Axioma de simetría de Freiling

El axioma de simetría de Freiling ( ) ${\displaystyle {\texttt {AX}}}$ es un axioma de la teoría de conjuntos propuesto por Chris Freiling . Se basa en la intuición de Stuart Davidson, pero las matemáticas que hay detrás se remontan a Wacław Sierpiński .

Denotemos el conjunto de todas las funciones desde hasta subconjuntos contables de . (En otras palabras, .) El axioma establece: ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {P}}([0,1])^{[0,1]}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle A={\big [}[0,1]{\big ]}^{\leq \omega }}$ ${\displaystyle {\texttt {AX}}}$

Para cada , existen tales que y . ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$ ${\displaystyle x\not \in f(y)}$ ${\displaystyle y\not \in f(x)}$

Un teorema de Sierpiński dice que bajo los supuestos de la teoría de conjuntos ZFC, equivale a la negación de la hipótesis del continuo (CH). El teorema de Sierpiński respondió a una pregunta de Hugo Steinhaus y fue demostrado mucho antes de que Kurt Gödel y Paul Cohen establecieran la independencia de CH . ${\displaystyle {\texttt {AX}}}$

Freiling afirma que la intuición probabilística apoya firmemente esta proposición, mientras que otros no están de acuerdo. Existen varias versiones del axioma, algunas de las cuales se analizan a continuación.

El argumento de Freiling

Arreglar una función f en A . Consideraremos un experimento mental que consiste en lanzar dos dardos en un intervalo unitario. No somos capaces de determinar físicamente con infinita precisión los valores reales de los números xey que son acertados. Del mismo modo, la cuestión de si " y está en f ( x )" en realidad no se puede calcular físicamente. Sin embargo, si f realmente es una función, entonces esta pregunta tiene sentido y tendrá una respuesta definitiva de "sí" o "no".

Ahora espere hasta que se lance el primer dardo, x , y luego evalúe las posibilidades de que el segundo dardo y esté en f ( x ). Dado que x ahora es fijo, f ( x ) es un conjunto contable fijo y tiene medida de Lebesgue cero. Por lo tanto, este evento, con x fijo, tiene probabilidad cero. Freiling hace ahora dos generalizaciones:

• Dado que podemos predecir con virtual certeza que " y no está en f ( x )" después de lanzar el primer dardo, y dado que esta predicción es válida sin importar lo que haga el primer dardo, deberíamos poder hacer esta predicción antes del primero. se lanza el dardo. Esto no quiere decir que todavía tengamos un evento mensurable, sino más bien una intuición sobre la naturaleza de ser predecible.
• Dado que " y no está en f ( x )" es predeciblemente cierto, por la simetría del orden en que se lanzaron los dardos (de ahí el nombre "axioma de simetría") también deberíamos poder predecir con virtual certeza que " x no está en f ( y )".

El axioma ahora se justifica basándose en el principio de que lo que previsiblemente sucederá cada vez que se realice este experimento debería, como mínimo, ser posible. Por lo tanto, deberían existir dos números reales x , y tales que x no esté en f ( y ) e y no esté en f ( x ). ${\displaystyle {\texttt {AX}}}$

Relación con la hipótesis del continuo (generalizada)

Fijar un cardinal infinito ( por ejemplo ). Sea la afirmación: no existe un mapa de conjuntos a conjuntos de tamaño para el cual o . ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \aleph _{0}\,}$ ${\displaystyle {\texttt {AX}}_{\kappa }.\,}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(\kappa )\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\kappa ))\,}$ ${\displaystyle \leq \kappa }$ ${\displaystyle (\forall {x,y\in {\mathcal {P}}(\kappa )})\,}$ ${\displaystyle x\in f(y)\,}$ ${\displaystyle y\in f(x)\,}$

Afirmar: . ${\displaystyle {\texttt {ZFC}}\vdash 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\leftrightarrow \neg {\texttt {AX}}_{\kappa }.\,}$

Prueba: Parte I ( ): ${\displaystyle \Rightarrow \,}$

Suponer . Entonces existe una biyección . Si se define mediante , es fácil ver que esto demuestra el fracaso del axioma de Freiling. ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\,}$ ${\displaystyle \sigma :\kappa ^{+}\to {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(\kappa )\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\kappa ))\,}$ ${\displaystyle \sigma (\alpha )\mapsto \{\sigma (\beta ):\beta \preceq \alpha \}\,}$

Parte II ( ): ${\displaystyle \Leftarrow \,}$

Supongamos que el axioma de Freiling falla. Luego arregle algunos para verificar este hecho. Defina una relación de orden por iff . Esta relación es total y cada punto tiene muchos antecesores. Defina ahora una cadena estrictamente creciente de la siguiente manera: en cada etapa elija . Este proceso se puede realizar ya que para cada ordinal , hay una unión de muchos conjuntos de tamaño ; por lo tanto es de tamaño y también lo es un subconjunto estricto de . También tenemos que esta secuencia es cofinal en el orden definido, es decir, cada miembro de es alguno . (De lo contrario, si no es alguno , entonces, dado que el orden es total ; lo que implica que tiene muchos predecesores; una contradicción). Por lo tanto, podemos definir bien un mapa por . ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$ ${\displaystyle A\leq _{f}B}$ ${\displaystyle A\in f(B)}$ ${\displaystyle \leq \kappa }$ ${\displaystyle (A_{\alpha }\in {\mathcal {P}}(\kappa ))_{\alpha <\kappa ^{+}}}$ ${\displaystyle A_{\alpha }\in {\mathcal {P}}(\kappa )\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }f(A_{\xi })}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa ^{+}\,}$ ${\displaystyle \bigcup _{\xi <\alpha }f(A_{\xi })\,}$ ${\displaystyle \leq \kappa \,}$ ${\displaystyle \leq \kappa \,}$ ${\displaystyle \leq \kappa <2^{\kappa }\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$ ${\displaystyle \leq _{f}\,}$ ${\displaystyle A_{\alpha }\,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$ ${\displaystyle \leq _{f}\,}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle (\forall {\alpha <\kappa ^{+}})A_{\alpha }\leq _{f}B\,}$ ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle \geq \kappa ^{+}>\kappa \,}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {P}}(\kappa )\to \kappa ^{+}\,}$ ${\displaystyle B\mapsto \operatorname {min} \{\alpha <\kappa ^{+}:B\in f(A_{\alpha })\}}$

Entonces, ¿cuál es la unión de muchos conjuntos, cada uno de ellos de tamaño ? Por eso . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )=\bigcup _{\alpha <\kappa ^{+}}g^{-1}\{\alpha \}=\bigcup _{\alpha <\kappa ^{+}}f(A_{\alpha })\,}$ ${\displaystyle \kappa ^{+}\,}$ ${\displaystyle \leq \kappa \,}$ ${\displaystyle 2^{\kappa }\leq \kappa ^{+}\cdot \kappa =\kappa ^{+}\,}$

Tenga en cuenta que podemos reorganizar fácilmente las cosas para obtener la forma mencionada anteriormente del axioma de Freiling. ${\displaystyle |[0,1]|=|{\mathcal {P}}(\aleph _{0})|\,}$ ${\displaystyle \neg {\texttt {CH}}\Leftrightarrow \,}$

Lo anterior se puede precisar más: . Esto muestra (junto con el hecho de que la hipótesis del continuo es independiente de la elección) una forma precisa en la que la hipótesis del continuo (generalizada) es una extensión del axioma de elección. ${\displaystyle {\texttt {ZF}}\vdash ({\texttt {AC}}_{{\mathcal {P}}(\kappa )}+\neg {\texttt {AX}}_{\kappa })\leftrightarrow {\texttt {CH}}_{\kappa }\,}$

Objeciones al argumento de Freiling

El argumento de Freiling no es ampliamente aceptado debido a los dos problemas siguientes (que Freiling conocía muy bien y discutió en su artículo).

• La ingenua intuición probabilística utilizada por Freiling supone tácitamente que existe una manera correcta de asociar una probabilidad a cualquier subconjunto de los reales. Pero la formalización matemática de la noción de probabilidad utiliza la noción de medida , sin embargo el axioma de elección implica la existencia de subconjuntos no mensurables, incluso del intervalo unitario. Algunos ejemplos de ello son la paradoja de Banach-Tarski y la existencia de conjuntos de Vitali .
• Una variación menor de su argumento genera una contradicción con el axioma de elección, se acepte o no la hipótesis del continuo, si se reemplaza la aditividad contable de la probabilidad por aditividad para cardinales menores que el continuo. (Freiling utilizó un argumento similar para afirmar que el axioma de Martin es falso). No está claro por qué la intuición de Freiling debería ser menos aplicable en este caso, si es que es aplicable. (Maddy 1988, p. 500) Así, el argumento de Freiling parece ser más un argumento contra la posibilidad de ordenar bien los reales que contra la hipótesis del continuo.

Conexión con la teoría de grafos

Utilizando el hecho de que en ZFC tenemos (ver arriba), no es difícil ver que el fracaso del axioma de simetría (y por lo tanto el éxito de  ) es equivalente al siguiente principio combinatorio para gráficos: ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\Leftrightarrow \neg {\texttt {AX}}_{\kappa }\,}$ ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\,}$

• El gráfico completo puede dirigirse de tal manera que cada nodo conduzca como máximo a muchos nodos. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$ ${\displaystyle \kappa \,}$

En el caso de , esto se traduce en: ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}\,}$

• El gráfico completo en el círculo unitario (o cualquier conjunto del mismo tamaño que los reales) puede dirigirse de manera que cada nodo tenga un camino hacia, como máximo, un número numerable de nodos.

Así, en el contexto de ZFC, el fracaso de un axioma de Freiling equivale a la existencia de un tipo específico de función de elección.

Referencias

• Freiling, Chris (1986), "Axiomas de simetría: lanzar dardos a la recta numérica real", Journal of Symbolic Logic , 51 (1): 190–200, doi :10.2307/2273955, JSTOR  2273955, MR  0830085
• Maddy, Penélope (1988), "Creer en los axiomas. I", Journal of Symbolic Logic , 53 (2): 481–511, doi :10.2307/2274520, JSTOR  2274520, SEÑOR  0947855
• Mumford, David (2000), "El amanecer de la era de la estocasticidad", en V. Arnold, P. Lax; B. Mazur, M. Atiyah (eds.), Matemáticas: fronteras y perspectivas , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, págs. 197–218, MR  1754778
• Sierpiński, Wacław (1956) [1934], Hypothèse du continu , Nueva York, NY: Chelsea Publishing Company, MR  0090558
• Simms, John C. (1989), "Principios tradicionales de Cavalieri aplicados a la noción moderna de área", Journal of Philosophical Logic , 18 (3): 275–314, doi :10.1007/BF00274068, MR  1008850