Axialidad (geometría)

En la geometría del plano euclidiano , la axialidad es una medida de cuánta simetría axial tiene una forma. Se define como la relación entre las áreas del subconjunto axialmente simétrico más grande de la forma y la forma completa. De manera equivalente, es la fracción más grande del área de la forma que puede cubrirse mediante un reflejo especular de la forma (con cualquier orientación).

Una forma que es axialmente simétrica, como un triángulo isósceles , tendrá una axialidad de exactamente uno, mientras que una forma asimétrica, como un triángulo escaleno , tendrá una axialidad menor que uno.

Límites superior e inferior

Lassak (2002) demostró que todo conjunto convexo tiene una axialidad de al menos 2/3. ^[1] Este resultado mejoró un límite inferior anterior de 5/8 de Krakowski (1963). ^[2] El mejor límite superior conocido viene dado por un cuadrilátero convexo particular , encontrado a través de una búsqueda por computadora, cuya axialidad es menor que 0,816. ^[3]

Para los triángulos y para los cuerpos convexos simétricos centralmente , la axialidad es siempre algo mayor: cada triángulo, y cada cuerpo convexo simétrico centralmente, tiene axialidad al menos . En el conjunto de triángulos obtusos cuyos vértices tienen coordenadas , , y , la axialidad se aproxima al límite cuando las coordenadas se aproximan a cero, lo que demuestra que el límite inferior es lo más grande posible. También es posible construir una secuencia de paralelogramos simétricos centralmente cuya axialidad tenga el mismo límite, lo que demuestra nuevamente que el límite inferior es estricto. ^{[4] [5]} ${\displaystyle 2({\sqrt {2}}-1)\approx 0.828}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2({\sqrt {2}}-1)}$ ${\displaystyle y}$

Algoritmos

La axialidad de una forma convexa dada se puede aproximar de forma arbitrariamente cercana en tiempo sublineal, dado acceso a la forma por oráculos para encontrar un punto extremo en una dirección dada y para encontrar la intersección de la forma con una línea. ^[6]

Barequet y Rogol (2007) consideran el problema de calcular la axialidad con exactitud, tanto para polígonos convexos como no convexos. El conjunto de todas las posibles líneas de simetría de reflexión en el plano es (por dualidad proyectiva ) un espacio bidimensional, que dividen en celdas dentro de las cuales el patrón de cruces del polígono con su reflexión es fijo, lo que hace que la axialidad varíe suavemente dentro de cada celda. Por lo tanto, reducen el problema a un cálculo numérico dentro de cada celda, que no resuelven explícitamente. La partición del plano en celdas tiene celdas en el caso general y celdas para polígonos convexos; se puede construir en una cantidad de tiempo que es mayor que estos límites por un factor logarítmico. Barequet y Rogol afirman que en la práctica, el problema de maximización del área dentro de una sola celda se puede resolver en el tiempo, dando límites de tiempo generales (no rigurosos) de para el caso convexo y para el caso general. ^[7] ${\displaystyle O(n^{4})}$ ${\displaystyle O(n^{3})}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n^{4})}$ ${\displaystyle O(n^{5})}$

Conceptos relacionados

De Valcourt (1966) enumera 11 medidas diferentes de simetría axial, de las cuales la que se describe aquí es la número tres. ^[8] Él requiere que cada una de estas medidas sea invariante bajo transformaciones de similitud de la forma dada, que tome el valor uno para formas simétricas y que tome un valor entre cero y uno para otras formas. Otras medidas de simetría con estas propiedades incluyen la razón del área de la forma con su superconjunto simétrico más pequeño que la encierra, y las razones análogas de los perímetros.

Lassak (2002), además de estudiar la axialidad, estudia una versión restringida de la axialidad en la que el objetivo es encontrar un semiespacio cuya intersección con una forma convexa tenga un área grande que se encuentre enteramente dentro de la reflexión de la forma a través del límite del semiespacio. Demuestra que siempre se puede encontrar que dicha intersección tiene un área de al menos 1/8 de la de la forma completa. ^[1]

En el estudio de la visión por computadora , Marola (1989) propuso medir la simetría de una imagen digital (vista como una función desde puntos en el plano hasta valores de intensidad en escala de grises en el intervalo ) encontrando una reflexión que maximice la integral del área ^[9]. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 0\leq w(p)\leq 1}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\frac {\int \int w(p)w(\sigma (p))dx\,dy}{\int \int w(p)^{2}dx\,dy}}.}$

Cuando es la función indicadora de una forma dada, esto es lo mismo que la axialidad. ${\displaystyle w}$

Referencias

1. Lassak, Marek (2002), "Aproximación de cuerpos convexos mediante cuerpos axialmente simétricos", Actas de la American Mathematical Society , 130 (10): 3075–3084 (electrónico), doi : 10.1090/S0002-9939-02-06404-3 , MR  1908932. Fe de erratas, doi :10.1090/S0002-9939-03-07225-3.
2. Krakowski, F. (1963), "Bemerkung zu einer Arbeit von W. Nohl", Elemente der Mathematik , 18 : 60–61Como lo cita de Valcourt (1966).
3. Choi, Chang-Yul (2006), Encontrar el polígono axialmente simétrico inscrito más grande para un polígono convexo (PDF) , Tesis de maestría, Departamento de Ingeniería Eléctrica y Ciencias de la Computación, Instituto Avanzado de Ciencia y Tecnología de Corea.
4. Nohl, W. (1962), "Die internale axiale Symmetrie zentrischer Eibereiche der euklidischen Ebene", Elemente der Mathematik , 17 : 59–63Como lo cita de Valcourt (1966).
5. Buda, Andrzej B.; Mislow, Kurt (1991), "Sobre una medida de axialidad para dominios triangulares", Elemente der Mathematik , 46 (3): 65–73, MR  1113766.
6. Ahn, Hee-Kap; Brass, Peter; Cheong, Otfried; Na, Hyeon-Suk; Shin, Chan-Su; Vigneron, Antoine (2006), "Inscripción de un polígono axialmente simétrico y otros algoritmos de aproximación para conjuntos convexos planos", Computational Geometry , 33 (3): 152–164, doi :10.1016/j.comgeo.2005.06.001, hdl : 10203/314 , MR  2188943.
7. Barequet, Gill; Rogol, Vadim (2007), "Maximización del área de un polígono axialmente simétrico inscrito en un polígono simple" (PDF) , Computers & Graphics , 31 (1): 127–136, doi :10.1016/j.cag.2006.10.006.
8. de Valcourt, B. Abel (1966), "Medidas de simetría axial para óvalos", Israel Journal of Mathematics , 4 (2): 65–82, doi : 10.1007/BF02937452 , MR  0203589.
9. Marola, Giovanni (1989), "Sobre la detección de los ejes de simetría de imágenes planares simétricas y casi simétricas", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 11 (1): 104–108, doi :10.1109/34.23119