65.537

Número natural

Construcción de un polígono regular de 65537. Véase polígono construible .

65537 es el número entero después de 65536 y antes de 65538.

En matemáticas

65537 es el mayor número primo conocido de la forma ( ), y es muy probable que sea el último. ^[1] Por lo tanto, un polígono regular con 65537 lados es construible con compás y regla sin marcar. Johann Gustav Hermes dio la primera construcción explícita de este polígono. En teoría de números, los primos de esta forma se conocen como primos de Fermat , llamados así por el matemático Pierre de Fermat . Los únicos números primos de Fermat conocidos son ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle 2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3,}$

${\displaystyle 2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5,}$

${\displaystyle 2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17,}$

${\displaystyle 2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257,}$

${\displaystyle 2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537.}$^[2]

En 1732, Leonhard Euler descubrió que el siguiente número de Fermat es compuesto:

${\displaystyle 2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417}$

En 1880, Fortuné Landry  [fr] demostró que

${\displaystyle 2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=274177\times 67280421310721}$

65537 es también el decimoséptimo número de Jacobsthal-Lucas , y actualmente el mayor entero conocido n para el cual el número es un primo probable . ^[3] ${\displaystyle 10^{n}+27}$

Aplicaciones

El 65537 se utiliza habitualmente como exponente público en el criptosistema RSA . Debido a que es el número de Fermat F _n = 2 ^{2 n} + 1 con n = 4 , la abreviatura habitual es "F ₄ " o "F4". ^[4] Este valor se utilizó en RSA principalmente por razones históricas; las primeras implementaciones de RSA sin procesar (sin el relleno adecuado) eran vulnerables a exponentes muy pequeños, mientras que el uso de exponentes altos era costoso desde el punto de vista computacional y no ofrecía ninguna ventaja para la seguridad (suponiendo que se usara el relleno adecuado). ^[5]

65537 también se utiliza como módulo en algunos generadores de números aleatorios de Lehmer , como el utilizado por ZX Spectrum , ^[6] que garantiza que cualquier valor semilla será coprimo con él (vital para asegurar el período máximo) mientras que también permite una reducción eficiente por el módulo usando un desplazamiento de bit y resta.

Referencias

1. Boklan, Kent D.; Conway, John H. (2017). "¡Espere como máximo una milmillonésima parte de un nuevo primo de Fermat!". The Mathematical Intelligencer . 39 (1): 3–5. arXiv : 1605.01371 . doi :10.1007/s00283-016-9644-3. S2CID  119165671.
2. Conway, JH; Guy, RK (1996). El libro de los números . Nueva York: Springer-Verlag. pág. 139. ISBN. 0-387-97993-X.
3. "Secuencias por dificultad de búsqueda". Archivado desde el original el 14 de julio de 2014. Consultado el 14 de junio de 2014 .
4. "genrsa(1)". Proyecto OpenSSL. Archivado desde el original el 13-03-2017 . Consultado el 24-05-2017 . -F4|-3 [..] el exponente público a utilizar, ya sea 65537 o 3. El valor predeterminado es 65537.
5. "¿RSA con pequeños exponentes?".
6. Vickers, Steve (1983). "Capítulo 11. Números aleatorios". Sinclair ZX Spectrum Basic Programming (2.ª ed.). Sinclair Research Ltd. págs. 73–75 . Consultado el 26 de mayo de 2022. El ZX Spectrum utiliza p=65537 y a=75, y almacena algunos bi-1 en la memoria.