Ruta (topología)

Función continua cuyo dominio es un intervalo unitario cerrado

Los puntos trazados por un camino desde a en Sin embargo, diferentes caminos pueden trazar el mismo conjunto de puntos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

En matemáticas , un camino en un espacio topológico es una función continua desde un intervalo cerrado hasta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Los caminos juegan un papel importante en los campos de la topología y el análisis matemático . Por ejemplo, un espacio topológico para el cual existe un camino que conecta dos puntos cualesquiera se dice que está conexo por caminos . Cualquier espacio puede dividirse en componentes conexos por caminos . El conjunto de componentes conexos por caminos de un espacio a menudo se denota ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{0}(X).}$

También se pueden definir caminos y bucles en espacios puntiagudos , que son importantes en la teoría de homotopía . Si es un espacio topológico con punto base , entonces un camino en es uno cuyo punto inicial es . Del mismo modo, un bucle en es uno que tiene su base en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Definición

Una curva en un espacio topológico es una función continua de un intervalo no vacío y no degenerado. Un camino en es una curva cuyo dominio es un intervalo compacto no degenerado (es decir, son números reales ), donde se llama punto inicial del camino y se llama su punto terminal . Un camino desde hasta es un camino cuyo punto inicial es y cuyo punto terminal es Todo intervalo compacto no degenerado es homeomorfo a , por lo que a veces se define un camino , especialmente en la teoría de la homotopía, como una función continua del intervalo unitario cerrado en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:J\to X}$ ${\displaystyle J\subseteq \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to X}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle I:=[0,1]}$ ${\displaystyle X.}$

Un arco o arco C ⁰ es un camino que también es una incrustación topológica . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Es importante destacar que una ruta no es solo un subconjunto de lo que "parece" una curva , sino que también incluye una parametrización . Por ejemplo, los mapas y representan dos rutas diferentes de 0 a 1 en la línea real. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$

Un bucle en un espacio basado en es un camino desde a Un bucle puede considerarse igualmente como un mapa con o como un mapa continuo desde el círculo unitario a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle f(0)=f(1)}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:S^{1}\to X.}$

Esto se debe a que es el espacio cociente de cuando se identifica con El conjunto de todos los bucles en forma un espacio llamado espacio de bucles de ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Homotopía de caminos

Una homotopía entre dos caminos.

Los caminos y los bucles son temas centrales de estudio en la rama de la topología algebraica llamada teoría de homotopía . Una homotopía de caminos precisa la noción de deformar continuamente un camino mientras se mantienen fijos sus puntos finales.

Específicamente, una homotopía de caminos, u homotopía de caminos , en es una familia de caminos indexados por tales que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{t}:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$

• ${\displaystyle f_{t}(0)=x_{0}}$y son fijos. ${\displaystyle f_{t}(1)=x_{1}}$
• El mapa dado por es continuo. ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle F(s,t)=f_{t}(s)}$

Los caminos y conectados por una homotopía se llaman homotópicos (o más precisamente homotópicos de caminos , para distinguir entre la relación definida en todas las funciones continuas entre espacios fijos). Asimismo, se puede definir una homotopía de bucles manteniendo fijo el punto base. ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f_{1}}$

La relación de ser homotópico es una relación de equivalencia en caminos en un espacio topológico. La clase de equivalencia de un camino bajo esta relación se llama clase de homotopía , a menudo denotada como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [f].}$

Composición de la ruta

Se pueden componer caminos en un espacio topológico de la siguiente manera. Supongamos que es un camino desde a y es un camino desde a . El camino se define como el camino obtenido al recorrer primero y luego recorrer : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}}$

Claramente, la composición de la ruta solo se define cuando el punto terminal de coincide con el punto inicial de Si se consideran todos los bucles basados ​​en un punto, entonces la composición de la ruta es una operación binaria . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle x_{0},}$

La composición de caminos, siempre que se defina, no es asociativa debido a la diferencia en la parametrización. Sin embargo, es asociativa hasta la homotopía de caminos. Es decir, la composición de caminos define una estructura de grupo en el conjunto de clases de homotopía de bucles basados ​​en un punto en El grupo resultante se denomina grupo fundamental de basado en generalmente denotado ${\displaystyle [(fg)h]=[f(gh)].}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle \pi _{1}\left(X,x_{0}\right).}$

En situaciones que requieren asociatividad de la composición de caminos "de manera directa", un camino en puede definirse en cambio como un mapa continuo desde un intervalo a para cualquier real (un camino de este tipo se denomina camino de Moore ). Un camino de este tipo tiene una longitud definida como La composición de caminos se define entonces como antes con la siguiente modificación: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,a]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\geq 0.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle a.}$

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}}$

Mientras que con la definición anterior, , y todos tienen longitud (la longitud del dominio del mapa), esta definición hace Lo que hizo que la asociatividad fallara para la definición anterior es que aunque y tienen la misma longitud, es decir, el punto medio de ocurrió entre y mientras que el punto medio de ocurrió entre y . Con esta definición modificada y tienen la misma longitud, es decir , y el mismo punto medio, encontrado en tanto en como ; más generalmente tienen la misma parametrización en todas partes. ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |fg|=|f|+|g|.}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle |f|+|g|+|h|,}$ ${\displaystyle \left(|f|+|g|+|h|\right)/2}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$

Grupoide fundamental

Hay una imagen categórica de los caminos que a veces es útil. Cualquier espacio topológico da lugar a una categoría donde los objetos son los puntos de y los morfismos son las clases de homotopía de los caminos. Dado que cualquier morfismo en esta categoría es un isomorfismo, esta categoría es un grupoide , llamado el grupoide fundamental de Los bucles en esta categoría son los endomorfismos (todos los cuales son en realidad automorfismos ). El grupo de automorfismos de un punto en es simplemente el grupo fundamental basado en . De manera más general, se puede definir el grupoide fundamental en cualquier subconjunto de utilizando clases de homotopía de caminos que unen puntos de Esto es conveniente para el Teorema de Van Kampen . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A.}$

Véase también

• Curva § Topología
• Espacio conexo localmente  – Propiedad de los espacios topológicosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio de caminos (desambiguación)
• Espacio conexo por caminos  : espacio topológico que está conexoPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

• Ronald Brown , Topología y grupoides, Booksurge PLC, (2006).
• J. Peter May , Un curso conciso en topología algebraica, University of Chicago Press, (1999).
• James Munkres , Topología 2da. edición, Prentice Hall, (2000).