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Aritmética verbal

La aritmética verbal , también conocida como alfabética , criptoaritmética , criptoaritmo o suma de palabras , es un tipo de juego matemático que consiste en una ecuación matemática entre números desconocidos , cuyos dígitos están representados por letras del alfabeto. El objetivo es identificar el valor de cada letra. El nombre puede extenderse a los acertijos que utilizan símbolos no alfabéticos en lugar de letras.

La ecuación es típicamente una operación básica de aritmética , como la suma , la multiplicación o la división . El ejemplo clásico, publicado en la edición de julio de 1924 de Strand Magazine por Henry Dudeney , [1] es:

La solución de este rompecabezas es O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 y S = 9.

Tradicionalmente, cada letra debe representar un dígito diferente y (como en la notación aritmética ordinaria) el dígito principal de un número de varios dígitos no debe ser cero. Un buen rompecabezas debe tener una única solución y las letras deben formar una frase (como en el ejemplo anterior).

La aritmética verbal puede ser útil como motivación y fuente de ejercicios en la enseñanza del álgebra elemental .

Historia

Los acertijos criptoarítmicos son bastante antiguos y se desconoce quién los inventó. Un ejemplo de 1864 en The American Agriculturist [2] refuta la idea popular de que fue inventado por Sam Loyd . El nombre "criptarithm" fue acuñado por el acertijo Minos (seudónimo de Simon Vatriquant) en la edición de mayo de 1931 de Sphinx, una revista belga de matemáticas recreativas, y fue traducido como "criptarithmetic" por Maurice Kraitchik en 1942. [3] En 1955, JAH Hunter introdujo la palabra "alfa-metically" para designar a los criptoaritmos, como el de Dudeney, cuyas letras forman palabras o frases con significado. [4]

Tipos de criptoaritmos

El rompecabezas de división esquelética de Richard Feynman : cada A representa el mismo dígito y cada punto cualquier dígito no representado por A [5]

Los tipos de criptoaritmo incluyen la división alfabética, la digimética y la esquelética.

Alfamético
Un tipo de criptoaritmo en el que se escribe un conjunto de palabras en forma de una suma larga o de algún otro problema matemático. El objetivo es reemplazar las letras del alfabeto por dígitos decimales para realizar una suma aritmética válida.
Digimético
Un criptoaritmo en el que se utilizan dígitos para representar otros dígitos.
División esquelética
Una división larga en la que la mayoría o todos los dígitos se reemplazan por símbolos (generalmente asteriscos) para formar un criptaritmo.

Resolviendo criptoaritmos

Resolver un criptoaritmo a mano suele implicar una combinación de deducciones y pruebas exhaustivas de posibilidades. Por ejemplo, la siguiente secuencia de deducciones resuelve el acertijo ENVIAR+MÁS = DINERO de Dudeney (las columnas están numeradas de derecha a izquierda):

  1. A partir de la columna 5, M = 1, ya que es el único arrastre posible de la suma de dos números de un solo dígito en la columna 4.
  2. Como hay un acarreo en la columna 5, O debe ser menor o igual que M (de la columna 4). Pero O no puede ser igual a M, por lo que O es menor que M. Por lo tanto, O = 0 .
  3. Como O es 1 menos que M, S es 8 o 9 dependiendo de si hay acarreo en la columna 4. Pero si hubiera un acarreo en la columna 4 (generado por la suma de la columna 3), N sería menor o igual a O. Esto es imposible ya que O = 0. Por lo tanto, no hay acarreo en la columna 4 y S = 9 .
  4. Si no hubiera acarreo en la columna 3 entonces E = N, lo cual es imposible. Por lo tanto, hay acarreo y N = E + 1.
  5. Si no hubiera acarreo en la columna 2, entonces ( N + R ) mod 10 = E, y N = E + 1, por lo que ( E + 1 + R ) mod 10 = E lo que significa ( 1 + R ) mod 10 = 0, por lo que R = 9. Pero S = 9, por lo que debe haber un acarreo en la columna 2, por lo que R = 8 .
  6. Para producir un carry en la columna 2, debemos tener D + E = 10 + Y.
  7. Y es al menos 2, por lo que D + E es al menos 12.
  8. Los únicos dos pares de números disponibles que suman al menos 12 son (5,7) y (6,7), por lo que E = 7 o D = 7.
  9. Como N = E + 1, E no puede ser 7 porque entonces N = 8 = R entonces D = 7 .
  10. E no puede ser 6 porque entonces N = 7 = D por lo que E = 5 y N = 6 .
  11. D + E = 12 entonces Y = 2 .

Otro ejemplo de TO+GO=OUT (fuente desconocida):

  1. La suma de los dos números mayores de dos dígitos es 99+99=198. Por lo tanto, O=1 y hay un acarreo en la columna 3.
  2. Como la columna 1 está a la derecha de todas las demás columnas, es imposible que tenga un acarreo. Por lo tanto, 1+1=T y T=2 .
  3. Como la columna 1 se calculó en el último paso, se sabe que no hay un acarreo en la columna 2. Pero también se sabe que hay un acarreo en la columna 3 en el primer paso. Por lo tanto, 2+G≥10. Si G es igual a 9, U sería igual a 1, pero esto es imposible ya que O también es igual a 1. Por lo tanto, solo es posible G=8 y con 2+8=10+U, U=0 .

El uso de la aritmética modular suele ser de ayuda. Por ejemplo, el uso de la aritmética módulo 10 permite tratar las columnas de un problema de suma como ecuaciones simultáneas , mientras que el uso de la aritmética módulo 2 permite realizar inferencias basadas en la paridad de las variables.

En informática , los criptoaritmos son buenos ejemplos para ilustrar el método de fuerza bruta y los algoritmos que generan todas las permutaciones de m opciones a partir de n posibilidades. Por ejemplo, el rompecabezas de Dudeney anterior se puede resolver probando todas las asignaciones de ocho valores entre los dígitos 0 a 9 a las ocho letras S, E, N, D, M, O, R, Y, lo que da 1.814.400 posibilidades. También son buenos ejemplos del paradigma de retroceso del diseño de algoritmos .

Otra información

Cuando se generaliza a bases arbitrarias, el problema de determinar si un criptoaritmo tiene una solución es NP-completo . [6] (La generalización es necesaria para el resultado de dureza porque en base 10, solo hay 10! posibles asignaciones de dígitos a letras, y estas pueden comprobarse frente al rompecabezas en tiempo lineal).

Alphametics se puede combinar con otros rompecabezas numéricos como Sudoku y Kakuro para crear Sudoku y Kakuro crípticos .

Alfabética más larga

Anton Pavlis construyó en 1983 una alfabética con 41 sumandos:

MUCHOS MÁS HOMBRES PARECEN DECIR ESO
PRONTO PODRÍAN INTENTAR QUEDARSE EN CASA
PARA VER O OÍR AL MISMO
EL HOMBRE TRATA DE CONOCER AL EQUIPO EN EL
LUNA+COMO+EL+TIENE+EN+LOS+OTROS+DIEZ
=PRUEBAS

(La respuesta es que MUCHOSOTROS=2764195083.) [7]

Véase también

Referencias

  1. ^ HE Dudeney , en Strand Magazine vol. 68 (julio de 1924), págs. 97 y 214.
  2. ^ "No. 109 Rompecabezas matemático". American Agriculturist . Vol. 23, no. 12. Diciembre de 1864. p. 349.
  3. ^ Maurice Kraitchik , Recreaciones matemáticas (1953), págs. 79-80.
  4. ^ JAH Hunter, en el Toronto Globe and Mail (27 de octubre de 1955), pág. 27.
  5. ^ Feynman, Richard P. (agosto de 2008). Desviaciones perfectamente razonables de los caminos trillados: las cartas de Richard P. Feynman. Basic Books. ISBN 9780786722426.
  6. ^ David Eppstein (1987). "Sobre la NP-completitud de los criptoaritmos" (PDF) . SIGACT News . 18 (3): 38–40. doi :10.1145/24658.24662. S2CID  2814715.
  7. ^ Pavlis, Anton. "Crux Mathematicorum" (PDF) . Sociedad Matemática Canadiense . p. 115 . Consultado el 14 de diciembre de 2016 .

Enlaces externos

Solucionadores de alfabéticos