Pentadecágono

Polígono con 15 aristas

En geometría , un pentadecágono , pentakaidecágono o 15-gono es un polígono de quince lados .

Pentadecágono regular

Un pentadecágono regular se representa mediante el símbolo de Schläfli {15}.

Un pentadecágono regular tiene ángulos interiores de 156 ° , y con una longitud lateral a , tiene un área dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {15}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{15}}&={\frac {15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}a^{2}\\&={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\\&\simeq 17.6424\,a^{2}.\end{aligned}}}$

Construcción

Como 15 = 3 × 5, un producto de primos de Fermat distintos , un pentadecágono regular es construible usando compás y regla : Las siguientes construcciones de pentadecágonos regulares con un circuncírculo dado son similares a la ilustración de la proposición XVI en el Libro IV de los Elementos de Euclides . ^[1]

Compara la construcción según Euclides en esta imagen: Pentadecágono

En la construcción de un círculo circunscrito dado: es un lado de un triángulo equilátero y es un lado de un pentágono regular. ^[2] El punto divide el radio en proporción áurea : ${\displaystyle {\overline {FG}}={\overline {CF}}{\text{,}}\;{\overline {AH}}={\overline {GM}}{\text{,}}\;|E_{1}E_{6}|}$ ${\displaystyle |E_{2}E_{5}|}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ ${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {HM}}}={\frac {\overline {AM}}{\overline {AH}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

En comparación con la primera animación (con líneas verdes), en las dos imágenes siguientes se muestran los dos arcos circulares (para los ángulos de 36° y 24°) rotados 90° en sentido antihorario. No se utiliza el segmento , sino que se utiliza el segmento como radio para el segundo arco circular (ángulo de 36°). ${\displaystyle {\overline {CG}}}$ ${\displaystyle {\overline {MG}}}$ ${\displaystyle {\overline {AH}}}$

Construcción con regla y compás para una longitud de lado dada. La construcción es casi igual a la del pentágono en un lado dado , luego también la presentación se logra por extensión de un lado y genera un segmento, aquí que se divide según la proporción áurea: ${\displaystyle {\overline {FE_{2}}}{\text{,}}}$

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

Circunradio Longitud lateral Ángulo ${\displaystyle {\overline {E_{2}M}}=R\;;\;\;}$ ${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}=a\;;\;\;}$ ${\displaystyle DE_{1}M=ME_{2}D=78^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {8+2\cdot {\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6\cdot {\sqrt {5}}}}}}\cdot a\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2.40486\cdot a\end{aligned}}}$

Simetría

Las simetrías de un pentadecágono regular se muestran con colores en las aristas y los vértices. Las líneas de reflexión están en azul. Los giros se indican como números en el centro. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría.

El pentadecágono regular tiene simetría diedral Dih ₁₅ , orden 30, representada por 15 líneas de reflexión. Dih ₁₅ tiene 3 subgrupos diedros: Dih ₅ , Dih ₃ y Dih ₁ . Y cuatro simetrías cíclicas más: Z ₁₅ , Z ₅ , Z ₃ y Z ₁ , donde Z _n representa una simetría rotacional de π/ n radianes.

En el pentadecágono, hay 8 simetrías distintas. John Conway etiqueta estas simetrías con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. ^[3] Da r30 para la simetría reflexiva completa, Dih ₁₅ . Da d (diagonal) con líneas de reflexión a través de vértices, p con líneas de reflexión a través de aristas (perpendicular), y para el pentadecágono de lados impares i con líneas de espejo a través de vértices y aristas, y g para simetría cíclica. a1 no etiqueta simetría.

Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad en la definición de pentadecágonos irregulares. Solo el subgrupo g15 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Pentadecagramas

Hay tres polígonos estrellados regulares : {15/2}, {15/4}, {15/7}, construidos a partir de los mismos 15 vértices de un pentadecágono regular, pero conectados saltando cada segundo, cuarto o séptimo vértice respectivamente.

También hay tres figuras estelares regulares : {15/3}, {15/5}, {15/6}, siendo la primera un compuesto de tres pentágonos , la segunda un compuesto de cinco triángulos equiláteros y la tercera un compuesto de tres pentagramas .

La figura compuesta {15/3} puede considerarse vagamente como el equivalente bidimensional del compuesto tridimensional de cinco tetraedros .

Pentadecágonos isogonales

Truncamientos más profundos del pentadecágono regular y de los pentadecagramas pueden producir formas de polígonos estrellados intermedios isogonales ( transitivos de vértice ) con vértices igualmente espaciados y dos longitudes de arista. ^[4]

Polígonos de Petrie

El pentadecágono regular es el polígono de Petrie para algunos politopos de dimensiones superiores, proyectado en una proyección ortogonal sesgada :

Usos

Un triángulo regular, un decágono y un pentadecágono pueden llenar por completo un vértice plano . Sin embargo, debido al número impar de lados del triángulo, las figuras no pueden alternarse alrededor del triángulo, por lo que el vértice no puede producir una teselación semirregular .

Véase también

• Construcción del pentadecágono con un lado dado, cálculo del radio circunscrito R {\displaystyle R} (alemán)
• Construcción del pentadecágono con una longitud de lado dada, ejemplificación: circunradio C G ¯ = R {\displaystyle {\overline {CG}}=R}

Referencias

1. Dunham, William (1991). Viaje a través del genio: los grandes teoremas de las matemáticas (PDF) . Penguin. pág. 65 . Consultado el 12 de noviembre de 2015 – a través de la Facultad de Artes y Ciencias de Matemáticas de la Universidad de Kentucky.
2. Kepler, Johannes, traducido e iniciado por MAX CASPAR 1939. WELT-HARMONIK (en alemán). p. 44. Recuperado el 7 de diciembre de 2015 – a través de Google Books.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)Recuperado el 5 de junio de 2017
3. John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos generalizados de Schaefli, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278) 
4. El lado más luminoso de las matemáticas: Actas de la Conferencia en memoria de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia (1994), Metamorfosis de polígonos , Branko Grünbaum

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Pentadecágono". MathWorld .