Espacio vectorial graduado

Estructura algebraica descompuesta en una suma directa

En matemáticas , un espacio vectorial graduado es un espacio vectorial que tiene la estructura adicional de una gradación , que es una descomposición del espacio vectorial en una suma directa de subespacios vectoriales , generalmente indexados por los números enteros .

Para los espacios vectoriales "puros", el concepto se ha introducido en el álgebra homológica y se usa ampliamente para las álgebras graduadas , que son espacios vectoriales graduados con estructuras adicionales.

Gradación de números enteros

Sea el conjunto de números enteros no negativos . Un espacio vectorial graduado , a menudo llamado simplemente espacio vectorial graduado sin el prefijo , es un espacio vectorial V junto con una descomposición en una suma directa de la forma ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\textstyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle V=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}}$

donde cada uno es un espacio vectorial. Para un n dado los elementos de se denominan entonces elementos homogéneos de grado n . ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Los espacios vectoriales graduados son comunes. Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios en una o varias variables forma un espacio vectorial graduado, donde los elementos homogéneos de grado n son exactamente las combinaciones lineales de monomios de grado  n .

Gradación general

Los subespacios de un espacio vectorial graduado no necesitan estar indexados por el conjunto de números naturales, y pueden estar indexados por los elementos de cualquier conjunto I. Un espacio vectorial graduado I V es un espacio vectorial junto con una descomposición en una suma directa de subespacios indexados por elementos i del conjunto I :

${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}$

Por lo tanto, un espacio vectorial -graduado, como se definió anteriormente, es simplemente un espacio vectorial I -graduado donde el conjunto I es (el conjunto de números naturales ). ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

El caso en el que I es el anillo (los elementos 0 y 1) es particularmente importante en física . El espacio vectorial A-graduado también se conoce como espacio supervectorial . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

Homomorfismos

Para los conjuntos de índices generales I , una función lineal entre dos espacios vectoriales graduados f :  V → W se denomina función lineal graduada si conserva la graduación de elementos homogéneos. Una función lineal graduada también se denomina homomorfismo (o morfismo ) de espacios vectoriales graduados, o función lineal homogénea :

${\displaystyle f(V_{i})\subseteq W_{i}}$ para todo i en I .

Para un campo fijo y un conjunto de índice fijo, los espacios vectoriales graduados forman una categoría cuyos morfismos son los mapas lineales graduados.

Cuando I es un monoide conmutativo (como los números naturales), entonces se pueden definir de manera más general mapas lineales que son homogéneos de cualquier grado i en I por la propiedad

${\displaystyle f(V_{j})\subseteq W_{i+j}}$ para todo j en I ,

donde "+" denota la operación monoide. Si además I satisface la propiedad de cancelación de modo que puede ser incluido en un grupo abeliano A que genera (por ejemplo los enteros si I son los números naturales), entonces también se pueden definir aplicaciones lineales que sean homogéneas de grado i en A por la misma propiedad (pero ahora "+" denota la operación de grupo en A ). Específicamente, para i en I una aplicación lineal será homogénea de grado − i si

${\displaystyle f(V_{i+j})\subseteq W_{j}}$ para todo j en I , mientras que

${\displaystyle f(V_{j})=0\,}$ si j − i no está en I .

Así como el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial a sí mismo forma un álgebra asociativa (el álgebra de endomorfismos del espacio vectorial), los conjuntos de aplicaciones lineales homogéneas de un espacio a sí mismo –ya sea restringiendo los grados a 1 o permitiendo cualquier grado en el grupo A– forman álgebras graduadas asociativas sobre esos conjuntos de índices.

Operaciones sobre espacios vectoriales graduados

Algunas operaciones en espacios vectoriales también se pueden definir para espacios vectoriales graduados.

Dados dos espacios vectoriales I -graduados V y W , su suma directa tiene un espacio vectorial subyacente V  ⊕  W con gradación

( V  ⊕  W ) _i = Vi _⊕ Wi  . ​ _​

Si I es un semigrupo , entonces el producto tensorial de dos espacios vectoriales I -graduados V y W es otro espacio vectorial I -graduado, , con gradación ${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\left\{\left(j,k\right)\,:\;j+k=i\right\}}V_{j}\otimes W_{k}.}$

Serie de Hilbert-Poincaré

Dado un espacio vectorial -graduado que es de dimensión finita para cada su serie de Hilbert-Poincaré es la serie de potencia formal ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{n})\,t^{n}.}$

De las fórmulas anteriores, las series de Hilbert-Poincaré de una suma directa y de un producto tensorial de espacios vectoriales graduados (de dimensión finita en cada grado) son respectivamente la suma y el producto de las series de Hilbert-Poincaré correspondientes.

Véase también

• Calificado (matemáticas)
• Álgebra graduada
• Comodula
• Módulo calificado
• Regla de Littlewood-Richardson

Referencias

• Bourbaki, N. (1974) Álgebra I (Capítulos 1-3), ISBN  978-3-540-64243-5 , Capítulo 2, Sección 11; Capítulo 3.