Axioma de extensionalidad

Axioma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

El axioma de extensionalidad , ^{[1] [2]} también llamado axioma de extensión , ^{[3] [4]} es un axioma utilizado en muchas formas de teoría de conjuntos axiomáticos , como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . ^{[5] [6]} El axioma define qué es un conjunto . ^[1] De manera informal, el axioma significa que los dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A y B tienen los mismos miembros.

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma se lee:

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\implies A=B)}$

o en palabras:

Dado cualquier conjunto A y cualquier conjunto B , si para cada conjunto X , X es un miembro de A si y sólo si X es un miembro de B , entonces A es igual a B .

(No es realmente esencial que X sea un conjunto aquí , pero en ZF todo lo es. Vea los elementos Ur a continuación para saber cuándo se viola esto).

El recíproco de este axioma se sigue de la propiedad de sustitución de la igualdad . ${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(A=B\implies \forall X\,(X\in A\iff X\in B)),}$

Interpretación

Para entender este axioma, observe que la cláusula entre paréntesis en el enunciado simbólico anterior establece que A y B tienen exactamente los mismos miembros. Por lo tanto, el axioma en realidad dice que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen exactamente los mismos miembros. También se puede interpretar este axioma como:

Un conjunto está determinado únicamente por sus miembros.

El axioma de extensionalidad puede utilizarse con cualquier enunciado de la forma , donde P es cualquier predicado unario que no menciona A , para definir un conjunto único cuyos miembros son precisamente los conjuntos que satisfacen el predicado . Podemos entonces introducir un nuevo símbolo para ; es de esta manera que las definiciones en las matemáticas ordinarias funcionan en última instancia cuando sus enunciados se reducen a términos puramente teóricos de conjuntos. ${\displaystyle \exists A\,\forall X\,(X\in A\iff P(X)\,)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$

El axioma de extensionalidad no suele suscitar controversias en los fundamentos teóricos de las matemáticas y, en casi todas las axiomatizaciones alternativas de la teoría de conjuntos, aparece, o bien un equivalente. Sin embargo, puede requerir modificaciones para algunos propósitos, como se indica a continuación.

En lógica de predicados sin igualdad

El axioma dado anteriormente supone que la igualdad es un símbolo primitivo en la lógica de predicados . Algunos tratamientos de la teoría de conjuntos axiomáticos prefieren prescindir de esto y, en su lugar, tratan la afirmación anterior no como un axioma sino como una definición de igualdad. ^[7] Entonces es necesario incluir los axiomas de igualdad habituales de la lógica de predicados como axiomas sobre este símbolo definido. La mayoría de los axiomas de igualdad todavía se siguen de la definición; el restante es la propiedad de sustitución,

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\implies \forall Y\,(A\in Y\iff B\in Y)\,),}$

y se convierte en este axioma al que se hace referencia como el axioma de extensionalidad en este contexto.

En teoría de conjuntos con elementos originales

Un elemento ur es un miembro de un conjunto que no es en sí mismo un conjunto. En los axiomas de Zermelo-Fraenkel no hay elementos ur, pero se incluyen en algunas axiomatizaciones alternativas de la teoría de conjuntos. Los elementos ur pueden tratarse como un tipo lógico diferente de los conjuntos; en este caso, no tiene sentido si es un elemento ur, por lo que el axioma de extensionalidad simplemente se aplica solo a los conjuntos. ${\displaystyle B\in A}$ ${\displaystyle A}$

Alternativamente, en lógica no tipificada, podemos exigir que sea falso siempre que sea un elemento original. En este caso, el axioma habitual de extensionalidad implicaría que cada elemento original es igual al conjunto vacío . Para evitar esta consecuencia, podemos modificar el axioma de extensionalidad para que se aplique solo a conjuntos no vacíos, de modo que se lea: ${\displaystyle B\in A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\exists X\,(X\in A)\implies [\forall Y\,(Y\in A\iff Y\in B)\implies A=B]\,).}$

Eso es:

Dado cualquier conjunto A y cualquier conjunto B , si A es un conjunto no vacío (es decir, si existe un miembro X de A ), entonces si A y B tienen exactamente los mismos miembros, entonces son iguales.

Otra alternativa en la lógica no tipificada es definirse a sí misma como el único elemento de siempre que sea un elemento original. Si bien este enfoque puede servir para preservar el axioma de extensionalidad, el axioma de regularidad necesitará un ajuste. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Véase también

• Extensionalidad para una visión general.

Referencias

• Paul Halmos , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag).
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

Notas

1. "AxiomaticSetTheory". www.cs.yale.edu . Consultado el 20 de agosto de 2024 .
2. "Teoría de conjuntos ingenua". sites.pitt.edu . Consultado el 20 de agosto de 2024 .
3. Bourbaki, N. (1 de diciembre de 2013). Teoría de conjuntos. Springer Science & Business Media. pág. 67. ISBN 978-3-642-59309-3.
4. Deskins, WE (24 de mayo de 2012). Álgebra abstracta. Courier Corporation. pág. 2. ISBN 978-0-486-15846-4.
5. "Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel". www.cs.odu.edu . Consultado el 20 de agosto de 2024 .
6. "Introducción a la teoría de conjuntos axiomática (ZF)". www.andrew.cmu.edu . Consultado el 20 de agosto de 2024 .
7. Por ejemplo , WVO Quine , en Mathematical Logic (1981), utiliza "tres dispositivos de notación primitivos: pertenencia, negación conjunta y cuantificación", y luego define = de esta manera (pp. 134-136).