Electromagnético de cuatro potenciales.

Campo vectorial relativista

Un cuatro potencial electromagnético es una función vectorial relativista a partir de la cual se puede derivar el campo electromagnético . Combina un potencial escalar eléctrico y un potencial vectorial magnético en un solo cuatro vectores . ^[1]

Medido en un marco de referencia determinado , y para un calibre determinado , el primer componente del potencial electromagnético de cuatro potenciales se considera convencionalmente el potencial escalar eléctrico, y los otros tres componentes constituyen el potencial del vector magnético. Si bien tanto el potencial escalar como el vectorial dependen del marco, el potencial electromagnético de cuatro potenciales es la covariante de Lorentz .

Al igual que otros potenciales, muchos cuatro potenciales electromagnéticos diferentes corresponden al mismo campo electromagnético, dependiendo del calibre elegido.

Este artículo utiliza la notación de índice tensorial y la convención de signos métricos de Minkowski (+ − − −) . Véase también covarianza y contravarianza de vectores y subida y bajada de índices para obtener más detalles sobre la notación. Las fórmulas se dan en unidades SI y unidades Gaussianas-cgs .

Definición

El cuatro potencial electromagnético contravariante se puede definir como: ^[2]

en el que ϕ es el potencial eléctrico y A es el potencial magnético (un potencial vectorial ). Las unidades de A ^α son V · s · m ⁻¹ en SI y Mx · cm ⁻¹ en gaussiano-cgs .

Los campos eléctricos y magnéticos asociados con estos cuatro potenciales son: ^[3]

En la relatividad especial , los campos eléctrico y magnético se transforman bajo transformaciones de Lorentz . Esto se puede escribir en forma de tensor de rango dos : el tensor electromagnético . Los 16 componentes contravariantes del tensor electromagnético, usando la convención métrica de Minkowski (+ − − −), se escriben en términos del cuatro potencial electromagnético y el cuatro gradiente como:

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

Si dicha firma es (− + + +) entonces:

${\displaystyle F'\,^{\mu \nu }=\partial '\,^{\mu }A^{\nu }-\partial '\,^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

Básicamente, esto define los cuatro potenciales en términos de cantidades físicamente observables, además de reducirse a la definición anterior.

En el ancho de Lorenz

A menudo, la condición de calibre de Lorenz en un marco de referencia inercial se emplea para simplificar las ecuaciones de Maxwell como: ^[2] ${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$

donde J ^α son los componentes de las cuatro corrientes , y

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }}$

es el operador d'alembertiano . En términos de los potenciales escalar y vectorial, esta última ecuación queda como:

Para una carga dada y una distribución de corriente, ρ ( r , t ) y j ( r , t ) , las soluciones de estas ecuaciones en unidades SI son: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}}$

es el tiempo retrasado . Esto a veces también se expresa con

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)=\left[\rho \left(\mathbf {r} ',t\right)\right],}$

donde los corchetes pretenden indicar que el tiempo debe evaluarse en el tiempo retrasado. Por supuesto, dado que las ecuaciones anteriores son simplemente la solución de una ecuación diferencial no homogénea , cualquier solución de la ecuación homogénea se puede agregar a estas para satisfacer las condiciones de contorno . Estas soluciones homogéneas en general representan ondas que se propagan desde fuentes fuera del límite.

Cuando las integrales anteriores se evalúan para casos típicos, por ejemplo, de una corriente (o carga) oscilante, se encuentra que dan tanto un componente de campo magnético que varía según r ⁻² (el campo de inducción) como un componente que disminuye cuando r ⁻¹ ( el campo de radiación). ^{[ se necesita aclaración ]}

Libertad de calibre

Cuando se aplana a una forma única (en notación tensorial ), el cuatro potencial (normalmente escrito como un vector o, en notación tensorial) se puede descomponer ^{[ se necesita aclaración ]} mediante el teorema de descomposición de Hodge como la suma de un exacto , un coexacta y una forma armónica, ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mu }}$

${\displaystyle A=d\alpha +\delta \beta +\gamma }$.

Hay libertad de calibre en A en las tres formas de esta descomposición, sólo la forma coexacta tiene algún efecto sobre el tensor electromagnético.

${\displaystyle F=dA}$.

Las formas exactas son cerradas, al igual que las formas armónicas sobre un dominio apropiado, así y , siempre. Así que, independientemente de lo que sean y sean, nos queda simplemente ${\displaystyle dd\alpha =0}$ ${\displaystyle d\gamma =0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle F=d\delta \beta }$.

Ver también

• Cuatro vectores
• Formulación covariante del electromagnetismo clásico.
• Las ecuaciones de Jefimenko.
• campo de gluones
• Efecto Aharonov-Bohm

Referencias

1. Gravitación, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN  0-7167-0344-0
2. DJ Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Educación Pearson, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.
3. IS Grant, WR Phillips (2008). Electromagnetismo (2ª ed.). Física de Manchester, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.

• Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la Relatividad Especial (2ª) . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853952-5.
• Jackson, JD (1999). Electrodinámica Clásica (3º) . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.