En geometría , el panal de abejas de 2 22 es una teselación uniforme del espacio euclidiano de seis dimensiones. Puede representarse mediante el símbolo de Schläfli {3,3,3 2,2 }. Está construido a partir de 2 21 facetas y tiene una figura de vértice de 1 22 , con 54 2 21 politopos alrededor de cada vértice.
Su disposición de vértices es la red E6 , y el sistema raíz del grupo E6 Lie , por lo que también se le puede llamar panal E6 .
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 7 espejos hiperplanos en un espacio de 6 dimensiones.
La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,
.
Al eliminar un nodo en el extremo de una de las ramas de 2 nodos, queda el 2 21 , su único tipo de faceta ,
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto da como resultado 1 22 ,.
La figura del borde es la figura del vértice de la figura del vértice, siendo aquí un 5-símplex birectificado , t 2 {3 4 },.
La figura de la cara es la figura del vértice de la figura del borde, siendo aquí un duoprisma triangular , {3}×{3},
.
Cada vértice de esta teselación es el centro de una 5-esfera en el empaquetamiento más denso conocido en 6 dimensiones, con número de besos 72, representado por los vértices de su figura de vértice 1 22 .
La disposición de los vértices del panal 2 22 se denomina red E 6 . [1]
La red E 6 2 , con simetría [[3,3,3 2,2 ]] , se puede construir mediante la unión de dos redes E 6 :
∪
La red E 6 * [2] (o E 6 3 ) con simetría [[3,3 2,2,2 ]]. La celda de Voronoi de la red E 6 * es el politopo rectificado 1 22 , y la teselación de Voronoi es un panal de abejas bitruncado 222. [3] Está construida por 3 copias de los vértices de la red E 6 , uno de cada una de las tres ramas del diagrama de Coxeter.
∪∪= dual a.El grupo está relacionado con el por un plegamiento geométrico , por lo que este panal se puede proyectar en el panal de 16 celdas de 4 dimensiones .
El panal 2 22 es uno de los 127 panales uniformes (39 únicos) con simetría. 24 de ellos tienen simetría doble [[3,3,3 2,2 ]] con 2 ramas con anillos iguales, y 7 tienen simetría séxtuplicada (3 ! ) [[3,3 2,2,2 ]] con anillos idénticos en las 3 ramas. No hay panales regulares en la familia ya que su diagrama de Coxeter es un grafo no lineal, pero el 2 22 y el 222 birectificado son isotópicos , con un solo tipo de faceta : los politopos 2 21 y 1 22 rectificado respectivamente.
El panal birectificado 2 22 , ha rectificado 1 22 facetas de politopo,, y un proprisma {3}×{3}×{3} figura de vértice .
Sus facetas están centradas en la disposición de los vértices de la red E6*, como:
∪∪La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma un proprisma {3}×{3}×{3},
.
Al eliminar un nodo en el extremo de una de las ramas de 3 nodos, queda el 1 22 rectificado , su único tipo de faceta ,.
La eliminación de un segundo nodo final define 2 tipos de 5 caras: 5-símplex birectificado , 0 22 y 5-ortoplex birectificado , 0 211 .
Al eliminar un tercer nodo final se definen 2 tipos de 4 caras: 5 celdas rectificadas , 0 21 , y 24 celdas , 0 111 .
Al eliminar un cuarto nodo final se definen dos tipos de celdas: octaedro , 0 11 , y tetraedro , 0 20 .
El panal de abejas 2 22 es el cuarto de una serie dimensional de politopos uniformes, expresada por Coxeter como la serie k 22. El último es un panal de abejas hiperbólico paracompacto, 3 22. Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir del anterior como su figura de vértice .
El panal 2 22 es el tercero de otra serie dimensional 2 2k .
