Mojadura

Influence on an oscillating physical system which reduces or prevents its oscillation

Sistema resorte-masa subamortiguado con ζ < 1

En los sistemas físicos , el amortiguamiento es la pérdida de energía de un sistema oscilante por disipación . ^{[1] [2]} La amortiguación es una influencia dentro o sobre un sistema oscilatorio que tiene el efecto de reducir o prevenir su oscilación. ^{[ cita necesaria ]} Ejemplos de amortiguación incluyen amortiguación viscosa en un fluido (ver arrastre viscoso ), fricción superficial , radiación , ^[1] resistencia en osciladores electrónicos y absorción y dispersión de luz en osciladores ópticos . La amortiguación que no se basa en la pérdida de energía puede ser importante en otros sistemas oscilantes, como los que ocurren en los sistemas biológicos y las bicicletas ^[3] (por ejemplo, suspensión (mecánica) ). La amortiguación no debe confundirse con la fricción , que es un tipo de fuerza disipativa que actúa sobre un sistema. La fricción puede causar o ser un factor de amortiguación.

La relación de amortiguamiento es una medida adimensional que describe cómo las oscilaciones en un sistema decaen después de una perturbación. Muchos sistemas exhiben un comportamiento oscilatorio cuando se les perturba desde su posición de equilibrio estático . Una masa suspendida de un resorte, por ejemplo, podría, si se tira y se suelta, rebotar hacia arriba y hacia abajo. En cada rebote, el sistema tiende a regresar a su posición de equilibrio, pero la sobrepasa. A veces, las pérdidas (por ejemplo, por fricción) amortiguan el sistema y pueden hacer que las oscilaciones disminuyan gradualmente en amplitud hacia cero o se atenúen . La relación de amortiguación es una medida que describe la rapidez con la que decaen las oscilaciones de un rebote al siguiente.

La relación de amortiguación es un parámetro del sistema, denotado por ζ (" zeta "), que puede variar desde no amortiguado ( ζ = 0 ), subamortiguado ( ζ < 1 ) hasta críticamente amortiguado ( ζ = 1 ) y sobreamortiguado ( ζ > 1 ).

El comportamiento de los sistemas oscilantes suele ser de interés en una amplia gama de disciplinas que incluyen ingeniería de control , ingeniería química , ingeniería mecánica , ingeniería estructural e ingeniería eléctrica . La cantidad física que oscila varía mucho y podría ser el balanceo de un edificio alto con el viento o la velocidad de un motor eléctrico , pero un enfoque normalizado o no dimensional puede ser conveniente para describir aspectos comunes del comportamiento.

Casos de oscilación

Dependiendo de la cantidad de amortiguación presente, un sistema exhibe diferentes comportamientos oscilatorios y velocidades.

• Cuando el sistema resorte-masa no tiene ninguna pérdida, la masa oscilaría indefinidamente, con cada rebote de igual altura que el último. Este caso hipotético se llama no amortiguado .
• Si el sistema contuviera grandes pérdidas, por ejemplo si el experimento resorte-masa se realizara en un fluido viscoso , la masa podría regresar lentamente a su posición de reposo sin sobrepasarse. Este caso se llama sobreamortiguado .
• Comúnmente, la masa tiende a sobrepasar su posición inicial y luego regresar, sobrepasándose nuevamente. Con cada sobrepaso, parte de la energía del sistema se disipa y las oscilaciones mueren hacia cero. Este caso se llama subamortiguado.
• Entre los casos sobreamortiguado y subamortiguado, existe un cierto nivel de amortiguamiento en el que el sistema simplemente no logrará sobrepasarse y no realizará una sola oscilación. Este caso se llama amortiguamiento crítico . La diferencia clave entre la amortiguación crítica y la sobreamortiguación es que, en la amortiguación crítica, el sistema vuelve al equilibrio en el mínimo de tiempo. ^{[ cita necesaria ]}

Onda sinusoidal amortiguada

Gráfico de una onda sinusoidal amortiguada representada como la función ${\displaystyle y(t)=e^{-t}\cos(2\pi t)}$

Una onda sinusoidal amortiguada o una sinusoide amortiguada es una función sinusoidal cuya amplitud se acerca a cero a medida que aumenta el tiempo. Corresponde al caso subamortiguado de sistemas amortiguados de segundo orden, o ecuaciones diferenciales de segundo orden subamortiguadas. ^[4] Las ondas sinusoidales amortiguadas se ven comúnmente en ciencia e ingeniería , donde un oscilador armónico pierde energía más rápido de lo que se suministra. Una onda sinusoidal verdadera que comienza en el tiempo = 0 comienza en el origen (amplitud = 0). Una onda coseno comienza en su valor máximo debido a su diferencia de fase con respecto a la onda sinusoidal. Una forma de onda sinusoidal determinada puede ser de fase intermedia y tener componentes tanto seno como coseno. El término "onda sinusoidal amortiguada" describe todas esas formas de onda amortiguadas, cualquiera que sea su fase inicial.

La forma más común de amortiguamiento, que generalmente se supone, es la que se encuentra en los sistemas lineales. Esta forma es la amortiguación exponencial, en la que la envoltura exterior de los picos sucesivos es una curva de caída exponencial. Es decir, cuando conectas el punto máximo de cada curva sucesiva, el resultado se asemeja a una función de caída exponencial. La ecuación general para una sinusoide amortiguada exponencialmente se puede representar como:

$${\displaystyle y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi )}$$

• ${\displaystyle y(t)}$es la amplitud instantánea en el tiempo t ;
• ${\displaystyle A}$es la amplitud inicial de la envolvente;
• ${\displaystyle \lambda }$es la tasa de decaimiento, en el recíproco de las unidades de tiempo de la variable independiente t ;
• ${\displaystyle \varphi }$es el ángulo de fase en t = 0 ;
• ${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular .

Otros parámetros importantes incluyen:

• Frecuencia : , el número de ciclos por unidad de tiempo. Se expresa en unidades de tiempo inversas , o hercios . ${\displaystyle f=\omega /(2\pi )}$ ${\displaystyle t^{-1}}$
• Constante de tiempo : el tiempo que tarda la amplitud en disminuir en el factor de e . ${\displaystyle \tau =1/\lambda }$
• La vida media es el tiempo que tarda la envolvente de amplitud exponencial en disminuir en un factor de 2. Es igual a aproximadamente . ${\displaystyle \ln(2)/\lambda }$ ${\displaystyle 0.693/\lambda }$
• Relación de amortiguación: es una caracterización adimensional de la tasa de caída relativa a la frecuencia, aproximadamente o exactamente . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta =\lambda /\omega }$ ${\displaystyle \zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}}<1}$
• Factor Q : es otra caracterización adimensional de la cantidad de amortiguamiento; Q alto indica una amortiguación lenta en relación con la oscilación. ${\displaystyle Q=1/(2\zeta )}$

Definición de relación de amortiguación

El efecto de variar la relación de amortiguación en un sistema de segundo orden.

La relación de amortiguamiento es un parámetro, generalmente denotado por ζ (letra griega zeta), ^[5] que caracteriza la respuesta de frecuencia de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden . Es particularmente importante en el estudio de la teoría del control . También es importante en el oscilador armónico . En general, los sistemas con relaciones de amortiguación más altas (una o más) demostrarán un mayor efecto de amortiguación. Los sistemas subamortiguados tienen un valor inferior a uno. Los sistemas críticamente amortiguados tienen una relación de amortiguación de exactamente 1, o al menos muy cercana a ella.

La relación de amortiguamiento proporciona un medio matemático para expresar el nivel de amortiguamiento en un sistema en relación con el amortiguamiento crítico. Para un oscilador armónico amortiguado con masa m , coeficiente de amortiguación c y constante de resorte k , se puede definir como la relación entre el coeficiente de amortiguación en la ecuación diferencial del sistema y el coeficiente de amortiguación crítico:

${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{c_{c}}}={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},}$

donde la ecuación de movimiento del sistema es

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0}$. ^[6]

y el coeficiente de amortiguamiento crítico correspondiente es

${\displaystyle c_{c}=2{\sqrt {km}}}$

o

${\displaystyle c_{c}=2m{\sqrt {\frac {k}{m}}}=2m\omega _{n}}$

dónde

${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$es la frecuencia natural del sistema.

La relación de amortiguación no tiene dimensiones y es la relación de dos coeficientes de unidades idénticas.

Derivación

Usando la frecuencia natural de un oscilador armónico y la definición anterior de la relación de amortiguación, podemos reescribir esto como: ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {{k}/{m}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{n}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{n}^{2}x=0.}$

Esta ecuación es más general que el sistema masa-resorte y también se aplica a circuitos eléctricos y a otros dominios. Se puede resolver con el enfoque

${\displaystyle x(t)=Ce^{st},}$

donde C y s son constantes complejas , donde s satisface

${\displaystyle s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).}$

Dos de estas soluciones, para los dos valores de s que satisfacen la ecuación, se pueden combinar para formar soluciones reales generales, con propiedades oscilatorias y decrecientes en varios regímenes:

Retrato de fase de un oscilador amortiguado, con una fuerza de amortiguación creciente. Comienza sin amortiguar, continúa con subamortiguación, luego críticamente amortiguada y luego sobreamortiguada.

sin amortiguar

Es el caso en el que corresponde al oscilador armónico simple no amortiguado, y en ese caso la solución queda como se esperaba. Este caso es extremadamente raro en el mundo natural y los ejemplos más cercanos son casos en los que la fricción se redujo intencionalmente a valores mínimos. ${\displaystyle \zeta =0}$ ${\displaystyle \exp(i\omega _{n}t)}$

subamortiguado

Si s es un par de valores complejos, entonces cada término de solución complejo es una exponencial decreciente combinada con una porción oscilatoria que se parece a . Este caso ocurre en , y se conoce como subamortiguado (por ejemplo, cable elástico). ${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$ ${\displaystyle \ 0\leq \zeta <1}$

sobreamortiguado

Si s es un par de valores reales, entonces la solución es simplemente una suma de dos exponenciales decrecientes sin oscilación. Este caso ocurre durante y se conoce como sobreamortiguado . Las situaciones en las que es práctico el sobreamortiguamiento tienden a tener resultados trágicos si se produce un exceso, generalmente eléctrico en lugar de mecánico. Por ejemplo, aterrizar un avión en piloto automático: si el sistema se sobrepasa y suelta el tren de aterrizaje demasiado tarde, el resultado sería un desastre. ${\displaystyle \zeta >1}$

Críticamente amortiguado

El caso donde es el límite entre los casos sobreamortiguado y subamortiguado, y se denomina críticamente amortiguado . Esto resulta ser un resultado deseable en muchos casos en los que se requiere el diseño de ingeniería de un oscilador amortiguado (por ejemplo, un mecanismo de cierre de puerta). ${\displaystyle \zeta =1}$

Factor Q y tasa de decadencia.

El factor Q , la relación de amortiguación ζ y la tasa de caída exponencial α están relacionados de tal manera que ^[7]

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.}$

Cuando un sistema de segundo orden tiene (es decir, cuando el sistema está subamortiguado), tiene dos polos conjugados complejos de los que cada uno tiene una parte real ; es decir, el parámetro de tasa de caída representa la tasa de caída exponencial de las oscilaciones. Una relación de amortiguamiento más baja implica una tasa de caída más baja, por lo que los sistemas muy subamortiguados oscilan durante períodos prolongados. ^[8] Por ejemplo, un diapasón de alta calidad , que tiene una relación de amortiguación muy baja, tiene una oscilación que dura mucho tiempo, decayendo muy lentamente después de ser golpeado por un martillo. ${\displaystyle \zeta <1}$ ${\displaystyle -\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Decremento logarítmico

Para vibraciones subamortiguadas, la relación de amortiguación también está relacionada con el decremento logarítmico . La relación de amortiguación se puede encontrar para dos picos cualesquiera, incluso si no son adyacentes. ^[9] Para picos adyacentes: ^[10] ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}}$ dónde ${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}}$

donde x ₀ y x ₁ son amplitudes de dos picos sucesivos cualesquiera.

Como se muestra en la figura de la derecha:

${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=\ln {\frac {x_{2}}{x_{4}}}=\ln {\frac {x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}}$

donde , son amplitudes de dos picos positivos sucesivos y , son amplitudes de dos picos negativos sucesivos. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{4}}$

Sobrepaso porcentual

En la teoría del control , el exceso se refiere a una salida que excede su valor final en estado estacionario. ^[11] Para una entrada de paso , el porcentaje de exceso (PO) es el valor máximo menos el valor de paso dividido por el valor de paso. En el caso del escalón unitario, el exceso es solo el valor máximo de la respuesta al escalón menos uno.

El porcentaje de sobreimpulso (PO) está relacionado con la relación de amortiguación ( ζ ) mediante:

${\displaystyle \mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)}$

Por el contrario, la relación de amortiguación ( ζ ) que produce un porcentaje de exceso dado viene dada por:

${\displaystyle \zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}}}}$

Ejemplos y aplicaciones

Arrastre viscoso

Cuando un objeto cae por el aire, la única fuerza que se opone a su caída libre es la resistencia del aire. Un objeto que cayera a través del agua o el petróleo se desaceleraría a un ritmo mayor, hasta finalmente alcanzar una velocidad de estado estable a medida que la fuerza de arrastre entra en equilibrio con la fuerza de la gravedad. Se trata del concepto de arrastre viscoso , que por ejemplo se aplica en puertas automáticas o puertas antigolpes. ^[12]

Amortiguación en sistemas eléctricos.

Los sistemas eléctricos que funcionan con corriente alterna (CA) utilizan resistencias para amortiguar la corriente eléctrica, ya que son periódicas. Los reguladores de intensidad o los controles de volumen son ejemplos de amortiguación en un sistema eléctrico. ^[12]

Amortiguamiento magnético y amortiguamiento magnetorreológico.

La energía cinética que causa oscilaciones se disipa en forma de calor mediante corrientes parásitas eléctricas que se inducen al pasar a través de los polos de un imán, ya sea mediante una bobina o una placa de aluminio. Las corrientes de Foucault son un componente clave de la inducción electromagnética donde establecen un flujo magnético que se opone directamente al movimiento oscilante, creando una fuerza resistiva. ^[13] En otras palabras, la resistencia causada por las fuerzas magnéticas ralentiza un sistema. Un ejemplo de aplicación de este concepto son los frenos de las montañas rusas. ^[14]

Los amortiguadores magnetorreológicos (MR Dampers) utilizan fluido magnetorreológico , que cambia de viscosidad cuando se somete a un campo magnético. En este caso, el amortiguamiento magnetorreológico puede considerarse una forma interdisciplinaria de amortiguamiento con mecanismos de amortiguamiento tanto viscosos como magnéticos. ^{[15] [16]}

Referencias

1. Escudier, Marcel; Atkins, Tony (2019). "Diccionario de ingeniería mecánica". Referencia de Oxford . doi :10.1093/acref/9780198832102.001.0001.
2. Steidel (1971). Introducción a las vibraciones mecánicas . John Wiley e hijos. pag. 37. amortiguado , que es el término utilizado en el estudio de la vibración para denotar una disipación de energía.
3. JP Meijaard; JM Papadopoulos; A. Ruina y AL Schwab (2007). "Ecuaciones de dinámica linealizada para el equilibrio y dirección de una bicicleta: punto de referencia y revisión". Actas de la Royal Society A. 463 (2084): 1955–1982. Código Bib : 2007RSPSA.463.1955M. doi :10.1098/rspa.2007.1857. S2CID  18309860. Las perturbaciones de inclinación y dirección desaparecen de una manera aparentemente amortiguada. Sin embargo, el sistema no tiene una verdadera amortiguación y conserva energía. La energía en las oscilaciones de inclinación y dirección se transfiere a la velocidad de avance en lugar de disiparse.
4. Douglas C. Giancoli (2000). [ Física para científicos e ingenieros con física moderna (3.ª edición) ]. Prentice Hall. pag. 387ISBN 0-13-021517-1 _ 
5. Alciatore, David G. (2007). Introducción a la Mecatrónica y la Medición (3ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-296305-2.
6. Rahman, J.; Mushtaq, M.; Ali, A.; Anjam, YN; Nazir, S. (2014). "Modelado de sistema de resorte de masa amortiguada en MATHLAB Simulink". Revista de la Facultad de Ingeniería y Tecnología . 2 .
7. William McC. Siebert. Circuitos, Señales y Sistemas . Prensa del MIT.
8. Ming Rao y Haiming Qiu (1993). Ingeniería de control de procesos: un libro de texto para ingenieros químicos, mecánicos y eléctricos. Prensa CRC. pag. 96.ISBN _ 978-2-88124-628-9.
9. "Dinámica y vibraciones: Notas: Vibraciones amortiguadas libres".
10. "Evaluación de amortiguación". 19 de octubre de 2015.
11. Kuo, Benjamin C y Golnaraghi MF (2003). Sistemas de control automático (Octava ed.). Nueva York: Wiley. pag. §7.3 pág. 236–237. ISBN 0-471-13476-7.
12. "amortiguación | Definición, tipos y ejemplos". Enciclopedia Británica . Consultado el 9 de junio de 2021 .
13. Gupta, BR (2001). Principios de Ingeniería Eléctrica, Electrónica e Instrumentación . S. chand Limited. pag. 338.ISBN _ 9788121901031.
14. "Corrientes de Foucault y amortiguación magnética | Física". cursos.lumenlearning.com . Consultado el 9 de junio de 2021 .
15. LEE, JOVEN CAVADO; WERELEY, NORMAN M. (junio de 2000). "Análisis cuasi estable de Herschel-Bulkley de amortiguadores de modo de flujo electro y magnetorreológico". Fluidos electrorreológicos y suspensiones magnetorreológicas . CIENTÍFICO MUNDIAL: 579–586. doi :10.1142/9789812793607_0066. ISBN 978-981-02-4258-9.
16. Savaresi, Sergio M.; Poussot-Vassal, Charles; Spelta, Cristiano; Sename, Oliver; Dugard, Luc (1 de enero de 2010), Savaresi, Sergio M.; Poussot-Vassal, Charles; Spelta, Cristiano; Sename, Oliver (eds.), "CAPÍTULO 2: Modelos y tecnologías de suspensión semiactiva", Diseño de control de suspensión semiactiva para vehículos , Boston: Butterworth-Heinemann, págs. 15–39, doi :10.1016/b978-0- 08-096678-6.00002-x, ISBN 978-0-08-096678-6, recuperado el 15 de julio de 2023

• "Mojadura". Enciclopedia Británica .
• OpenStax, Universidad. "Física". Lúmenes .