En matemáticas , más específicamente en la teoría de la medida , los conjuntos de Baire forman un σ-álgebra de un espacio topológico que evita algunas de las propiedades patológicas de los conjuntos de Borel .
Existen varias definiciones no equivalentes de conjuntos de Baire, pero en la más utilizada, los conjuntos de Baire de un espacio de Hausdorff localmente compacto forman la σ-álgebra más pequeña tal que todas las funciones continuas con soporte compacto son medibles . Por lo tanto, las medidas definidas en esta σ-álgebra, llamadas medidas de Baire , son un marco conveniente para la integración en espacios de Hausdorff localmente compactos. En particular, cualquier función continua con soporte compacto en dicho espacio es integrable con respecto a cualquier medida de Baire finita.
Todo conjunto de Baire es un conjunto de Borel . La recíproca se cumple en muchos espacios topológicos, pero no en todos. Los conjuntos de Baire evitan algunas propiedades patológicas de los conjuntos de Borel en espacios sin una base contable para la topología. En la práctica, el uso de medidas de Baire en conjuntos de Baire a menudo se puede reemplazar por el uso de medidas de Borel regulares en conjuntos de Borel.
Los conjuntos de Baire fueron introducidos por Kunihiko Kodaira (1941, Definición 4), Shizuo Kakutani y Kunihiko Kodaira (1944) y Halmos (1950, página 220), quienes los nombraron según las funciones de Baire , que a su vez llevan el nombre de René-Louis Baire .
Existen al menos tres definiciones no equivalentes de conjuntos de Baire en espacios de Hausdorff localmente compactos, e incluso más definiciones para espacios topológicos generales, aunque todas estas definiciones son equivalentes para espacios de Hausdorff σ-compactos localmente compactos . Además, algunos autores añaden restricciones al espacio topológico en el que se definen los conjuntos de Baire, y solo definen conjuntos de Baire en espacios que son de Hausdorff compacto, o de Hausdorff localmente compacto, o σ-compactos.
Kunihiko Kodaira definió [1] lo que llamamos conjuntos de Baire (aunque él los llama confusamente "conjuntos de Borel") de ciertos espacios topológicos como los conjuntos cuya función característica es una función de Baire (la clase más pequeña de funciones que contiene todas las funciones continuas de valores reales y cerradas bajo límites puntuales de sucesiones). Dudley (1989, Sect. 7.1) da una definición equivalente y define los conjuntos de Baire de un espacio topológico como elementos de la σ-álgebra más pequeña tal que todas las funciones continuas de valores reales sean medibles. Para espacios de Hausdorff σ-compactos localmente compactos esto es equivalente a las siguientes definiciones, pero en general las definiciones no son equivalentes.
Por el contrario, las funciones de Baire son exactamente las funciones de valor real que son medibles según Baire. Para los espacios métricos, los conjuntos de Baire coinciden con los conjuntos de Borel. [2]
Halmos (1950, página 220) definió los conjuntos de Baire de un espacio de Hausdorff localmente compacto como los elementos del anillo σ generado por los conjuntos G δ compactos . Esta definición ya no se utiliza mucho, ya que los anillos σ están un poco pasados de moda. Cuando el espacio es σ-compacto, esta definición es equivalente a la siguiente.
Una razón para trabajar con conjuntos G δ compactos en lugar de conjuntos G δ cerrados es que las medidas de Baire son entonces automáticamente regulares (Halmos 1950, teorema G página 228).
La tercera definición, y la más utilizada, es similar a la de Halmos, modificada de modo que los conjuntos de Baire forman un σ-álgebra en lugar de solo un σ-anillo.
Un subconjunto de un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto se denomina conjunto de Baire si es miembro de la σ-álgebra más pequeña que contiene todos los conjuntos G δ compactos . En otras palabras, la σ-álgebra de los conjuntos de Baire es la σ-álgebra generada por todas aquellas intersecciones de un número contable de conjuntos abiertos que dan como resultado un conjunto compacto. Alternativamente, los conjuntos de Baire forman la σ-álgebra más pequeña tal que todas las funciones continuas de soporte compacto sean mensurables (al menos en espacios de Hausdorff localmente compactos; en espacios topológicos generales, estas dos condiciones no necesitan ser equivalentes).
Para espacios σ-compactos esto es equivalente a la definición de Halmos. Para espacios que no son σ-compactos los conjuntos de Baire bajo esta definición son aquellos bajo la definición de Halmos junto con sus complementos. Sin embargo, en este caso ya no es cierto que una medida de Baire finita sea necesariamente regular: por ejemplo, la medida de probabilidad de Baire que asigna medida 0 a cada subconjunto numerable de un espacio discreto incontable y medida 1 a cada subconjunto co-contable es una medida de probabilidad de Baire que no es regular.
Para espacios topológicos de Hausdorff localmente compactos que no son σ-compactos, las tres definiciones anteriores no necesitan ser equivalentes.
Un espacio topológico discreto es localmente compacto y de Hausdorff. Cualquier función definida en un espacio discreto es continua y, por lo tanto, según la primera definición, todos los subconjuntos de un espacio discreto son de Baire. Sin embargo, dado que los subespacios compactos de un espacio discreto son precisamente los subespacios finitos, los conjuntos de Baire, según la segunda definición, son precisamente los conjuntos a lo sumo numerables , mientras que según la tercera definición los conjuntos de Baire son los conjuntos a lo sumo numerables y sus complementos. Por lo tanto, las tres definiciones no son equivalentes en un espacio discreto incontable.
Para espacios no Hausdorff, las definiciones de conjuntos de Baire en términos de funciones continuas no necesitan ser equivalentes a las definiciones que involucran conjuntos compactos G δ . Por ejemplo, si X es un conjunto numerable infinito cuyos conjuntos cerrados son los conjuntos finitos y el espacio entero, entonces las únicas funciones reales continuas en X son constantes, pero todos los subconjuntos de X están en el σ-álgebra generado por conjuntos compactos cerrados G δ .
En un producto cartesiano de incontables espacios de Hausdorff compactos con más de un punto, un punto nunca es un conjunto de Baire, a pesar del hecho de que es cerrado y, por lo tanto, un conjunto de Borel. [3]
Los conjuntos de Baire coinciden con los conjuntos de Borel en los espacios euclidianos .
Para cada espacio de Hausdorff compacto, cada medida de Baire finita (es decir, una medida en el σ-álgebra de todos los conjuntos de Baire) es regular . [4]
Para cada espacio de Hausdorff compacto, cada medida de Baire finita tiene una extensión única a una medida de Borel regular. [5]
El teorema de extensión de Kolmogorov establece que toda colección consistente de distribuciones de probabilidad de dimensión finita conduce a una medida de Baire en el espacio de funciones. [6] Suponiendo compacidad (del espacio dado, y por lo tanto también del espacio de funciones ) se puede extender a una medida de Borel regular. Después de completarlo se obtiene un espacio de probabilidad que no es necesariamente estándar . [7]