Ternario equilibrado

Sistema numérico que utiliza los dígitos -1, 0 y 1.

Ternario equilibrado es un sistema de numeración ternario (es decir, base 3 con tres dígitos ) que utiliza una representación equilibrada de dígitos con signo de los números enteros en los que los dígitos tienen los valores −1 , y 1 . Esto contrasta con el sistema ternario estándar (desequilibrado), en el que los dígitos tienen valores 0, 1 y 2. El sistema ternario equilibrado puede representar todos los números enteros sin utilizar un signo menos separado ; el valor del primer dígito distinto de cero de un número tiene el signo del número mismo. El sistema ternario equilibrado es un ejemplo de sistema numérico posicional no estándar . Se utilizó en algunas de las primeras computadoras ^[1] y también en algunas soluciones de acertijos de equilibrio . ^[2]

Diferentes fuentes utilizan diferentes glifos para representar los tres dígitos en ternario equilibrado. En este artículo, T (que se asemeja a una ligadura del signo menos y 1) representa −1 , mientras que y 1 se representan a sí mismos. Otras convenciones incluyen el uso de '-' y '+' para representar −1 y 1 respectivamente, o el uso de la letra griega theta (Θ), que se asemeja a un signo menos en un círculo, para representar −1. En publicaciones sobre la computadora Setun , −1 se representa como 1 invertido: "1". ^[1]

El ternario equilibrado hace una aparición temprana en el libro Arithmetica Integra (1544) de Michael Stifel . ^[3] También ocurre en las obras de Johannes Kepler y Léon Lalanne . John Colson , John Leslie , Augustin-Louis Cauchy y posiblemente incluso los antiguos Vedas indios han discutido esquemas de dígitos con signo relacionados en otras bases . ^[2]

Definición

Denotemos el conjunto de símbolos (también llamados glifos o caracteres ), donde el símbolo a veces se usa en lugar de Definir una función con valor entero mediante ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}:=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace }$ ${\displaystyle {\bar {1}}}$ ${\displaystyle \operatorname {T} .}$ ${\displaystyle f=f_{{\mathcal {D}}_{3}}:{\mathcal {D}}_{3}\to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle f_{}(\operatorname {T} )=-1,}$

${\displaystyle f_{}(0)=0\quad }$y

${\displaystyle f_{}(1)=1,}$^[4]

donde los lados derechos son números enteros con sus valores habituales. Esta función es la que establece rigurosa y formalmente cómo se asignan los valores enteros a los símbolos/glifos en Un beneficio de este formalismo es que la definición de "los números enteros" (como quiera que se definan) no se combina con ningún sistema particular de escritura. /representándolos; de esta manera, estos dos conceptos distintos (aunque estrechamente relacionados) se mantienen separados. ${\displaystyle f_{},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}.}$

El conjunto junto con la función forma una representación equilibrada de dígitos con signo llamada sistema ternario equilibrado . Se puede utilizar para representar números enteros y reales. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$ ${\displaystyle f_{}}$

Evaluación de enteros ternarios

Sea el Kleene plus de , que es el conjunto de todas las cadenas concatenadas de longitud finita de uno o más símbolos (llamados dígitos ), donde es un entero no negativo y todos los dígitos se toman desde El comienzo de es el símbolo (a la derecha ), su extremo es (a la izquierda) y su longitud es . La evaluación ternaria es la función definida asignando a cada cadena el número entero ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle d_{n},\ldots ,d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace .}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle v=v_{3}~:~{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$

${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)~=~\sum _{i=0}^{n}f_{}\left(d_{i}\right)3^{i}.}$

La cadena representa (con respecto a ) el número entero. El valor también puede denotarse por El mapa es sobreyectivo pero no inyectivo ya que, por ejemplo, Sin embargo, cada número entero tiene exactamente una representación que no termina (a la izquierda) con el símbolo es decir ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).}$ ${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)}$ ${\displaystyle {d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.}$ ${\displaystyle v:{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle d_{n}=0.}$

Si y luego satisface: ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v\left(d_{n}d_{n-1}\ldots d_{0}\right)~=~f_{}\left(d_{n}\right)3^{n}+v\left(d_{n-1}\ldots d_{0}\right)}$

lo que demuestra que satisface una especie de relación de recurrencia . Esta relación de recurrencia tiene la condición inicial donde está la cadena vacía. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v\left(\varepsilon \right)=0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Esto implica que por cada cadena ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},}$

${\displaystyle v\left(0d_{n}\ldots d_{0}\right)=v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)}$

que en palabras dice que los símbolos iniciales (a la izquierda en una cadena con 2 o más símbolos) no afectan el valor resultante. ${\displaystyle 0}$

Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden calcular algunos valores de , donde (como antes) todos los números enteros se escriben en decimal (base 10) y todos los elementos de son solo símbolos. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}v\left(\operatorname {T} \operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=-4\\v\left(\operatorname {T} 1\right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=-2\\v\left(1\operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=2\\v\left(11\right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=4\\v\left(1\operatorname {T} 0\right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(0\right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(-1)&&3&&\,+\,&&(0)&&1&&=6\\v\left(10\operatorname {T} \right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(0\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(0)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=8\\\end{alignedat}}}$

y usando la relación de recurrencia anterior

${\displaystyle v\left(101\operatorname {T} \right)=f_{}\left(1\right)3^{3}+v\left(01\operatorname {T} \right)=(1)27+v\left(1\operatorname {T} \right)=27+2=29.}$

Conversión a decimal

En el sistema ternario equilibrado, el valor de un dígito n lugares a la izquierda del punto de la base es el producto del dígito y 3 ⁿ . Esto es útil al realizar conversiones entre decimal y ternario equilibrado. A continuación, las cadenas que denotan ternario equilibrado llevan el sufijo bal3 . Por ejemplo,

10 _bal3 = 1 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = 3 _dism

10𝖳 _bal3 = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 8 _dism

−9 _dism = −1 × 3 ² + 0 ^× 3 1 + 0 × 3 ⁰ = 𝖳00 _bal3

8 _dism = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 10𝖳 _bal3

De manera similar, el primer lugar a la derecha del punto de la base tiene 3 ⁻¹ =1/3, el segundo lugar lo ocupa 3 ⁻² =1/9, etcétera. Por ejemplo,

−2/3_dism = −1 +1/3= −1 × 3 ⁰ + 1 × 3 ⁻¹ = 𝖳.1 _bal3 .

Un número entero es divisible por tres si y sólo si el dígito en el lugar de las unidades es cero.

Podemos comprobar la paridad de un entero ternario equilibrado comprobando la paridad de la suma de todos los trits. Esta suma tiene la misma paridad que el propio número entero.

El ternario balanceado también se puede extender a números fraccionarios de manera similar a cómo se escriben los números decimales a la derecha del punto de la base . ^[5]

En decimal o binario, los valores enteros y las fracciones terminales tienen múltiples representaciones. Por ejemplo,1/10= 0,1 = 0,1 0 = 0,0 9 . Y,1/2= 0,1 ₂ = 0,1 0 ₂ = 0,0 1 ₂ . Algunas fracciones ternarias equilibradas también tienen múltiples representaciones. Por ejemplo,1/6= 0.1 𝖳 _bal3 = 0.0 1 _bal3 . Ciertamente, en decimal y binario, podemos omitir los ceros infinitos que se encuentran más a la derecha después del punto de base y obtener representaciones de número entero o fracción terminal. Pero, en ternario equilibrado, no podemos omitir los −1 infinitos que se encuentran más a la derecha después del punto de base para obtener representaciones de números enteros o fracciones terminales.

Donald Knuth ^[6] ha señalado que el truncamiento y el redondeo son la misma operación en ternario equilibrado: producen exactamente el mismo resultado (una propiedad compartida con otros sistemas numéricos equilibrados). El número1/2no es excepcional; tiene dos representaciones igualmente válidas y dos truncamientos igualmente válidos: 0. 1 (redondear a 0 y truncar a 0) y 1. 𝖳 (redondear a 1 y truncar a 1). Con una base impar , el doble redondeo también equivale a redondear directamente a la precisión final, a diferencia de una base par.

Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se realizan como en el ternario regular. La multiplicación por dos se puede realizar sumando un número a sí mismo o restándolo después de un desplazamiento a la izquierda.

Un desplazamiento aritmético hacia la izquierda de un número ternario equilibrado es el equivalente a la multiplicación por una potencia (positiva, integral) de 3; y un desplazamiento aritmético a la derecha de un número ternario equilibrado es el equivalente a la división por una potencia (positiva, integral) de 3.

Conversión hacia y desde una fracción

La conversión de un número ternario balanceado periódico a una fracción es análoga a convertir un decimal periódico . Por ejemplo (debido a 111111 _bal3 = (3 ⁶ - 1/3 - 1) _dic ):

${\displaystyle 0.1{\overline {\mathrm {110TT0} }}={\tfrac {\mathrm {1110TT0-1} }{\mathrm {111111\times 1T\times 10} }}={\tfrac {\mathrm {1110TTT} }{\mathrm {111111\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {111\times 1000T} }{\mathrm {111\times 1001\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {1111\times 1T} }{\mathrm {1001\times 1T0} }}={\tfrac {1111}{10010}}={\tfrac {\mathrm {1T1T} }{\mathrm {1TTT0} }}={\tfrac {101}{\mathrm {1T10} }}}$

Numeros irracionales

Como en cualquier otra base entera, los irracionales algebraicos y los números trascendentales no terminan ni se repiten. Por ejemplo:

Las expansiones ternarias equilibradas de se dan en OEIS como A331313, la de en A331990. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$

Conversión de ternario

La notación ternaria desequilibrada se puede convertir a notación ternaria equilibrada de dos formas:

• Sume 1 trit por trit del primer trit distinto de cero con acarreo, y luego reste 1 trit por trit del mismo trit sin préstamo. Por ejemplo,

  021 ₃ + 11 ₃ = 102 ₃ , 102 ₃ − 11 ₃ = 1T1 _bal3 = 7 _diciembre .

• Si hay un 2 en ternario, conviértalo en 1T. Por ejemplo,

  0212 ₃ = 0010 _bal3 + 1T00 _bal3 + 001T _bal3 = 10TT _bal3 = 23 _dic

Si los tres valores de la lógica ternaria son falso , desconocido y verdadero , y estos se asignan a valores ternarios balanceados como T, 0 y 1 y a valores ternarios convencionales sin signo como 0, 1 y 2, entonces el ternario balanceado puede verse como un número sesgado. sistema análogo al sistema binario offset . Si el número ternario tiene n trits, entonces el sesgo b es

${\displaystyle b=\left\lfloor {\frac {3^{n}}{2}}\right\rfloor }$

que se representa como todos unos en forma convencional o sesgada. ^[7]

Como resultado, si estas dos representaciones se usan para números ternarios balanceados y sin signo, un valor ternario positivo n -trit sin signo se puede convertir a la forma balanceada sumando el sesgo b y un número balanceado positivo se puede convertir a la forma sin signo restando el sesgo b . Además, si xey son números balanceados, su suma balanceada es x + y − b cuando se calcula usando aritmética ternaria sin signo convencional. De manera similar, si xey son números ternarios convencionales sin signo, su suma es x + y + b cuando se calcula usando aritmética ternaria balanceada.

Conversión a ternario equilibrado desde cualquier base entera

Podemos convertir a ternario balanceado con la siguiente fórmula:

${\displaystyle \left(a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots \right)_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.}$

dónde,

una _norte una _{norte −1} ... una ₁ una ₀ . c ₁ c ₂ c ₃ ... es la representación original en el sistema de numeración original.

b es la base original. b es 10 si se convierte de decimal.

a _k y c _k son los dígitos k lugares a la izquierda y derecha del punto de base respectivamente.

Por ejemplo,

−25,4 dism = −(1T×101 1 + 1TT×101 0 + 11×101 −1 ) = −(1T×101 + 1TT + 11÷101) = −10T1. 11TT = T01T. TT11

1010,1 2 = 1T 10 + 1T 1 + 1T −1 = 10T + 1T + 0,1 = 101,1

Suma, resta y multiplicación y división.

Las tablas de suma, resta, multiplicación y división de un solo trit se muestran a continuación. Para la resta y la división, que no son conmutativas , el primer operando se da a la izquierda de la tabla, mientras que el segundo se da en la parte superior. Por ejemplo, la respuesta a 1 − T = 1T se encuentra en la esquina inferior izquierda de la tabla de resta.

Suma y resta multitrit

La suma y resta de múltiples trit es análoga a la de binario y decimal. Suma y resta trit por trit, y suma el acarreo apropiadamente. Por ejemplo:

 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 + 11T1.T − 11T1.T − 11T1.T → + TT1T.1 ______________ ______________ _______________ 1T0T10.0TT1 1T1001.TTT1 1T1001.TTT1 + 1T + T T1 + TT ______________ ________________ ________________ 1T1110.0TT1 1110TT.TTT1 1110TT.TTT1 + T + T 1 + T 1 ______________ ________________ ________________ 1T0110.0TT1 1100T.TTT1 1100T.TTT1

Multiplicación multitrit

La multiplicación multitrit es análoga a la de binario y decimal.

 1TT1.TT ×T11T.1 _____________ 1TT.1TT multiplica 1 T11T.11 multiplicar T 1TT1T.T multiplica 1 1TT1TT multiplica 1 T11T11 multiplica T _____________ 0T0000T.10T

División multitrit

La división ternaria equilibrada es análoga a la de binaria y decimal.

Sin embargo, 0,5 _diciembre = 0,1111... _bal3 o 1.TTTT... _bal3 . Si el dividendo está sobre el más o menos la mitad del divisor, el trit del cociente debe ser 1 o T. Si el dividendo está entre el más y el menos de la mitad del divisor, el trit del cociente es 0. La magnitud del dividendo debe compararse con el de la mitad del divisor antes de fijar el cociente trit. Por ejemplo,

 1TT1.TT cociente0,5 × divisor T01.0 _____________  divisor T11T.1 ) T0000T.10T dividendo  T11T1 T000 < T010, conjunto 1 _______ 1T1T0 1TT1T 1T1T0 > 10T0, establecer T _______ 111T 1TT1T 111T > 10T0, establecer T _______ T00.1 T11T.1 T001 < T010, conjunto 1 ________ 1T1.00 1TT.1T 1T100 > 10T0, ajuste T ________ 1T.T1T 1T.T1T 1TT1T > 10T0, establecer T ________ 0

Otro ejemplo,

 1TTT 0,5 × divisor 1T _______ Divisor 11 )1T01T 1T = 1T, pero 1T.01 > 1T, conjunto 1 11 _____ T10 T10 < T1, establecer T TT ______ T11 T11 < T1, establecer T TT ______ TT TT < T1, establecer T TT ___ 0

Otro ejemplo,

 101.TTTTTTTTTT... o 100.111111111... 0,5 × divisor 1T _________________ divisor 11 )111T 11 > 1T, conjunto 1 11 _____ 1 T1 < 1 < 1T, establecer 0 ___ 1T 1T = 1T, final de trits, establezca 1.TTTTTTTTT... o 0.111111111...

Raíces cuadradas y raíces cúbicas

El proceso de extracción de la raíz cuadrada en ternario balanceado es análogo al de decimal o binario.

${\displaystyle (10\cdot x+y)^{\mathrm {1T} }-100\cdot x^{\mathrm {1T} }=\mathrm {1T0} \cdot x\cdot y+y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T10} \cdot x+1,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\\mathrm {1T0} \cdot x+1,&y=1\end{cases}}}$

Al igual que en la división, primero debemos comprobar el valor de la mitad del divisor. Por ejemplo,

 1. 1 1 T 1 TT 0 0 ... __________________________ √ 1T 1<1T<11, conjunto 1 − 1 _____ 1×10=10 1,0T 1,0T>0,10, conjunto 1 1T0 −1.T0 ________ 11×10=110 1T0T 1T0T>110, conjunto 1 10T0 −10T0 ________ 111×10=1110 T1T0T T1T0T<TTT0, establecer T 100T0-T0010 _________ 111T×10=111T0 1TTT0T 1TTT0T>111T0, conjunto 1 10T110-10T110 __________ 111T1×10=111T10 TT1TT0T TT1TT0T<TTT1T0, establecer T 100TTT0 −T001110 ___________ 111T1T×10=111T1T0 T001TT0T T001TT0T<TTT1T10, establecer T 10T11110 −T01TTTT0 ____________ 111T1TT×10=111T1TT0 T001T0T TTT1T110<T001T0T<111T1TT0, establecer 0 − T Regresar 1 ___________ 111T1TT0×10=111T1TT00 T001T000T TTT1T1100<T001T000T<111T1TT00, establecido 0 − T Regresar 1 _____________ 111T1TT00*10=111T1TT000 T001T00000T ...

La extracción de la raíz cúbica en ternario balanceado es similar a la extracción en decimal o binario:

${\displaystyle (10\cdot x+y)^{10}-1000\cdot x^{10}=y^{10}+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }\cdot y+100\cdot x\cdot y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T} +\mathrm {T000} \cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\1+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=1\end{cases}}}$

Al igual que con la división, primero también debemos verificar el valor de la mitad del divisor. Por ejemplo:

 1. 1 T 1 0 ... _____________________ ³√ 1T − 1 1<1T<10T,conjunto 1 _______ 1.000 1×100=100 −0.100 pedir prestado 100×, hacer división _______ 1TT 1.T00 1T00>1TT, conjunto 1 1×1×1000+1=1001 −1.001 __________ T0T000 11×100 − 1100 pedir prestado 100×, hacer división _________ 10T000 TT1T00 TT1T00<T01000, establecer T 11×11×1000+1=1TT1001 −T11T00T ____________ 1TTT01000 11T×100 − 11T00 pedir prestado 100×, hacer división ___________ 1T1T01TT 1TTTT0100 1TTTT0100>1T1T01TT, juego 1 11T×11T×1000+1=11111001 − 11111001 ______________ 1T10T000 11T1×100 − 11T100 pedir prestado 100×, hacer división __________ 10T0T01TT 1T0T0T00 T01010T11<1T0T0T00<10T0T01TT, establecer 0 11T1×11T1×1000+1=1TT1T11001 − TT1T00 retorno 100× _____________ 1T10T000000 ...

Por lo tanto ³ √ 2 = 1.259921 _dec = 1.1T1 000 111 001 T01 00T 1T1 T10 111 _bal3 .

Aplicaciones

En diseño informático

Mesas de operaciones

En los primeros días de la informática, algunas computadoras soviéticas experimentales se construyeron con ternario balanceado en lugar de binario, siendo el más famoso el Setun , construido por Nikolay Brusentsov y Sergei Sobolev . La notación tiene una serie de ventajas computacionales sobre la binaria y la ternaria tradicionales. En particular, la coherencia más-menos reduce la tasa de acarreo en la multiplicación de varios dígitos, y la equivalencia de redondeo-truncamiento reduce la tasa de acarreo en el redondeo de fracciones. En el ternario equilibrado, la tabla de multiplicar de un dígito sigue siendo de un dígito y no tiene acarreo y la tabla de suma tiene sólo dos acarreos de nueve entradas, en comparación con el ternario desequilibrado con uno y tres respectivamente. Knuth escribió que "Quizás las propiedades simétricas y la aritmética simple de este sistema numérico resulten ser bastante importantes algún día", ^[6] y señaló que,

La complejidad de los circuitos aritméticos para la aritmética ternaria equilibrada no es mucho mayor que para el sistema binario, y un número dado requiere sólo tantas posiciones de dígitos para su representación." ^[6] ${\displaystyle \log _{3}2\approx 63\%}$

Otras aplicaciones

Leonhard Euler utilizó el teorema de que cada número entero tiene una representación única en un ternario equilibrado para justificar la identidad de las series de potencias formales ^[8]

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\left(x^{-3^{n}}+1+x^{3^{n}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n}.}$

El ternario equilibrado tiene otras aplicaciones además de la informática. Por ejemplo, una balanza clásica de dos platillos , con una pesa por cada potencia de 3, puede pesar objetos relativamente pesados ​​con precisión con una pequeña cantidad de pesas, moviendo pesas entre los dos platillos y la mesa. Por ejemplo, con pesas para cada potencia de 3 a 81, un objeto de 60 gramos (60 _dec = 1T1T0 _bal3 ) se equilibrará perfectamente con un peso de 81 gramos en el otro plato, el peso de 27 gramos en su propio plato, el de 9 peso de un gramo en el otro recipiente, el peso de 3 gramos en su propio recipiente y el peso de 1 gramo reservado.

De manera similar, considere un sistema monetario con monedas que valen 1¤, 3¤, 9¤, 27¤, 81¤. Si el comprador y el vendedor tienen cada uno sólo una moneda de cada tipo, es posible cualquier transacción de hasta 121¤. Por ejemplo, si el precio es 7¤ (7 _dic = 1T1 _bal3 ), el comprador paga 1¤ + 9¤ y recibe 3¤ de cambio.

También pueden proporcionar una representación más natural del qutrit y los sistemas que lo utilizan.

Ver también

• Representación de dígitos firmados
• Métodos para calcular raíces cuadradas
• sistema numeral
• Qutrit
• Tableta de salamina
• computadora ternaria
  • Setun , una computadora ternaria
• lógica ternaria
• Ternario equilibrado generalizado

Referencias

1. NAKrinitsky; GAMironov; GDFrolov (1963). "Capítulo 10. Máquina controlada por programa Setun". En MRShura-Bura (ed.). Programación (en ruso). Moscú.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Hayes, Brian (2001), "Tercera base" (PDF) , científico estadounidense , 89 (6): 490–494, doi :10.1511/2001.40.3268. Reimpreso en Hayes, Brian (2008), Teoría de grupos en el dormitorio y otras desviaciones matemáticas, Farrar, Straus y Giroux, págs. 179-200, ISBN 9781429938570
3. Stifel, Michael (1544), Arithmetica integra (en latín), apud Iohan Petreium, p. 38.
4. Los símbolos y aparecen dos veces en las igualdades pero estas instancias no representan lo mismo. El lado derecho y significan números enteros , pero las instancias dentro de los paréntesis (que pertenecen a ) deben considerarse como nada más que símbolos. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f_{}(0)=0}$ ${\displaystyle f_{}(1)=1,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \in \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$
5. Bhattacharjee, Abhijit (24 de julio de 2006). "Ternario equilibrado". Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2009.
6. Knuth, Donald (1997). El arte de la programación informática . vol. 2. Addison-Wesley. págs. 195-213. ISBN 0-201-89684-2.
7. Douglas W. Jones, Sistemas numéricos ternarios, 15 de octubre de 2013.
8. Andrews, George E. (2007). "De Partitio numerorum" de "Euler"". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Series nuevas. 44 (4): 561–573. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01180-9 . SEÑOR  2338365.

enlaces externos

• Desarrollo de computadoras ternarias en la Universidad Estatal de Moscú
• Representación de números fraccionarios en ternario equilibrado
• "Tercera base", sistemas de números ternarios y ternarios equilibrados
• El sistema numérico ternario equilibrado (incluye un convertidor de entero decimal a ternario equilibrado)
• Secuencia OEIS A182929 (El triángulo binomial reducido a listas ternarias equilibradas)
• Notación ternaria equilibrada (firmada) Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine por Brian J. Shelburne (archivo PDF)
• La máquina calculadora ternaria de Thomas Fowler por Mark Glusker