En matemáticas y física , el billar de Artin es un tipo de billar dinámico estudiado por primera vez por Emil Artin en 1924. Describe el movimiento geodésico de una partícula libre sobre la superficie no compacta de Riemann donde es el semiplano superior dotado de la métrica de Poincaré y es el grupo modular . Puede verse como el movimiento sobre el dominio fundamental del grupo modular con los lados identificados.
El sistema se destaca por ser un sistema exactamente solucionable que es fuertemente caótico : no solo es ergódico , sino que también es fuertemente mixto . Como tal, es un ejemplo de un flujo de Anosov . El artículo de Artin utilizó dinámica simbólica para el análisis del sistema.
La versión mecánica cuántica del billar de Artin también se puede resolver con exactitud. El espectro de valores propios consta de un estado ligado y un espectro continuo por encima de la energía . Las funciones de onda se dan mediante funciones de Bessel .
El movimiento estudiado es el de una partícula libre que se desliza sin fricción, es decir, una que tiene el hamiltoniano
donde m es la masa de la partícula, son las coordenadas en la variedad, son los momentos conjugados :
y
es el tensor métrico en la variedad. Como este es el hamiltoniano de partícula libre, la solución de las ecuaciones de movimiento de Hamilton-Jacobi se da simplemente mediante las geodésicas en la variedad.
En el caso del billar Artin, la métrica viene dada por la métrica canónica de Poincaré.
en el semiplano superior. La superficie de Riemann no compacta es un espacio simétrico y se define como el cociente del semiplano superior módulo la acción de los elementos de actuando como transformaciones de Möbius . El conjunto
es un dominio fundamental para esta acción.
La variedad tiene, por supuesto, una cúspide . Se trata de la misma variedad, cuando se la toma como variedad compleja , es decir, el espacio en el que se estudian las curvas elípticas y las funciones modulares .
