Modelo de Potts

Modelo de mecánica estadística que generaliza el modelo de Ising

En mecánica estadística , el modelo de Potts , una generalización del modelo de Ising , es un modelo de espines en interacción en una red cristalina . ^[1] Al estudiar el modelo de Potts, se puede obtener una idea del comportamiento de los ferroimanes y de otros fenómenos de la física del estado sólido . La fortaleza del modelo de Potts no es tanto que modele bien estos sistemas físicos; es más bien que el caso unidimensional es exactamente solucionable y que tiene una rica formulación matemática que ha sido estudiada extensamente.

El modelo recibe su nombre de Renfrey Potts , quien lo describió cerca del final de su tesis doctoral de 1951. ^[2] El modelo estaba relacionado con el "Potts planar" o " modelo de reloj ", que le sugirió su asesor, Cyril Domb . El modelo de Potts de cuatro estados a veces se conoce como el modelo de Ashkin-Teller , ^[3] en honor a Julius Ashkin y Edward Teller , quienes consideraron un modelo equivalente en 1943.

El modelo de Potts está relacionado con, y generalizado por, varios otros modelos, incluyendo el modelo XY , el modelo de Heisenberg y el modelo N-vector . El modelo de Potts de rango infinito se conoce como el modelo Kac. Cuando se toma que los espines interactúen de una manera no abeliana , el modelo se relaciona con el modelo de tubo de flujo , que se utiliza para discutir el confinamiento en cromodinámica cuántica . Las generalizaciones del modelo de Potts también se han utilizado para modelar el crecimiento de grano en metales, el engrosamiento de espumas y las propiedades estadísticas de las proteínas . ^[4] Una generalización adicional de estos métodos por James Glazier y Francois Graner, conocida como el modelo celular de Potts , ^[5] se ha utilizado para simular fenómenos estáticos y cinéticos en espumas y morfogénesis biológica .

Definición

Modelo vectorial de Potts

El modelo de Potts consiste en espines que se colocan en una red ; la red generalmente se considera una red euclidiana rectangular bidimensional , pero a menudo se generaliza a otras dimensiones y estructuras de red.

Originalmente, Domb sugirió que el espín toma uno de los valores posibles ^{[ cita requerida ]} , distribuidos uniformemente alrededor del círculo , en ángulos ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \theta _{s}={\frac {2\pi s}{q}},}$

donde y que el hamiltoniano de interacción está dado por ${\displaystyle s=0,1,...,q-1}$

${\displaystyle H_{c}=J_{c}\sum _{\langle i,j\rangle }\cos \left(\theta _{s_{i}}-\theta _{s_{j}}\right)}$

con la suma que se ejecuta sobre los pares vecinos más cercanos en todos los sitios de la red, y es una constante de acoplamiento, que determina la fuerza de interacción. Este modelo ahora se conoce como el modelo vectorial de Potts o el modelo de reloj . Potts proporcionó la ubicación en dos dimensiones de la transición de fase para . En el límite , esto se convierte en el modelo XY . ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$ ${\displaystyle J_{c}}$ ${\displaystyle q=3,4}$ ${\displaystyle q\to \infty }$

Modelo estándar de Potts

Lo que ahora se conoce como el modelo estándar de Potts fue sugerido por Potts durante su estudio del modelo anterior y está definido por un hamiltoniano más simple:

${\displaystyle H_{p}=-J_{p}\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})\,}$

donde es el delta de Kronecker , que es igual a uno siempre y a cero en caso contrario. ${\displaystyle \delta (s_{i},s_{j})}$ ${\displaystyle s_{i}=s_{j}}$

El modelo estándar de Potts es equivalente al modelo de Ising y al modelo de Potts vectorial de dos estados, con . El modelo estándar de Potts es equivalente al modelo de Potts vectorial de tres estados, con . ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle J_{p}=-2J_{c}}$ ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle J_{p}=-{\frac {3}{2}}J_{c}}$

Modelo de Potts generalizado

Una generalización del modelo de Potts se utiliza a menudo en inferencia estadística y biofísica, en particular para modelar proteínas mediante análisis de acoplamiento directo . ^{[4] [6]} Este modelo de Potts generalizado consta de "espines" que cada uno puede adoptar en estados: (sin ningún orden particular). El hamiltoniano es, ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle s_{i}\in \{1,\dots ,q\}}$

${\displaystyle H=\sum _{i<j}J_{ij}(s_{i},s_{j})+\sum _{i}h_{i}(s_{i}),}$

donde es el costo energético de que el espín esté en estado mientras que el espín está en estado , y es el costo energético de que el espín esté en estado . Nota: . Este modelo se parece al modelo de Sherrington-Kirkpatrick en que los acoplamientos pueden ser heterogéneos y no locales. No hay una estructura reticular explícita en este modelo. ${\displaystyle J_{ij}(k,k')}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle h_{i}(k)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle J_{ij}(k,k')=J_{ji}(k',k)}$

Propiedades físicas

Transiciones de fase

A pesar de su simplicidad como modelo de un sistema físico, el modelo de Potts es útil como sistema modelo para el estudio de transiciones de fase . Por ejemplo, para el modelo de Potts ferromagnético estándar en , existe una transición de fase para todos los valores reales , ^[7] con el punto crítico en . La transición de fase es continua (segundo orden) para ^[8] y discontinua (primer orden) para . ^[9] ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle q\geq 1}$ ${\displaystyle \beta J=\log(1+{\sqrt {q}})}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq 4}$ ${\displaystyle q>4}$

Para el modelo de reloj, hay evidencia de que las transiciones de fase correspondientes son transiciones BKT de orden infinito , ^[10] y se observa una transición de fase continua cuando . ^[10] Se encuentra un uso adicional a través de la relación del modelo con los problemas de percolación y los polinomios cromáticos y de Tutte encontrados en la combinatoria. Para valores enteros de , el modelo muestra el fenómeno de 'adsorción interfacial' ^[11] con intrigantes propiedades críticas de humectación al fijar límites opuestos en dos estados diferentes ^{[ aclaración necesaria ]} . ${\displaystyle q\leq 4}$ ${\displaystyle q\geq 3}$

Relación con el modelo de conglomerados aleatorios

El modelo de Potts tiene una estrecha relación con el modelo de conglomerados aleatorios de Fortuin- Kasteleyn , otro modelo de mecánica estadística . La comprensión de esta relación ha ayudado a desarrollar métodos eficientes de Monte Carlo de cadena de Markov para la exploración numérica del modelo a pequeñas , y ha llevado a la prueba rigurosa de la temperatura crítica del modelo. ^[7] ${\displaystyle q}$

A nivel de la función de partición , la relación equivale a transformar la suma de las configuraciones de espín en una suma de las configuraciones de aristas, es decir, conjuntos de pares de vecinos más próximos del mismo color. La transformación se realiza utilizando la identidad ^[12] ${\displaystyle Z_{p}=\sum _{\{s_{i}\}}e^{-H_{p}}}$ ${\displaystyle \{s_{i}\}}$ ${\displaystyle \omega ={\Big \{}(i,j){\Big |}s_{i}=s_{j}{\Big \}}}$

${\displaystyle e^{J_{p}\delta (s_{i},s_{j})}=1+v\delta (s_{i},s_{j})\qquad {\text{ with }}\qquad v=e^{J_{p}}-1\ .}$

Esto lleva a reescribir la función de partición como

${\displaystyle Z_{p}=\sum _{\omega }v^{\#{\text{edges}}(\omega )}q^{\#{\text{clusters}}(\omega )}}$

donde los grupos FK son los componentes conectados de la unión de segmentos cerrados . Esto es proporcional a la función de partición del modelo de grupo aleatorio con la probabilidad de borde abierto . Una ventaja de la formulación de grupo aleatorio es que puede ser un número complejo arbitrario, en lugar de un entero natural. ${\displaystyle \cup _{(i,j)\in \omega }[i,j]}$ ${\displaystyle p={\frac {v}{1+v}}=1-e^{-J_{p}}}$ ${\displaystyle q}$

Alternativamente, en lugar de clústeres FK, el modelo se puede formular en términos de clústeres de espín , utilizando la identidad

${\displaystyle e^{J_{p}\delta (s_{i},s_{j})}=(1-\delta (s_{i},s_{j}))+e^{J_{p}}\delta (s_{i},s_{j})\ .}$

Un cúmulo de espín es la unión de cúmulos FK vecinos con el mismo color: dos cúmulos de espín vecinos tienen colores diferentes, mientras que dos cúmulos FK vecinos tienen colores independientes.

Descripción teórica de la medida

El modelo unidimensional de Potts puede expresarse en términos de un subdesplazamiento de tipo finito y, por lo tanto, obtiene acceso a todas las técnicas matemáticas asociadas con este formalismo. En particular, puede resolverse exactamente utilizando las técnicas de los operadores de transferencia . (Sin embargo, Ernst Ising utilizó métodos combinatorios para resolver el modelo de Ising , que es el "antecesor" del modelo de Potts, en su tesis doctoral de 1924). Esta sección desarrolla el formalismo matemático, basado en la teoría de la medida , detrás de esta solución.

Si bien el ejemplo que se presenta a continuación está desarrollado para el caso unidimensional, muchos de los argumentos y casi toda la notación se generalizan fácilmente a cualquier número de dimensiones. Parte del formalismo también es lo suficientemente amplio como para manejar modelos relacionados, como el modelo XY , el modelo de Heisenberg y el modelo N-vectorial .

Topología del espacio de estados

Sea Q = {1, ..., q } un conjunto finito de símbolos, y sea

${\displaystyle Q^{\mathbf {Z} }=\{s=(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in Q\;\forall k\in \mathbf {Z} \}}$

sea ​​el conjunto de todas las cadenas bi-infinitas de valores del conjunto Q . Este conjunto se llama desplazamiento completo . Para definir el modelo de Potts, se puede utilizar este espacio completo o un subconjunto determinado del mismo, un subdesplazamiento de tipo finito . Los desplazamientos reciben este nombre porque existe un operador natural en este espacio, el operador de desplazamiento τ : Q ^Z → Q ^Z , que actúa como

${\displaystyle \tau (s)_{k}=s_{k+1}}$

Este conjunto tiene una topología de producto natural ; la base para esta topología son los conjuntos de cilindros.

${\displaystyle C_{m}[\xi _{0},\ldots ,\xi _{k}]=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:s_{m}=\xi _{0},\ldots ,s_{m+k}=\xi _{k}\}}$

es decir, el conjunto de todas las cadenas posibles donde los espines k +1 coinciden exactamente con un conjunto específico dado de valores ξ ₀ , ..., ξ _k . Se pueden obtener representaciones explícitas para los conjuntos de cilindros notando que la cadena de valores corresponde a un número q -ádico , sin embargo, la topología natural de los números q-ádicos es más fina que la topología del producto anterior.

Energía de interacción

La interacción entre los espines se da entonces mediante una función continua V  : Q ^Z → R en esta topología. Cualquier función continua servirá; por ejemplo

${\displaystyle V(s)=-J\delta (s_{0},s_{1})}$

se verá que describe la interacción entre vecinos más cercanos. Por supuesto, diferentes funciones dan diferentes interacciones; por lo tanto, una función de s ₀ , s ₁ y s ₂ describirá una interacción de vecino más cercano siguiente. Una función V da energía de interacción entre un conjunto de espines; no es el hamiltoniano, pero se usa para construirlo. El argumento de la función V es un elemento s ∈ Q ^Z , es decir, una cadena infinita de espines. En el ejemplo anterior, la función V simplemente eligió dos espines de la cadena infinita: los valores s ₀ y s ₁ . En general, la función V puede depender de algunos o todos los espines; actualmente, solo aquellos que dependen de un número finito son exactamente solucionables.

Defina la función H _n  : Q ^Z → R como

${\displaystyle H_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}V(\tau ^{k}s)}$

Se puede ver que esta función consta de dos partes: la energía propia de una configuración [ s ₀ , s ₁ , ..., s _n ] de espines, más la energía de interacción de este conjunto y todos los demás espines en la red. El límite n → ∞ de esta función es el hamiltoniano del sistema; para n finito , a veces se los llama hamiltonianos de estado finito .

Función de partición y medida

La función de partición de estados finitos correspondiente está dada por

${\displaystyle Z_{n}(V)=\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}\exp(-\beta H_{n}(C_{0}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))}$

donde C ₀ es el conjunto de cilindros definido anteriormente. Aquí, β = 1/ kT , donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura . Es muy común en los tratamientos matemáticos establecer β = 1, ya que se recupera fácilmente reescalando la energía de interacción. Esta función de partición se escribe como una función de la interacción V para enfatizar que es solo una función de la interacción, y no de ninguna configuración específica de espines. La función de partición, junto con el hamiltoniano, se utilizan para definir una medida en el σ-álgebra de Borel de la siguiente manera: La medida de un conjunto de cilindros, es decir, un elemento de la base, está dada por

${\displaystyle \mu (C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}])={\frac {1}{Z_{n}(V)}}\exp(-\beta H_{n}(C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))}$

Se puede entonces extender por aditividad contable a la σ-álgebra completa. Esta medida es una medida de probabilidad ; da la probabilidad de que una configuración dada ocurra en el espacio de configuración Q ^Z . Al dotar al espacio de configuración con una medida de probabilidad construida a partir de un hamiltoniano de esta manera, el espacio de configuración se convierte en un conjunto canónico .

La mayoría de las propiedades termodinámicas se pueden expresar directamente en términos de la función de partición. Así, por ejemplo, la energía libre de Helmholtz viene dada por

${\displaystyle A_{n}(V)=-kT\log Z_{n}(V)}$

Otra cantidad importante relacionada es la presión topológica, definida como

${\displaystyle P(V)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log Z_{n}(V)}$

que aparecerá como el logaritmo del valor propio principal del operador de transferencia de la solución.

Solución de campo libre

El modelo más simple es el modelo en el que no hay interacción en absoluto, y por lo tanto V = c y H _n = c (con c constante e independiente de cualquier configuración de espín). La función de partición se convierte en

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}1}$

Si se permiten todos los estados, es decir, el conjunto subyacente de estados está dado por un desplazamiento completo , entonces la suma puede evaluarse trivialmente como

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }q^{n+1}}$

Si los espines vecinos solo se permiten en ciertas configuraciones específicas, entonces el espacio de estados está dado por un subdesplazamiento de tipo finito . La función de partición puede entonces escribirse como

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }|{\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}|=e^{-c\beta }{\mbox{Tr}}A^{n}}$

donde card es la cardinalidad o el recuento de un conjunto, y Fix es el conjunto de puntos fijos de la función de desplazamiento iterada:

${\displaystyle {\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:\tau ^{n}s=s\}}$

La matriz q × q A es la matriz de adyacencia que especifica qué valores de espín vecinos están permitidos.

Modelo interactivo

El caso más simple del modelo de interacción es el modelo de Ising , donde el espín solo puede tomar uno de dos valores, s _n ∈ {−1, 1} y solo interactúan los espines vecinos más cercanos. El potencial de interacción está dado por

${\displaystyle V(\sigma )=-J_{p}s_{0}s_{1}\,}$

Este potencial se puede capturar en una matriz de 2 × 2 con elementos de matriz

${\displaystyle M_{\sigma \sigma '}=\exp \left(\beta J_{p}\sigma \sigma '\right)}$

con el índice σ, σ′ ∈ {−1, 1}. La función de partición está dada entonces por

${\displaystyle Z_{n}(V)={\mbox{Tr}}\,M^{n}}$

La solución general para un número arbitrario de espines y una interacción de rango finito arbitrario se da mediante la misma forma general. En este caso, la expresión precisa para la matriz M es un poco más compleja.

El objetivo de resolver un modelo como el modelo de Potts es dar una expresión exacta en forma cerrada para la función de partición y una expresión para los estados de Gibbs o estados de equilibrio en el límite de n → ∞, el límite termodinámico .

Aplicaciones

Procesamiento de señales e imágenes

El modelo de Potts tiene aplicaciones en la reconstrucción de señales. Supongamos que se nos da una observación ruidosa de una señal constante por partes g en R ⁿ . Para recuperar g del vector de observación ruidosa f en R ⁿ , se busca un minimizador del problema inverso correspondiente, la función L ^p -Potts P _γ ( u ), que se define por

${\displaystyle P_{\gamma }(u)=\gamma \|\nabla u\|_{0}+\|u-f\|_{p}^{p}=\gamma \#\{i:u_{i}\neq u_{i+1}\}+\sum _{i=1}^{n}|u_{i}-f_{i}|^{p}}$

La penalización por salto obliga a utilizar soluciones constantes por partes y el término de datos acopla el candidato minimizador u a los datos f . El parámetro γ > 0 controla el equilibrio entre regularidad y fidelidad de los datos . Existen algoritmos rápidos para la minimización exacta de las funciones L ¹ y L ^{2 -Potts. [13]} ${\displaystyle \|\nabla u\|_{0}}$ ${\displaystyle \|u-f\|_{p}^{p}}$

En el procesamiento de imágenes, la función Potts está relacionada con el problema de segmentación. ^[14] Sin embargo, en dos dimensiones el problema es NP-hard. ^[15]

Véase también

• Modelo de conglomerados aleatorios
• Modelo crítico de Potts de tres estados
• Modelo quiral de Potts
• Modelo de Ising de red cuadrada
• Modelos minimalistas
• Modelo ZN
• Modelo de Potts celular

Referencias

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5. Graner, François; Glazier, James A. (28 de septiembre de 1992). "Simulación de la clasificación celular biológica utilizando un modelo de Potts extendido bidimensional". Physical Review Letters . 69 (13): 2013–2016. Bibcode :1992PhRvL..69.2013G. doi :10.1103/PhysRevLett.69.2013. PMID  10046374.
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Enlaces externos

• Haggard, Gary; Pearce, David J.; Royle, Gordon. "Código para calcular de manera eficiente los polinomios de Tutte, cromáticos y de flujo".