Una función con valores de conjunto , también llamada correspondencia o relación con valores de conjunto , es una función matemática que asigna elementos de un conjunto, el dominio de la función , a subconjuntos de otro conjunto. [1] [2] Las funciones con valores de conjunto se utilizan en una variedad de campos matemáticos, incluida la optimización , la teoría de control y la teoría de juegos .
Las funciones con valores conjuntos también se conocen como funciones multivalor en algunas referencias, [3] pero este artículo y el artículo Función multivalor siguen a los autores que hacen una distinción.
Aunque otros autores pueden distinguirlas de manera diferente (o no distinguirlas en absoluto), Wriggers y Panatiotopoulos (2014) distinguen las funciones multivalor de las funciones con valores conjuntos (a las que llamaron relaciones con valores conjuntos ) por el hecho de que las funciones multivalor solo toman múltiples valores en un número finito (o numerable) de puntos y, por lo demás, se comportan como una función . [2] Geométricamente, esto significa que el gráfico de una función multivalor es necesariamente una línea de área cero que no forma bucles, mientras que el gráfico de una relación con valores conjuntos puede contener áreas o bucles llenos de sólidos. [2]
Alternativamente, una función multivalor es una función de valor conjunto f que tiene una propiedad de continuidad adicional , a saber, que la elección de un elemento en el conjunto define un elemento correspondiente en cada conjunto para y cerca de x y, por lo tanto, define localmente una función ordinaria.
El argmax de una función es, en general, multivalor. Por ejemplo, .
El análisis de valores de conjuntos es el estudio de conjuntos en el espíritu del análisis matemático y la topología general .
En lugar de considerar conjuntos de puntos únicamente, el análisis basado en conjuntos considera conjuntos de conjuntos. Si un conjunto de conjuntos está dotado de una topología o hereda una topología apropiada de un espacio topológico subyacente, entonces se puede estudiar la convergencia de conjuntos.
Gran parte del análisis de valores de conjunto surgió a través del estudio de la economía matemática y el control óptimo , en parte como una generalización del análisis convexo ; el término " análisis variacional " es utilizado por autores como R. Tyrrell Rockafellar y Roger JB Wets , Jonathan Borwein y Adrian Lewis , y Boris Mordukhovich . En la teoría de la optimización, la convergencia de subdiferenciales que se aproximan a un subdiferencial es importante para comprender las condiciones necesarias o suficientes para cualquier punto de minimización.
Existen extensiones de valores de conjunto de los siguientes conceptos del análisis de valores puntuales: continuidad , diferenciación , integración , [4] teorema de función implícita , aplicaciones de contracción , teoría de la medida , teoremas de punto fijo , [5] optimización y teoría de grados topológicos . En particular, las ecuaciones se generalizan a inclusiones , mientras que las ecuaciones diferenciales se generalizan a inclusiones diferenciales .
Se pueden distinguir múltiples conceptos que generalizan la continuidad , como la propiedad de grafo cerrado y la hemicontinuidad superior e inferior [a] . También existen varias generalizaciones de la medida a multifunciones.
Las funciones con valores de conjunto surgen en la teoría de control óptimo , especialmente en inclusiones diferenciales y temas relacionados como la teoría de juegos , donde se ha aplicado el teorema de punto fijo de Kakutani para funciones con valores de conjunto para demostrar la existencia de equilibrios de Nash . Esta, entre muchas otras propiedades vagamente asociadas con la aproximabilidad de multifunciones hemicontinuas superiores a través de funciones continuas, explica por qué la hemicontinuidad superior es más preferida que la hemicontinuidad inferior.
Sin embargo, las multifunciones semicontinuas inferiores suelen poseer selecciones continuas como se indica en el teorema de selección de Michael , que proporciona otra caracterización de los espacios paracompactos . [6] [7] Otros teoremas de selección, como la selección continua direccional de Bressan-Colombo, el teorema de selección medible de Kuratowski y Ryll-Nardzewski , la selección medible de Aumann y la selección de Fryszkowski para mapas descomponibles son importantes en el control óptimo y la teoría de inclusiones diferenciales .
