Arg máx.

Entradas en las que los valores de la función son más altos

Como ejemplo, tanto la función sinc normalizada como la no normalizada tienen un valor de {0} porque ambas alcanzan su valor máximo global de 1 en x  = 0. La función sinc no normalizada (roja) tiene un valor mínimo de arg de {−4,49, 4,49}, aproximadamente, porque tiene 2 valores mínimos globales de aproximadamente −0,217 en x  = ±4,49. Sin embargo, la función sinc normalizada (azul) tiene un valor mínimo de arg de {−1,43, 1,43}, aproximadamente, porque sus mínimos globales ocurren en x  = ±1,43, aunque el valor mínimo es el mismo. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

En matemáticas , los argumentos de los máximos (abreviados arg max o argmax ) y los argumentos de los mínimos (abreviados arg min o argmin ) son los puntos de entrada en los que se maximiza y minimiza el valor de salida de una función , respectivamente. ^{[nota 1]} Si bien los argumentos se definen sobre el dominio de una función , la salida es parte de su codominio .

Definición

Dado un conjunto arbitrario , un conjunto totalmente ordenado y una función, , sobre algún subconjunto de se define por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

Si o es claro a partir del contexto, entonces a menudo se omite, como en En otras palabras, es el conjunto de puntos para los cuales alcanza el valor más grande de la función (si existe). puede ser el conjunto vacío , un singleton o contener múltiples elementos. ${\displaystyle S=X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in X\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Argmax} }$

En los campos del análisis convexo y el análisis variacional , se utiliza una definición ligeramente diferente en el caso especial donde son los números reales extendidos . ^[2] En este caso, si es idénticamente igual a en entonces (es decir, ) y en caso contrario se define como arriba, donde en este caso también se puede escribir como: ${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}}$

donde se enfatiza que esta igualdad que involucra se cumple sólo cuando no es idéntica en . ^[2] ${\displaystyle \sup {}_{S}f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle S}$

Arg mínimo

La noción de (o ), que representa el argumento del mínimo , se define de manera análoga. Por ejemplo, ${\displaystyle \operatorname {argmin} }$ ${\displaystyle \operatorname {arg\,min} }$

${\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}}$

son puntos para los cuales alcanza su valor más pequeño. Es el operador complementario de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {arg\,max} }$

En el caso especial donde son los números reales extendidos , si es idénticamente igual a en entonces (es decir, ) y en caso contrario se define como arriba y además, en este caso (de no idénticamente igual a ) también satisface: ${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.}$^[2]

Ejemplos y propiedades

Por ejemplo, si es entonces alcanza su valor máximo de sólo en el punto Por lo tanto ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 1-|x|,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x=0.}$

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}$

El operador es diferente del operador. El operador, cuando se le da la misma función, devuelve el valor máximo de la función en lugar del punto o puntos que hacen que esa función alcance ese valor; en otras palabras ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ ${\displaystyle \max }$ ${\displaystyle \max }$

${\displaystyle \max _{x}f(x)}$es el elemento en ${\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

Como max puede ser el conjunto vacío (en cuyo caso el máximo no está definido) o un singleton, pero a diferencia de no puede contener múltiples elementos: ^{[nota 2]} por ejemplo, si es entonces pero porque la función alcanza el mismo valor en cada elemento de ${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {max} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 4x^{2}-x^{4},}$ ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},}$ ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

De manera equivalente, si es el máximo de entonces es el conjunto de niveles del máximo: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}$

Podemos reorganizar para dar la identidad simple ^{[nota 3]}

${\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}$

Si el máximo se alcanza en un único punto, a menudo se hace referencia a ese punto como el y se considera un punto, no un conjunto de puntos. Así, por ejemplo, ${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}$

(en lugar del conjunto singleton ), ya que el valor máximo de es que ocurre para ^{[nota 4]} Sin embargo, en caso de que el máximo se alcance en muchos puntos, debe considerarse un conjunto de puntos. ${\displaystyle \{5\}}$ ${\displaystyle x(10-x)}$ ${\displaystyle 25,}$ ${\displaystyle x=5.}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

Por ejemplo

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}$

porque el valor máximo de es que ocurre en este intervalo para o En toda la recta real ${\displaystyle \cos x}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle x=0,2\pi }$ ${\displaystyle 4\pi .}$

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},}$Así que un conjunto infinito.

Las funciones no necesitan, en general, alcanzar un valor máximo y, por lo tanto , a veces es el conjunto vacío ; por ejemplo, ya que no está acotado en la recta real. Como otro ejemplo, aunque está acotado por Sin embargo, por el teorema del valor extremo , una función continua de valor real en un intervalo cerrado tiene un máximo y, por lo tanto, un conjunto no vacío ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ ${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,}$ ${\displaystyle \arctan }$ ${\displaystyle \pm \pi /2.}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

Véase también

• Argumento de una función
• Máximos y mínimos
• Moda (estadística)
• Optimización matemática
• Núcleo (álgebra lineal)
• Preimage

Notas

1. Para mayor claridad, nos referimos a la entrada ( x ) como puntos y a la salida ( y ) como valores; compare punto crítico y valor crítico .
2. Debido a la antisimetría , una función puede tener como máximo un valor máximo. ${\displaystyle \,\leq ,}$
3. Se trata de una identidad entre conjuntos, más particularmente, entre subconjuntos de ${\displaystyle Y.}$
4. Nótese que con igualdad si y sólo si ${\displaystyle x(10-x)=25-(x-5)^{2}\leq 25}$ ${\displaystyle x-5=0.}$

Referencias

1. "La función Sinc no normalizada Archivado el 15 de febrero de 2017 en Wayback Machine ", Universidad de Sydney
2. Rockafellar & Wets 2009, págs. 1–37.

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313.OCLC 883392544  .

Enlaces externos

• arg min y arg max en PlanetMath .