La analogía de movilidad, también llamada analogía de admitancia o analogía de Firestone , es un método para representar un sistema mecánico mediante un sistema eléctrico análogo. La ventaja de hacer esto es que existe un gran cuerpo de teoría y técnicas de análisis relacionadas con sistemas eléctricos complejos, especialmente en el campo de los filtros . [1] Al convertir a una representación eléctrica, estas herramientas en el dominio eléctrico se pueden aplicar directamente a un sistema mecánico sin modificación. Otra ventaja se produce en los sistemas electromecánicos : convertir la parte mecánica de dicho sistema en el dominio eléctrico permite analizar todo el sistema como un todo unificado.
El comportamiento matemático del sistema eléctrico simulado es idéntico al comportamiento matemático del sistema mecánico representado. Cada elemento del dominio eléctrico tiene un elemento correspondiente en el dominio mecánico con una ecuación constitutiva análoga . Todas las leyes del análisis de circuitos , como las leyes de Kirchhoff , que se aplican en el dominio eléctrico también se aplican a la analogía de la movilidad mecánica.
La analogía de movilidad es una de las dos analogías mecánico-eléctricas principales que se utilizan para representar sistemas mecánicos en el dominio eléctrico; la otra es la analogía de impedancia . En estos dos métodos, los papeles de la tensión y la corriente se invierten y las representaciones eléctricas producidas son los circuitos duales de cada una. La analogía de movilidad preserva la topología del sistema mecánico cuando se transfiere al dominio eléctrico, mientras que la analogía de impedancia no lo hace. Por otro lado, la analogía de impedancia preserva la analogía entre la impedancia eléctrica y la impedancia mecánica, mientras que la analogía de movilidad no lo hace.
La analogía de la movilidad se utiliza ampliamente para modelar el comportamiento de los filtros mecánicos . Se trata de filtros que están pensados para su uso en un circuito electrónico, pero que funcionan completamente mediante ondas vibratorias mecánicas. Se proporcionan transductores en la entrada y la salida del filtro para realizar la conversión entre los dominios eléctrico y mecánico. [2]
Otro uso muy común es en el campo de los equipos de audio, como los altavoces. Los altavoces constan de un transductor y de piezas mecánicas móviles. Las ondas acústicas en sí mismas son ondas de movimiento mecánico: de moléculas de aire o de algún otro medio fluido. [3]
Antes de poder desarrollar una analogía eléctrica para un sistema mecánico, primero debe describirse como una red mecánica abstracta . El sistema mecánico se descompone en una serie de elementos ideales, cada uno de los cuales puede emparejarse con un análogo eléctrico. [4] Los símbolos utilizados para estos elementos mecánicos en los diagramas de red se muestran en las siguientes secciones sobre cada elemento individual.
Las analogías mecánicas de los elementos eléctricos agrupados también son elementos agrupados , es decir, se supone que el componente mecánico que posee el elemento es lo suficientemente pequeño como para que se pueda descuidar el tiempo que tardan las ondas mecánicas en propagarse de un extremo del componente al otro. También se pueden desarrollar analogías para elementos distribuidos , como líneas de transmisión , pero los mayores beneficios se obtienen con los circuitos de elementos agrupados. Se requieren analogías mecánicas para los tres elementos eléctricos pasivos, a saber, resistencia , inductancia y capacitancia . Estas analogías se determinan por la propiedad mecánica que se elige para representar el voltaje y la propiedad que se elige para representar la corriente . [5] En la analogía de la movilidad, el análogo del voltaje es la velocidad y el análogo de la corriente es la fuerza . [6] La impedancia mecánica se define como la relación entre la fuerza y la velocidad, por lo que no es análoga a la impedancia eléctrica . Más bien, es el análogo de la admitancia eléctrica , la inversa de la impedancia. La admitancia mecánica se denomina más comúnmente movilidad, [7] de ahí el nombre de la analogía. [8]
La analogía mecánica de la resistencia eléctrica es la pérdida de energía de un sistema en movimiento a través de procesos como la fricción . Un componente mecánico análogo a una resistencia es un amortiguador y la propiedad análoga a la resistencia inversa (conductancia) es la amortiguación (inversa, porque la impedancia eléctrica es la analogía de la inversa de la impedancia mecánica). Una resistencia se rige por la ecuación constitutiva de la ley de Ohm .
La ecuación análoga en el dominio mecánico es,
La conductancia eléctrica representa la parte real de la admitancia eléctrica . Asimismo, la resistencia mecánica es la parte real de la impedancia mecánica . [11]
La analogía mecánica de la inductancia en la analogía de la movilidad es la flexibilidad. En mecánica es más común hablar de rigidez , la inversa de la flexibilidad. Un componente mecánico análogo a un inductor es un resorte . Un inductor se rige por la ecuación constitutiva,
La ecuación análoga en el dominio mecánico es una forma de la ley de Hooke ,
La impedancia de un inductor es puramente imaginaria y está dada por,
La admitancia mecánica análoga viene dada por,
La analogía mecánica de la capacitancia en la analogía de la movilidad es la masa . Un componente mecánico análogo a un capacitor es un peso grande y rígido o un inerte mecánico .
Un condensador se rige por la ecuación constitutiva,
La ecuación análoga en el dominio mecánico es la segunda ley del movimiento de Newton ,
La impedancia de un condensador es puramente imaginaria y está dada por,
La admitancia mecánica análoga viene dada por,
Una curiosa dificultad surge con la masa como analogía de un elemento eléctrico. Está relacionada con el hecho de que en los sistemas mecánicos la velocidad de la masa (y más importante aún, su aceleración) siempre se mide en relación con algún sistema de referencia fijo, normalmente la Tierra. Considerada como un elemento de sistema de dos terminales, la masa tiene un terminal a la velocidad "u", análoga al potencial eléctrico. El otro terminal está a velocidad cero y es análogo al potencial eléctrico de tierra. Por lo tanto, la masa no puede usarse como análogo de un condensador sin conexión a tierra. [17]
Esto llevó a Malcolm C. Smith, de la Universidad de Cambridge, a definir en 2002 un nuevo elemento de almacenamiento de energía para redes mecánicas llamado inercia . Un componente que posee inercia se llama inerte . A diferencia de una masa, se permite que los dos terminales de un inerte tengan dos velocidades y aceleraciones arbitrarias diferentes. La ecuación constitutiva de un inerte viene dada por [18].
La inercia tiene las mismas unidades que la masa (kilogramos en el sistema SI ) y el nombre indica su relación con la inercia . Smith no solo definió un elemento teórico de red, también sugirió una construcción para un componente mecánico real e hizo un pequeño prototipo. El inerte de Smith consiste en un émbolo capaz de deslizarse dentro o fuera de un cilindro. El émbolo está conectado a un engranaje de piñón y cremallera que impulsa un volante dentro del cilindro. Puede haber dos volantes contrarrotantes para evitar que se desarrolle un par . La energía proporcionada al empujar el émbolo hacia adentro se devolverá cuando el émbolo se mueva en la dirección opuesta, por lo tanto, el dispositivo almacena energía en lugar de disiparla como un bloque de masa. Sin embargo, la masa real del inerte puede ser muy pequeña, un inerte ideal no tiene masa. Dos puntos en el inerte, el émbolo y la caja del cilindro, pueden conectarse independientemente a otras partes del sistema mecánico sin que ninguno de ellos esté necesariamente conectado a tierra. [19]
El inerte de Smith ha encontrado una aplicación en las carreras de Fórmula 1 , donde se lo conoce como amortiguador J. Se utiliza como una alternativa al amortiguador de masa modulada, ahora prohibido, y forma parte de la suspensión del vehículo. Es posible que McLaren lo haya utilizado por primera vez en secreto en 2005, tras una colaboración con Smith. Ahora se cree que otros equipos lo están utilizando. El inerte es mucho más pequeño que el amortiguador de masa modulada y suaviza las variaciones de carga de la zona de contacto de los neumáticos. [20] Smith también sugiere utilizar el inerte para reducir la vibración de la máquina. [21]
La dificultad con la masa en las analogías mecánicas no se limita a la analogía de la movilidad. Un problema correspondiente también ocurre en la analogía de la impedancia, pero en ese caso son los inductores no conectados a tierra, en lugar de los condensadores, los que no se pueden representar con los elementos estándar. [22]
Un resonador mecánico consta de un elemento de masa y un elemento de flexibilidad. Los resonadores mecánicos son análogos a los circuitos LC eléctricos que constan de inductancia y capacitancia. Los componentes mecánicos reales tienen inevitablemente masa y flexibilidad, por lo que es una propuesta práctica hacer resonadores como un solo componente. De hecho, es más difícil hacer una masa pura o una flexibilidad pura como un solo componente. Un resorte se puede hacer con una cierta flexibilidad y una masa minimizada, o se puede hacer una masa con la flexibilidad minimizada, pero no se puede eliminar ninguna de las dos cosas por completo. Los resonadores mecánicos son un componente clave de los filtros mecánicos. [23]
Existen análogos para los elementos eléctricos activos de la fuente de tensión y de la fuente de corriente (generadores). El análogo mecánico en la analogía de movilidad del generador de corriente constante es el generador de fuerza constante. El análogo mecánico del generador de tensión constante es el generador de velocidad constante. [26]
Un ejemplo de generador de fuerza constante es el resorte de fuerza constante . Un ejemplo de generador de velocidad constante práctico es una máquina potente con carga ligera, como un motor , que impulsa una correa . Esto es análogo a una fuente de voltaje real, como una batería, que permanece cerca del voltaje constante con carga siempre que la resistencia de carga sea mucho mayor que la resistencia interna de la batería. [27]
Los sistemas electromecánicos requieren transductores para realizar la conversión entre los dominios eléctrico y mecánico. Son análogos a las redes de dos puertos y, como éstas, pueden describirse mediante un par de ecuaciones simultáneas y cuatro parámetros arbitrarios. Existen numerosas representaciones posibles, pero la forma más aplicable a la analogía de la movilidad tiene los parámetros arbitrarios en unidades de admitancia. En forma de matriz (con el lado eléctrico tomado como el puerto 1), esta representación es:
El elemento es la admitancia mecánica de cortocircuito, es decir, la admitancia presentada por el lado mecánico del transductor cuando se aplica voltaje cero (cortocircuito) al lado eléctrico. El elemento , por el contrario, es la admitancia eléctrica sin carga, es decir, la admitancia presentada al lado eléctrico cuando el lado mecánico no está impulsando una carga (fuerza cero). Los dos elementos restantes, y , describen las funciones de transferencia directa e inversa del transductor respectivamente. Ambos son análogos a las admitancias de transferencia y son relaciones híbridas de una cantidad eléctrica y mecánica. [28]
La analogía mecánica de un transformador es una máquina simple como una polea o una palanca . La fuerza aplicada a la carga puede ser mayor o menor que la fuerza de entrada dependiendo de si la ventaja mecánica de la máquina es mayor o menor que la unidad respectivamente. La ventaja mecánica es análoga a la inversa de la relación de vueltas del transformador en la analogía de movilidad. Una ventaja mecánica menor que la unidad es análoga a un transformador elevador y mayor que la unidad es análoga a un transformador reductor. [29]
La figura muestra una disposición mecánica de una plataforma de masa M que está suspendida sobre el sustrato mediante un resorte de rigidez S y un amortiguador de resistencia R m . El circuito equivalente de analogía de movilidad se muestra a la derecha de esta disposición y consiste en un circuito resonante paralelo . Este sistema tiene una frecuencia resonante , y puede tener una frecuencia natural de oscilación si no está demasiado amortiguado. [30]
La principal ventaja de la analogía de la movilidad sobre su alternativa, la analogía de la impedancia , es que preserva la topología del sistema mecánico. Los elementos que están en serie en el sistema mecánico están en serie en el circuito eléctrico equivalente y los elementos en paralelo en el sistema mecánico permanecen en paralelo en el circuito eléctrico equivalente. [31]
La principal desventaja de la analogía de la movilidad es que no mantiene la analogía entre la impedancia eléctrica y la mecánica. La impedancia mecánica se representa como una admitancia eléctrica y la resistencia mecánica se representa como una conductancia eléctrica en el circuito eléctrico equivalente. La fuerza no es análoga al voltaje ( los voltajes del generador se denominan a menudo fuerza electromotriz ), sino más bien, es análoga a la corriente. [17]
Históricamente, la analogía de impedancia se utilizó mucho antes que la analogía de movilidad. La admitancia mecánica y la analogía de movilidad asociada fueron introducidas por FA Firestone en 1932 para superar el problema de la conservación de las topologías. [32] W. Hähnle tuvo la misma idea de forma independiente en Alemania. Horace M. Trent desarrolló un tratamiento para las analogías en general desde una perspectiva de teoría de grafos matemáticos e introdujo una nueva analogía propia. [33]
