En geometría de seis dimensiones , el politopo 1 22 es un politopo uniforme , construido a partir del grupo E 6. Fue publicado por primera vez en la lista de politopos semirregulares de EL Elte de 1912, denominado V 72 (por sus 72 vértices). [1]
Su símbolo de Coxeter es 1 22 , que describe su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo en el extremo de la secuencia de 1 nodo. Hay dos rectificaciones del 1 22 , construidas por puntos de posiciones en los elementos de 1 22 . El 1 22 rectificado se construye por puntos en los bordes medios del 1 22 . El 1 22 birectificado se construye por puntos en los centros de las caras del triángulo del 1 22 .
Estos politopos pertenecen a una familia de 39 politopos uniformes convexos en 6 dimensiones , formados por facetas de politopos uniformes y figuras de vértice , definidas por todas las permutaciones de anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin :
.
El politopo 1 22 contiene 72 vértices y 54 facetas demicúbicas 5. Tiene una figura de vértice simplex 5 birectificada . Sus 72 vértices representan los vectores raíz del grupo de Lie simple E 6 .
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 6 espejos hiperplanos en un espacio de 6 dimensiones.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,
.
Al eliminar el nodo en cualquiera de las ramas de 2 longitudes, queda el demicubo 5 , 1 31 ,.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto hace que el 5-símplex birectificado sea 0 22 ,
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Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar mediante la eliminación del espejo y las proporciones de los órdenes del grupo de Coxeter . [3]
El poliedro complejo regular 3 {3} 3 {4} 2 ,
, tiene una representación real como el politopo 1 22 en el espacio de 4 dimensiones. Tiene 72 vértices, 216 3-aristas y 54 3{3}3 caras. Su grupo de reflexión complejo es 3 [3] 3 [4] 2 , orden 1296. Tiene una construcción cuasirregular de semisimetría como, como rectificación del poliedro de Hesse ,. [4]
Junto con el politopo semirregular, 2 21 , también es uno de una familia de 39 politopos uniformes convexos en 6 dimensiones, formados por facetas de politopo uniformes y figuras de vértice , definidas por todas las permutaciones de anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin :.
El 1 22 está relacionado con el 24-cell por un plegado geométrico E6 → F4 de los diagramas de Coxeter-Dynkin , correspondiendo E6 al 1 22 en 6 dimensiones, F4 al 24-cell en 4 dimensiones. Esto se puede ver en las proyecciones del plano de Coxeter . Los 24 vértices del 24-cell se proyectan en los mismos dos anillos que se ven en el 1 22 .
Este politopo es la figura del vértice de una teselación uniforme del espacio de 6 dimensiones, 2 22 ,
.
El politopo rectificado 1 22 (también llamado 0 221 ) puede teselar un espacio de 6 dimensiones como la celda de Voronoi de la red en forma de panal E6* (dual de la red E6). [5]
Los vértices se colorean según su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo.
Su construcción se basa en el grupo E 6 y la información se puede extraer del diagrama anillado de Coxeter-Dynkin que representa este politopo:
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Al quitar el anillo de la rama corta queda el 5-símplex birectificado .
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Al quitar el anillo en cualquiera de las ramas de 2 longitudes, queda el 5-ortoplex birectificado en su forma alternada: t 2 (2 11 ) ,.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el anillo vecino. Esto forma un prisma de duoprisma 3-3 , {3}×{3}×{},
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Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar mediante la eliminación del espejo y las proporciones de los órdenes del grupo de Coxeter . [7] [8]
Su construcción se basa en el grupo E 6 y la información se puede extraer del diagrama anillado de Coxeter-Dynkin que representa este politopo:
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Los vértices se colorean según su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo.
Los vértices se colorean según su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo.
