomorfismo de Ornstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
6. Klenke, Achim (2006). Teoría de probabilidad . Springer-Verlag. ISBN 978-1-84800-047-6.
7. Feldman, Jacob (1976). "Nuevos K {\ Displaystyle K} -automorfismos y un problema de Kakutani". Revista Israelí de Matemáticas . 24 (1): 16–38. doi : 10.1007/BF02761426 .
8. Ya.G. Sinaí, (1959) "Sobre la noción de entropía de un sistema dinámico", Doklady de la Academia de Ciencias de Rusia 124 , págs. 768–771.
9. Sí. G. Sinai, (2007) "Entropía métrica del sistema dinámico"
10. Hoffman, Christopher (1999). "Máquina de contraejemplo AK {\ Displaystyle K}". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 351 : 4263–4280.
11. Ornstein, Donald S .; Weiss, Benjamín (1987). "Teoremas de entropía e isomorfismo para acciones de grupos susceptibles". Revista de Análisis Matemático . 48 : 1–141. doi : 10.1007/BF02790325 .
12. Bowen, Lewis (2012). "Todo grupo contablemente infinito es casi Ornstein". Matemáticas Contemporáneas . 567 : 67–78. arXiv : 1103.4424 .
13. Peter Walters (1982) Introducción a la teoría ergódica , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90599-5