En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , una serie de subgrupos de un grupo es una cadena de subgrupos :
¿Dónde está el subgrupo trivial ? Las series de subgrupos pueden simplificar el estudio de un grupo al estudio de subgrupos más simples y sus relaciones, y varias series de subgrupos pueden definirse invariantemente y son invariantes importantes de los grupos. En el método de subgrupos se utiliza una serie de subgrupos .
Las series de subgrupos son un ejemplo especial del uso de filtraciones en álgebra abstracta .
Una serie subnormal (también serie normal , torre normal , serie subinvariante o simplemente serie ) de un grupo G es una secuencia de subgrupos , cada uno de los cuales es un subgrupo normal del siguiente. En notación estándar
No existe ningún requisito de que Ai sea un subgrupo normal de G , solo un subgrupo normal de Ai +1 . Los grupos de cocientes Ai +1 / Ai se denominan grupos de factores de la serie.
Si además cada Ai es normal en G , entonces la serie se llama serie normal , cuando este término no se utiliza en el sentido más débil, o serie invariante .
Una serie con la propiedad adicional de que A i ≠ A i +1 para todo i se llama serie sin repetición ; de manera equivalente, cada Ai es un subgrupo propio de Ai +1 . La longitud de una serie es el número de inclusiones estrictas A i < A i +1 . Si la serie no tiene repetición entonces la longitud es n .
Para una serie subnormal, la longitud es el número de grupos de factores no triviales . Cada grupo no trivial tiene una serie normal de longitud 1, es decir , y cualquier subgrupo normal propio no trivial da una serie normal de longitud 2. Para grupos simples , la serie trivial de longitud 1 es la serie subnormal más larga posible.
Las series se pueden anotar en cualquier orden ascendente:
o orden descendente:
Para una serie finita dada, no hay distinción entre una "serie ascendente" o una "serie descendente" más allá de la notación. Sin embargo, para las series infinitas hay una distinción: la serie ascendente
tiene un término más pequeño, un segundo término más pequeño, y así sucesivamente, pero ningún término propio más grande, ni un segundo término más grande, y así sucesivamente, mientras que, a la inversa, la serie descendente
tiene un término más grande, pero no un término propio más pequeño.
Además, dada una fórmula recursiva para producir una serie, los términos producidos son ascendentes o descendentes, y a la serie resultante se le llama serie ascendente o descendente, respectivamente. Por ejemplo, la serie derivada y la serie central inferior son series descendentes, mientras que la serie central superior es una serie ascendente.
Un grupo que satisface la condición de cadena ascendente (ACC) en subgrupos se llama grupo noetheriano , y un grupo que satisface la condición de cadena descendente (DCC) se llama grupo artiniano (no confundir con los grupos artinianos ), por analogía con el noetheriano. anillos y anillos artinianos . El ACC es equivalente a la condición máxima : cada colección de subgrupos no vacía tiene un miembro máximo, y el DCC es equivalente a la condición mínima análoga .
Un grupo puede ser noetheriano pero no artiniano, como el grupo cíclico infinito , y a diferencia de los anillos , un grupo puede ser artiniano pero no noetheriano, como el grupo de Prüfer . Todo grupo finito es claramente noetheriano y artiniano.
Las imágenes homomorfas y los subgrupos de grupos noetherianos son noetherianos, y una extensión de un grupo noetheriano por un grupo noetheriano es noetheriana. Resultados análogos son válidos para los grupos artinianos.
Los grupos noetherianos son equivalentes a aquellos en los que cada subgrupo se genera finitamente , lo cual es más fuerte que el grupo mismo que se genera finitamente: el grupo libre en 2 o un número finito de generadores se genera finitamente, pero contiene grupos libres de rango infinito.
Los grupos noetherianos no necesitan ser extensiones finitas de grupos policíclicos . [1]
También se pueden definir y surgir de forma natural series infinitas de subgrupos, en cuyo caso el conjunto de indexación específico ( totalmente ordenado ) se vuelve importante y existe una distinción entre series ascendentes y descendentes. Una serie ascendente en la que están indexados por los números naturales puede denominarse simplemente serie ascendente infinita y, a la inversa, serie descendente infinita . Si los subgrupos están indexados de manera más general mediante números ordinales , se obtiene una serie transfinita , [2] como esta serie ascendente:
Dada una fórmula recursiva para producir una serie, se puede definir una serie transfinita mediante recursión transfinita definiendo la serie en ordinales límite por (para series ascendentes) o (para series descendentes). Ejemplos fundamentales de esta construcción son las series centrales inferiores transfinitas y las series centrales superiores .
Otros conjuntos totalmente ordenados rara vez surgen, o nunca, como conjuntos de indexación de series de subgrupos. [ cita necesaria ] Por ejemplo, se pueden definir, pero rara vez se ven, series de subgrupos bi-infinitos que ocurren naturalmente (series indexadas por números enteros ):
Un refinamiento de una serie es otra serie que contiene cada uno de los términos de la serie original. Se dice que dos series subnormales son equivalentes o isomorfas si existe una biyección entre los conjuntos de sus grupos de factores tal que los grupos de factores correspondientes sean isomorfos . El refinamiento da un orden parcial a las series, hasta la equivalencia, y forman una red , mientras que las series subnormales y normales forman subredes. La existencia del supremo de dos series subnormales es el teorema del refinamiento de Schreier . De particular interés son las series máximas sin repetición.
Algunas series de subgrupos se definen funcionalmente , en términos de subgrupos como el centro y operaciones como el conmutador. Éstas incluyen:
Existen series provenientes de subgrupos de orden de potencias primarias o índice de potencias primarias, relacionadas con ideas como los subgrupos de Sylow .
