En geometría de nueve dimensiones , un politopo de nueve dimensiones o 9-politopo es un politopo contenido en facetas de 8-politopos. Cada cresta de 7-politopos es compartida por exactamente dos facetas de 8-politopos .
Un politopo 9 uniforme es uno que es transitivo por vértice y está construido a partir de facetas de politopo 8 uniforme .
Los 9-politopos regulares se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p,q,r,s,t,u,v,w}, con w {p,q,r,s,t,u,v} facetas de 8-politopos alrededor de cada pico .
Hay exactamente tres de estos 9-politopos convexos regulares :
No existen 9-politopos regulares no convexos.
La topología de cualquier politopo 9 dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [1]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se puede generalizar de forma útil a dimensiones superiores, cualquiera que sea su topología subyacente. Esta inadecuación de la característica de Euler para distinguir de forma fiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores condujo al descubrimiento de los números de Betti, más sofisticados. [1]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los politopos toroidales, y esto condujo al uso de coeficientes de torsión. [1]
Se pueden generar 9-politopos uniformes con simetría reflexiva mediante estos tres grupos de Coxeter, representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin :
Los 9-politopos regulares y uniformes seleccionados de cada familia incluyen:
; también como h{4,3 8 }
.La familia A9 tiene simetría de orden 3628800 (factorial 10).
Existen 256+16-1=271 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. Todas ellas se enumeran a continuación. Los acrónimos de estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.
Hay 511 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos.
A continuación se muestran once casos: nueve formas rectificadas y dos truncamientos. Los nombres de las siglas de estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas. Los nombres de las siglas de estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.
La familia D 9 tiene simetría de orden 92.897.280 (9 factorial × 2 8 ).
Esta familia tiene 3×128−1=383 politopos uniformes Wythoffianos, generados al marcar uno o más nodos del diagrama D 9 de Coxeter-Dynkin . De estos, 255 (2×128−1) se repiten de la familia B 9 y 128 son exclusivos de esta familia, con las ocho formas de 1 o 2 anillos que se enumeran a continuación. Los nombres de los acrónimos de estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.
Hay cinco grupos de Coxeter afines fundamentales que generan teselaciones regulares y uniformes en el espacio de 8:
Las teselaciones regulares y uniformes incluyen:
o
Coxeter denominó a un cuarto de panal cúbico 8 , lo que representa q{4,3 6 ,4}, o qδ 9 .No existen grupos hiperbólicos compactos de Coxeter de rango 9, grupos que puedan generar panales con todas las facetas finitas y una figura de vértice finita . Sin embargo, existen 4 grupos hiperbólicos paracompactos de Coxeter de rango 9, cada uno de los cuales genera panales uniformes en el espacio de 8 como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter.
