Descripción general y guía temática de las estructuras algebraicas
En matemáticas se estudian muchos tipos de estructuras algebraicas . El álgebra abstracta es principalmente el estudio de estructuras algebraicas específicas y sus propiedades. Las estructuras algebraicas pueden verse de diferentes maneras, sin embargo, el punto de partida común de los textos de álgebra es que un objeto algebraico incorpora uno o más conjuntos con una o más operaciones binarias u operaciones unarias que satisfacen una colección de axiomas .
Otra rama de las matemáticas conocida como álgebra universal estudia las estructuras algebraicas en general. Desde el punto de vista del álgebra universal, la mayoría de las estructuras se pueden dividir en variedades y cuasivariedades según los axiomas utilizados. Algunos sistemas formales axiomáticos que no son ni variedades ni cuasivariedades, llamados no variedades , a veces se incluyen entre las estructuras algebraicas por tradición.
En los artículos enumerados se encontrarán ejemplos concretos de cada estructura.
Las estructuras algebraicas son tan numerosas hoy en día que este artículo inevitablemente estará incompleto. Además de esto, a veces hay múltiples nombres para la misma estructura, y a veces un nombre será definido por axiomas discrepantes de diferentes autores. La mayoría de las estructuras que aparecen en esta página serán estructuras comunes en las que la mayoría de los autores están de acuerdo. Otras listas web de estructuras algebraicas, organizadas más o menos alfabéticamente, incluyen Jipsen y PlanetMath. Estas listas mencionan muchas estructuras que no se incluyen a continuación, y pueden presentar más información sobre algunas estructuras de la que se presenta aquí.
Estudio de estructuras algebraicas
Las estructuras algebraicas aparecen en la mayoría de las ramas de las matemáticas y podemos encontrarlas de muchas maneras diferentes.
- Estudio inicial: En las universidades estadounidenses, los grupos , los espacios vectoriales y los cuerpos son generalmente las primeras estructuras que se encuentran en asignaturas como el álgebra lineal . Suelen presentarse como conjuntos con ciertos axiomas.
- Estudio avanzado:
- El álgebra abstracta estudia las propiedades de estructuras algebraicas específicas.
- El álgebra universal estudia las estructuras algebraicas de forma abstracta, en lugar de tipos específicos de estructuras.
- La teoría de categorías estudia las interrelaciones entre diferentes estructuras, algebraicas y no algebraicas. Para estudiar un objeto no algebraico, suele ser útil utilizar la teoría de categorías para relacionar el objeto con una estructura algebraica.
Tipos de estructuras algebraicas
En términos generales, una estructura algebraica puede utilizar cualquier número de conjuntos y cualquier número de axiomas en su definición. Sin embargo, las estructuras que se estudian con más frecuencia suelen implicar solo uno o dos conjuntos y una o dos operaciones binarias . Las estructuras que se muestran a continuación están organizadas según la cantidad de conjuntos implicados y la cantidad de operaciones binarias utilizadas. El aumento de la sangría pretende indicar una estructura más exótica, y los niveles menos sangrados son los más básicos.
Un conjunto sin operaciones binarias
- Conjunto : estructura algebraica degenerada S que no tiene operaciones.
- Conjunto puntiagudo : S tiene uno o más elementos distinguidos, a menudo 0, 1 o ambos.
- Sistema unario: S y una única operación unaria sobre S .
- Sistema unario puntiagudo : un sistema unario con S un conjunto puntiagudo.
Una operación binaria en un conjunto
Las siguientes estructuras de tipo grupo consisten en un conjunto con una operación binaria. La operación binaria puede indicarse con cualquier símbolo o sin símbolo (yuxtaposición). La estructura más común es la de un grupo . Otras estructuras implican el debilitamiento o fortalecimiento de los axiomas de los grupos y pueden utilizar además operaciones unarias.
Dos operaciones binarias en un conjunto
Los principales tipos de estructuras con un conjunto que tiene dos operaciones binarias son los ringoides o similares a anillos y los reticulados o simplemente reticulados . Los ringoides y los reticulados se pueden distinguir claramente a pesar de que ambos tienen dos operaciones binarias definitorias. En el caso de los ringoides, las dos operaciones están vinculadas por la ley distributiva ; en el caso de los reticulados, están vinculadas por la ley de absorción . Los ringoides también tienden a tener modelos numéricos , mientras que los reticulados tienden a tener modelos de teoría de conjuntos .
En estructuras tipo anillo o ringoides, las dos operaciones binarias a menudo se denominan adición y multiplicación , y la multiplicación está vinculada a la adición por la ley distributiva .
- Semiring : un anillo tal que S es un monoide bajo cada operación. Se supone que la adición es conmutativa y asociativa, y se supone que el producto monoide se distribuye sobre la adición en ambos lados, y la identidad aditiva 0 es un elemento absorbente en el sentido de que 0 x = 0 para todo x .
- Anillo cercano : un semianillo cuyo monoide aditivo es un grupo (no necesariamente abeliano).
- Anillo : un semianillo cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano.
- Anillos no asociativos : son como los anillos, pero la operación de multiplicación no necesita ser asociativa.
- Anillo booleano : un anillo conmutativo con operación de multiplicación idempotente.
- Álgebras de Kleene : un semianillo con adición idempotente y una operación unaria, la estrella de Kleene , que satisface propiedades adicionales.
- *-álgebra o *-anillo : un anillo con una operación unaria adicional (*) conocida como involución , que satisface propiedades adicionales.
- Aritmética: suma y multiplicación sobre un conjunto infinito , con una estructura unaria puntiaguda adicional. La operación unaria es sucesora inyectiva y tiene como elemento distinguido el 0.
- Aritmética de Robinson . La suma y la multiplicación se definen recursivamente mediante el sucesor. El 0 es el elemento de identidad de la suma y anula la multiplicación. La aritmética de Robinson se incluye aquí a pesar de ser una variedad, debido a su proximidad con la aritmética de Peano.
- Aritmética de Peano . Aritmética de Robinson con un esquema axiomático de inducción . La mayoría de los axiomas de anillos y cuerpos relacionados con las propiedades de la suma y la multiplicación son teoremas de la aritmética de Peano o extensiones propias de esta.
Las estructuras reticulares tienen dos operaciones binarias llamadas encuentro y unión , conectadas por la ley de absorción .
- Latticoid: se reúnen y se unen al viajero pero no necesitan asociarse .
- Red oblicua : se encuentran y se unen asociados pero no necesitan conmutar.
- Lattice : reunirse, unirse, asociarse y viajar.
- Red completa : una red en la que existen encuentros y uniones arbitrarias .
- Red acotada : una red con un elemento mayor y un elemento menor.
- Red complementada : red acotada con una operación unaria, complementación, denotada por el sufijo ⊥ . La unión de un elemento con su complemento es el elemento mayor, y el encuentro de los dos elementos es el elemento menor.
- Red modular : una red cuyos elementos satisfacen la identidad modular adicional .
- Red distributiva : red en la que cada elemento que se encuentra y se une se distribuye sobre el otro. Las redes distributivas son modulares, pero no se cumple lo contrario.
- Álgebra de Boole : una red distributiva complementada. Tanto la unión como la combinación se pueden definir en términos de la otra y de la complementación. Se puede demostrar que esto es equivalente a la estructura en forma de anillo del mismo nombre mencionada anteriormente.
- Álgebra de Heyting : una red distributiva acotada con una operación binaria añadida, pseudocomplemento relativo , denotada por el operador infijo →, y gobernada por los axiomas:
- x → x = 1
- x ( x → y ) = x y
- y ( x → y ) = y
- x → ( y z ) = ( x → y ) ( x → z )
Estructuras tipo módulo en dos conjuntos
Las siguientes estructuras tipo módulo tienen la característica común de tener dos conjuntos, A y B , de modo que hay una operación binaria de A × A en A y otra operación de A × B en A . Los módulos, contando las operaciones de anillo, tienen al menos tres operaciones binarias.
- Grupo con operadores : un grupo G con un conjunto Ω y una operación binaria Ω × G → G que satisface ciertos axiomas.
- Módulo : un grupo abeliano M y un anillo R que actúan como operadores en M. Los miembros de R a veces se denominan escalares , y la operación binaria de multiplicación escalar es una función R × M → M , que satisface varios axiomas.
- Espacios vectoriales : Un módulo donde el anillo R es un anillo o cuerpo de división .
Estructuras de tipo algebraico en dos conjuntos
Estas estructuras se definen sobre dos conjuntos, un anillo R y un R -módulo M dotado de una operación llamada multiplicación. Esto puede verse como un sistema con cinco operaciones binarias: dos operaciones sobre R , dos sobre M y una que involucra tanto a R como a M . Muchas de estas estructuras son estructuras híbridas de las mencionadas anteriormente.
Estructuras algebraicas con estructura no algebraica adicional
Hay muchos ejemplos de estructuras matemáticas donde la estructura algebraica coexiste con la estructura no algebraica.
Estructuras algebraicas en diferentes disciplinas
Algunas estructuras algebraicas se utilizan en disciplinas ajenas al álgebra abstracta. A continuación se pretende demostrar algunas aplicaciones específicas en otros campos.
En Física :
En lógica matemática :
En informática :
Véase también
Referencias
- ^ Jonathan DH Smith (15 de noviembre de 2006). Introducción a los cuasigrupos y sus representaciones. Chapman & Hall. ISBN 9781420010633. Recuperado el 2 de agosto de 2012 .
- Garrett Birkhoff , 1967. Lattice Theory , 3.ª ed., AMS Colloquium Publications, vol. 25. American Mathematical Society.
- ———, y Saunders MacLane , 1999 (1967). Álgebra , 2.ª ed. Nueva York: Chelsea.
- George Boolos y Richard Jeffrey , 1980. Computabilidad y lógica , 2.ª ed. Cambridge Univ. Press.
- Dummit, David S., y Foote, Richard M., 2004. Álgebra abstracta , 3.ª ed. John Wiley and Sons.
- Grätzer, George, 1978. Álgebra universal , 2.ª ed. Springer.
- David K. Lewis , 1991. Parte de Clases . Blackwell.
- Michel, Anthony N., y Herget, Charles J., 1993 (1981). Álgebra aplicada y análisis funcional . Dover.
- Potter, Michael, 2004. Teoría de conjuntos y su filosofía , 2.ª ed. Oxford Univ. Press.
- Smorynski, Craig, 1991. Teoría de números lógicos I . Springer-Verlag.
Una monografía disponible gratuitamente en línea:
- Burris, Stanley N., y HP Sankappanavar, HP, 1981. Un curso de álgebra universal. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .
Enlaces externos
- Jipsen:
- Lista alfabética de estructuras algebraicas; incluye muchas no mencionadas aquí.
- Libros y apuntes de clases online.
- Mapa que contiene alrededor de 50 estructuras, algunas de las cuales no aparecen en la imagen superior. Asimismo, la mayoría de las estructuras que aparecen en la imagen superior no aparecen en este mapa.
- Índice de temas de PlanetMath.
- Hazewinkel, Michiel (2001) Enciclopedia de Matemáticas. Springer-Verlag.
- Página de Mathworld sobre álgebra abstracta.
- Enciclopedia de Filosofía de Stanford : Álgebra de Vaughan Pratt .