Hoja (geometría)

Producto exterior de vectores.

En el estudio de álgebras geométricas , una k -blade o un k -vector simple es una generalización del concepto de escalares y vectores para incluir bivectores , trivectores simples , etc. Específicamente, una k -blade es un k -vector que puede ser expresado como el producto exterior (informalmente producto de cuña ) de 1-vectores, y es de grado k .

En detalle: ^[1]

• Una hoja 0 es un escalar .
• Una hoja de 1 es un vector . Cada vector es simple.
• Un bivector de 2 hojas es un bivector simple . Las sumas de 2 palas también son bivectores, pero no siempre simples. Una hoja de 2 palas se puede expresar como el producto de cuña de dos vectores a y b :

  ${\displaystyle a\wedge b.}$

• Un trivector de 3 palas es simple, es decir, puede expresarse como el producto de cuña de tres vectores a , b y c :

  ${\displaystyle a\wedge b\wedge c.}$

• En un espacio vectorial de dimensión n , una hoja de grado n − 1 se llama pseudovector ^[2] o antivector . ^[3]
• El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar , y en un espacio de dimensión n es una n -hoja. ^[4]
• En un espacio vectorial de dimensión n , hay k ( n − k ) + 1 dimensiones de libertad para elegir una k -blade para 0 ≤ k ≤ n , de las cuales una dimensión es un multiplicador de escala general. ^[5]

Un subespacio vectorial de dimensión finita k puede representarse mediante la k -hoja formada como un producto en cuña de todos los elementos de una base para ese subespacio. ^[6] De hecho, una k -blade es naturalmente equivalente a un k -subespacio dotado de una forma de volumen (una k -función escalar multilineal alterna) normalizada para tomar un valor unitario en la k -blade.

Ejemplos

En el espacio bidimensional, los escalares se describen como 0 láminas, los vectores son 1 láminas y los elementos de área son 2 láminas, en este contexto conocidos como pseudoescalares , en el sentido de que son elementos de un espacio unidimensional distintos de los escalares regulares.

En el espacio tridimensional, las hojas 0 son nuevamente escalares y las hojas 1 son vectores tridimensionales, mientras que las hojas 2 son elementos de área orientada. En este caso, las 3 palas se denominan pseudoescalares y representan elementos de volumen tridimensionales, que forman un espacio vectorial unidimensional similar a los escalares. A diferencia de los escalares, los de 3 palas se transforman según el determinante jacobiano de una función de cambio de coordenadas .

Ver también

• Grassmanniano
• Multivector
• Álgebra exterior
• forma diferencial
• álgebra geométrica
• Álgebra de Clifford

Notas

1. Marcos A. Rodrigues (2000). "§1.2 Álgebra geométrica: un esquema". Invariantes para reconocimiento y clasificación de patrones . Científico mundial. pag. 3 y siguientes . ISBN 981-02-4278-6.
2. William E. Baylis (2004). "§4.2.3 Multivectores de grado superior en Cℓn: duales". Conferencias sobre álgebras y aplicaciones de Clifford (geométricas) . Birkhäuser. pag. 100.ISBN​ 0-8176-3257-3.
3. Lengyel, Eric (2016). Fundamentos del desarrollo de motores de juegos, volumen 1: Matemáticas . Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.
4. John A. Vince (2008). Álgebra geométrica para gráficos por computadora. Saltador. pag. 85.ISBN​ 978-1-84628-996-5.
5. Para los Grassmannianos (incluido el resultado sobre la dimensión), un buen libro es: Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, señor  1288523. La prueba de la dimensionalidad es realmente sencilla. Tome el producto exterior de k vectores y realice operaciones de columna elementales en estos (factorizando los pivotes) hasta que el bloque superior k  ×  k sean vectores de base elemental de . Luego, el producto de la cuña se parametriza mediante el producto de los pivotes y el bloque inferior k  × ( n − k ) . Compárese también con la dimensión de un Grassmanniano , k ( n − k ) , en la que se elimina el multiplicador escalar. ${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{k}}$
6. David Hestenes (1999). Nuevos fundamentos de la mecánica clásica: Teorías fundamentales de la Física. Saltador. pag. 54.ISBN​ 0-7923-5302-1.

Referencias

• David Hestenes ; Garret Sobczyk (1987). "Capítulo 1: Álgebra geométrica". Desde el álgebra de Clifford hasta el cálculo geométrico: un lenguaje unificado para las matemáticas y la física. Saltador. pag. 1 y siguientes . ISBN 90-277-2561-6.
• Chris Doran y Anthony Lasenby (2003). Álgebra geométrica para físicos. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-48022-1.
• A Lasenby, J Lasenby y R Wareham (2004) Un enfoque covariante de la geometría utilizando el Informe técnico de álgebra geométrica. Departamento de Ingeniería de la Universidad de Cambridge, Cambridge, Reino Unido.
• R Wareham; J Cameron y J Lasenby (2005). "Aplicaciones del álgebra geométrica conforme a la visión por computadora y los gráficos". En Hongbo Li; Peter J. Olver y Gerald Sommer (eds.). Álgebra informática y álgebra geométrica con aplicaciones . Saltador. pag. 329 y sigs . ISBN 3-540-26296-2.

enlaces externos

• Una introducción al álgebra geométrica, especialmente para informáticos.