antirresonancia

En la física de osciladores acoplados , la antirresonancia , por analogía con la resonancia , es un mínimo pronunciado en la amplitud de un oscilador a una frecuencia particular , acompañado por un cambio grande y abrupto en su fase de oscilación . Estas frecuencias se conocen como frecuencias antiresonantes del sistema y en estas frecuencias la amplitud de oscilación puede caer hasta casi cero. Las antirresonancias son causadas por interferencias destructivas , por ejemplo entre una fuerza impulsora externa y la interacción con otro oscilador.

Las antirresonancias pueden ocurrir en todo tipo de sistemas de osciladores acoplados, incluidos sistemas mecánicos , acústicos , electromagnéticos y cuánticos . Tienen importantes aplicaciones en la caracterización de sistemas acoplados complicados.

El término antiresonancia se utiliza en ingeniería eléctrica para una forma de resonancia en un único oscilador con efectos similares.

Antirresonancia en ingeniería eléctrica.

En ingeniería eléctrica , la antirresonancia es la condición por la cual la reactancia desaparece pero la impedancia resistiva de un circuito eléctrico no deja de ser muy alta, acercándose al infinito.

En un circuito eléctrico que consta de un condensador y un inductor en paralelo , la antiresonancia se produce cuando el voltaje de línea de corriente alterna y la corriente resultante están en fase . ^[1] En estas condiciones, la corriente de línea es muy pequeña debido a la alta impedancia eléctrica del circuito paralelo en antiresonancia. Las corrientes derivadas son casi iguales en magnitud y opuestas en fase. ^[2]

Antirresonancia en osciladores acoplados.

Amplitud y fase en estado estacionario de dos osciladores armónicos acoplados en función de la frecuencia.

El sistema más simple en el que surge la antiresonancia es un sistema de osciladores armónicos acoplados , por ejemplo circuitos pendulares o RLC .

Considere dos osciladores armónicos acoplados con fuerza g y con un oscilador impulsado por una fuerza externa oscilante F. La situación se describe mediante las ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}_{1}+2\gamma _{1}{\dot {x}}_{1}-2g\omega _{1}x_{2}+\omega _{1}^{2}x_{1}&=2F\cos \omega t\\{\ddot {x}}_{2}+2\gamma _{2}{\dot {x}}_{2}-2g\omega _{2}x_{1}+\omega _{2}^{2}x_{2}&=0\end{aligned}}}$

donde ω _i representan las frecuencias de resonancia de los dos osciladores y γ _i sus tasas de amortiguación . Cambiar variables a parámetros complejos :

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&=\omega _{1}x_{1}+i{\frac {p_{1}}{m_{1}}}\\\alpha _{2}&=\omega _{2}x_{2}+i{\frac {p_{2}}{m_{1}}}\end{aligned}}}$

nos permite escribirlas como ecuaciones de primer orden:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\alpha }}_{1}&=i\omega _{1}\alpha _{1}-\gamma _{1}(\alpha _{1}-\alpha _{1}^{*})-ig{\tfrac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}(\alpha _{2}+\alpha _{2}^{*})+iF(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})\\{\dot {\alpha }}_{2}&=i\omega _{2}\alpha _{2}-\gamma _{2}(\alpha _{2}-\alpha _{2}^{*})-ig{\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}(\alpha _{1}+\alpha _{1}^{*})\end{aligned}}}$

Nos transformamos en un marco que gira a la frecuencia de conducción.

${\displaystyle \alpha _{i}\rightarrow \alpha _{i}e^{-i\omega t}}$

flexible

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\alpha }}_{1}&=i\Delta _{1}\alpha _{1}-\gamma _{1}(\alpha _{1}-\alpha _{1}^{*}e^{2i\omega t})-ig{\tfrac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}(\alpha _{2}+\alpha _{2}^{*}e^{2i\omega t})+iF(1+e^{2i\omega t})\\{\dot {\alpha }}_{2}&=i\Delta _{2}\alpha _{2}-\gamma _{2}(\alpha _{2}-\alpha _{2}^{*}e^{2i\omega t})-ig{\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}(\alpha _{1}+\alpha _{1}^{*}e^{2i\omega t})\end{aligned}}}$

donde hemos introducido las desafinaciones Δ _i = ω − ω _i entre las frecuencias de resonancia del excitador y de los osciladores. Finalmente, hacemos una aproximación de onda giratoria , ignorando los términos rápidos contrarrotativos proporcionales a e ^{2 iωt} , cuyo promedio es cero en las escalas de tiempo que nos interesan (esta aproximación supone que ω + ω _i ≫ ω − ω _i , que es razonable para rangos de frecuencia pequeños alrededor de las resonancias). Así obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\alpha }}_{1}&=i(\Delta _{1}+i\gamma _{1})\alpha _{1}-ig{\tfrac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}\alpha _{2}+iF\\{\dot {\alpha }}_{2}&=i(\Delta _{2}+i\gamma _{2})\alpha _{2}-ig{\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\alpha _{1}\end{aligned}}}$

Sin amortiguación, conducción o acoplamiento, las soluciones a estas ecuaciones son:

${\displaystyle \alpha _{i}(t)=\alpha _{i}(0)e^{i\Delta t}}$

que representan una rotación en el plano complejo α con frecuencia angular Δ .

La solución en estado estacionario se puede encontrar estableciendo , lo que da: ${\displaystyle {\dot {\alpha }}_{1}={\dot {\alpha }}_{2}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1,ss}&={\frac {-F(\Delta _{2}+i\gamma _{2})}{(\Delta _{1}+i\gamma _{1})(\Delta _{2}+i\gamma _{2})-g^{2}}}\\\alpha _{2,ss}&={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}{\dfrac {-Fg}{(\Delta _{1}+i\gamma _{1})(\Delta _{2}+i\gamma _{2})-g^{2}}}\end{aligned}}}$

Al examinar estas soluciones de estado estacionario en función de la frecuencia de conducción, es evidente que ambos osciladores muestran resonancias (picos de amplitud acompañados de cambios de fase positivos) en las dos frecuencias del modo normal . Además, el oscilador accionado muestra una caída pronunciada en la amplitud entre los modos normales que va acompañada de un cambio de fase negativo. Esta es la antiresonancia. Tenga en cuenta que no hay antirresonancia en el espectro del oscilador no excitado ; aunque su amplitud tiene un mínimo entre los modos normales, no hay una caída pronunciada ni un cambio de fase negativo.

Interpretación como interferencia destructiva.

Animación que muestra la evolución temporal hasta el estado estacionario antiresonante de dos péndulos acoplados. La flecha roja representa una fuerza impulsora que actúa sobre el péndulo izquierdo.

Se puede considerar que la amplitud de oscilación reducida en caso de antirresonancia se debe a una interferencia destructiva o a una anulación de las fuerzas que actúan sobre el oscilador.

En el ejemplo anterior, a la frecuencia de antiresonancia, la fuerza impulsora externa F que actúa sobre el oscilador 1 cancela la fuerza que actúa a través del acoplamiento al oscilador 2, lo que hace que el oscilador 1 permanezca casi estacionario.

Sistemas acoplados complicados

Ejemplo de función de respuesta en frecuencia de un sistema dinámico con varios grados de libertad, que muestra un comportamiento de resonancia-antiresonancia distinto tanto en amplitud como en fase.

La función de respuesta de frecuencia (FRF) de cualquier sistema dinámico lineal compuesto por muchos componentes acoplados mostrará en general un comportamiento distintivo de resonancia-antiresonancia cuando se acciona. ^[3]

Como regla general, se puede afirmar que a medida que aumenta la distancia entre el componente accionado y el componente medido, disminuye el número de antirresonancias en el FRF. ^[4] Por ejemplo, en la situación de dos osciladores anterior, la FRF del oscilador no accionado no mostró antiresonancia. Las resonancias y antirresonancias sólo se alternan continuamente en la FRF del propio componente accionado.

Aplicaciones

Un resultado importante en la teoría de las antirresonancias es que pueden interpretarse como resonancias del sistema fijado en el punto de excitación. ^[4] Esto se puede ver en la animación del péndulo de arriba: la situación antiresonante en estado estacionario es la misma que si el péndulo izquierdo estuviera fijo y no pudiera oscilar. Un corolario importante de este resultado es que las antirresonancias de un sistema son independientes de las propiedades del oscilador accionado; es decir, no cambian si se altera la frecuencia de resonancia o el coeficiente de amortiguación del oscilador excitado.

Este resultado hace que las antirresonancias sean útiles para caracterizar sistemas acoplados complejos que no pueden separarse fácilmente en sus componentes constituyentes. Las frecuencias de resonancia del sistema dependen de las propiedades de todos los componentes y de sus acoplamientos, y son independientes de cuál es accionado. Las antirresonancias, por otro lado, dependen de todo excepto del componente que se acciona, por lo que proporcionan información sobre cómo afecta al sistema total. Accionando cada componente por turno, se puede obtener información sobre todos los subsistemas individuales, a pesar de los acoplamientos entre ellos. Esta técnica tiene aplicaciones en ingeniería mecánica , análisis estructural , ^[5] y diseño de circuitos cuánticos integrados . ^[6]

En ingeniería eléctrica, la antirresonancia se utiliza en trampas de ondas , que a veces se insertan en serie con antenas de receptores de radio para bloquear el flujo de corriente alterna en la frecuencia de una estación perturbadora, dejando pasar otras frecuencias. ^{[7] [8]}

En los sistemas nanomecánicos, los espectros de banda lateral de un modo no lineal impulsado con su frecuencia propia modulada a una frecuencia baja (<1 kHz) muestran formas de líneas antiresonancia prominentes en los espectros de potencia, que pueden controlarse a través del estado de vibración. La frecuencia antiresonancia se puede utilizar para caracterizar la fluctuación térmica y el parámetro de compresión del sistema no lineal. ^[9]

Ver también

• Resonancia
• Oscilador
• Resonancia (circuitos de corriente alterna)
• Amortiguador de masa sintonizado
• resonancia fano

Referencias

1. Kinsler, Lawrence E.; et al. (1999). Fundamentos de acústica (4ª, ed. hrdbk). Wiley. pag. 46.ISBN​ 0-471-84789-5.
2. Balanis, Constantino A. (2005). Teoría de las antenas: análisis y diseño (3ª, ed. hrdbk). Wiley Interciencia. pag. 195.ISBN​ 0-471-66782-X.
3. Ewins, DJ (1984). Pruebas modales: teoría y práctica . Nueva York: Wiley.
4. Wahl, F.; Schmidt, G.; Forrai, L. (1999). "Sobre la importancia de las frecuencias de antiresonancia en el análisis estructural experimental". Revista de Sonido y Vibración . 219 (3): 379. Código bibliográfico : 1999JSV...219..379W. doi :10.1006/jsvi.1998.1831.
5. Sjövall, P.; Abrahamsson, T. (2008). "Identificación del sistema de subestructura a partir de datos de prueba del sistema acoplado". Sistemas Mecánicos y Procesamiento de Señales . 22 (1): 15. Código bibliográfico : 2008MSSP...22...15S. doi :10.1016/j.ymssp.2007.06.003.
6. Mismos, C.; Chibani, H.; Hamsen, C.; Altin, Pensilvania; Wilk, T.; Rempe, G. (2014). "Cambio de fase de antirresonancia en QED de cavidad fuertemente acoplada". Cartas de revisión física . 112 (4): 043601. arXiv : 1309.2228 . Código bibliográfico : 2014PhRvL.112d3601S. doi : 10.1103/PhysRevLett.112.043601. PMID  24580448. S2CID  30259173.
7. Pozar, David M. (2004). Ingeniería de microondas (edición de tapa dura). Wiley. pag. 275.ISBN​ 0-471-44878-8.
8. Sayre, Cotter W. (2008). Diseño inalámbrico completo (segunda edición de tapa dura). Profesional de McGraw-Hill. pag. 4.ISBN​ 978-0-07-154452-8.
9. Yang, ventilador; Fu, Mengqi; Bosnjak, Bojan; Blick, Robert H.; Jiang, Yuxuan; Scheer, Elke (2021). "Banda lateral modulada mecánicamente y efectos de compresión de resonadores de membrana". Cartas de revisión física . 127 (18) (publicado el 26 de octubre de 2021): 184301. arXiv : 2107.10355 . Código Bib : 2021PhRvL.127r4301Y. doi :10.1103/PhysRevLett.127.184301. PMID  34767395. S2CID  236171156.