Media aritmético-geométrica

Mathematical function of two positive real arguments

Gráfico de la media aritmético-geométrica entre varias medias generalizadas . ${\displaystyle \operatorname {agm} (1,x)}$

En matemáticas , la media aritmético-geométrica (AGM o agM ^[1] ) de dos números reales positivos x e y es el límite mutuo de una secuencia de medias aritméticas y una secuencia de medias geométricas . La media aritmético-geométrica se utiliza en algoritmos rápidos para funciones exponenciales , trigonométricas y otras funciones especiales , así como algunas constantes matemáticas , en particular, el cálculo de π .

La AGM se define como el límite de las secuencias interdependientes y . Suponiendo que , escribimos: Estas dos secuencias convergen al mismo número, la media aritmético-geométrica de x e y ; se denota por M ( x , y ) , o a veces por agm( x , y ) o AGM( x , y ) . ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle x\geq y\geq 0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}}$$

La media aritmético-geométrica puede extenderse a números complejos y, cuando se permite tomar las ramas de la raíz cuadrada de manera inconsistente, generalmente es una función multivaluada . ^[1]

Ejemplo

Para encontrar la media aritmético-geométrica de a ₀ = 24 y g ₀ = 6 , itere de la siguiente manera: Las primeras cinco iteraciones dan los siguientes valores: $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}}$$

El número de dígitos en los que a _n y g _n coinciden (subrayado) se duplica aproximadamente con cada iteración. La media aritmético-geométrica de 24 y 6 es el límite común de estas dos secuencias, que es aproximadamente13.458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 . ^[2]

Historia

El primer algoritmo basado en este par de secuencias apareció en los trabajos de Lagrange . Sus propiedades fueron analizadas posteriormente por Gauss . ^[1]

Propiedades

Tanto la media geométrica como la media aritmética de dos números positivos x e y están entre los dos números. (Están estrictamente entre cuando x ≠ y .) La media geométrica de dos números positivos nunca es mayor que la media aritmética . ^[3] Por lo tanto, las medias geométricas son una secuencia creciente g ₀ ≤ g ₁ ≤ g ₂ ≤ ... ; las medias aritméticas son una secuencia decreciente a ₀ ≥ a ₁ ≥ a ₂ ≥ ... ; y g _n ≤ M ( x , y ) ≤ a _n para cualquier n . Estas son desigualdades estrictas si x ≠ y .

M ( x , y ) es entonces un número entre x e y ; también está entre la media geométrica y aritmética de x e y .

Si r ≥ 0 entonces M ( rx , ry ) = r M ( x , y ) .

Hay una expresión en forma integral para M ( x , y ) : ^[4] donde K ( k ) es la integral elíptica completa del primer tipo : Dado que el proceso aritmético-geométrico converge tan rápidamente, proporciona una forma eficiente de calcular integrales elípticas, que se utilizan, por ejemplo, en el diseño de filtros elípticos . ^[5] $${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}$$

La media aritmético-geométrica está conectada a la función theta de Jacobi por ^[6] que al establecerla da ${\displaystyle \theta _{3}}$ $${\displaystyle M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},}$$ ${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$ $${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.}$$

Conceptos relacionados

El recíproco de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2 es la constante de Gauss . En 1799, Gauss demostró ^{[nota 1]} que donde es la constante lemniscata . $${\displaystyle {\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots }$$ $${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}$$ ${\displaystyle \varpi }$

En 1941, (y por lo tanto ) fue demostrado trascendental por Theodor Schneider . ^{[nota 2] [7] [8]} El conjunto es algebraicamente independiente sobre , ^{[9] [10]} pero el conjunto (donde el primo denota la derivada con respecto a la segunda variable) no es algebraicamente independiente sobre . De hecho, ^[11] La media geométrica-armónica GH se puede calcular utilizando secuencias análogas de medias geométricas y armónicas , y de hecho GH( x , y ) = 1/ M (1/ x , 1/ y ) = xy / M ( x , y ) . ^[12] La media aritmético-armónica es equivalente a la media geométrica . ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.}$$

La media aritmético-geométrica se puede utilizar para calcular, entre otros, logaritmos , integrales elípticas completas e incompletas de primer y segundo tipo , ^[13] y funciones elípticas de Jacobi . ^[14]

Prueba de existencia

La desigualdad de las medias aritmética y geométrica implica que y por lo tanto , es decir, la sucesión g _n no es decreciente y está acotada superiormente por el mayor de x e y . Por el teorema de convergencia monótona , la sucesión es convergente, por lo que existe una g tal que: Sin embargo, también podemos ver que: y por lo tanto: $${\displaystyle g_{n}\leq a_{n}}$$ $${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}$$ $${\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}$$

QED

Prueba de la expresión en forma integral

Esta prueba la da Gauss. ^[1] Sea

$${\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}$$

Cambiando la variable de integración a , donde ${\displaystyle \theta '}$

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta \ d\theta =2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\ ,}$$

$${\displaystyle d\theta ={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}d\theta '\ ,}$$ $${\displaystyle x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta ={\frac {x^{2}((x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta ')+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}={\frac {x^{2}((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}}$$

Esto produce $${\displaystyle {\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}{\frac {((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}={\frac {2\cos \theta 'd\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}},}$$

da

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

Así pues, tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}}$$La última igualdad surge de observar que . ${\displaystyle I(z,z)=\pi /(2z)}$

Finalmente obtenemos el resultado deseado

$${\displaystyle M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.}$$

Aplicaciones

El numeroπ

Según el algoritmo de Gauss-Legendre , ^[15]

$${\displaystyle \pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},}$$

dónde

$${\displaystyle c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right),}$$

con y , que se puede calcular sin pérdida de precisión utilizando ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle g_{0}=1/{\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.}$$

Integral elíptica completaK(pecadoalfa)

Tomando y cediendo la AGM ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle g_{0}=\cos \alpha }$

$${\displaystyle M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},}$$

donde K ( k ) es una integral elíptica completa de primer tipo :

$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta .}$$

Es decir que este trimestre podrá computarse eficientemente a través de la Asamblea General Anual, $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.}$$

Otras aplicaciones

Utilizando esta propiedad del AGM junto con las transformaciones ascendentes de John Landen , ^[16] Richard P. Brent ^[17] sugirió los primeros algoritmos AGM para la evaluación rápida de funciones trascendentales elementales ( e ^x , cos  x , sen  x ). Posteriormente, muchos autores estudiaron el uso de los algoritmos AGM. ^[18]

Véase también

• La transformación de Landen
• Algoritmo de Gauss-Legendre
• Media generalizada

Referencias

Notas

1. En 1799, Gauss tenía dos pruebas del teorema, pero ninguna de ellas era rigurosa desde el punto de vista moderno.
2. En particular, demostró que la función beta es trascendental para todos los tales que . El hecho de que es trascendental se sigue de ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$ ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\right).}$

Citas

1. Cox, David (enero de 1984). «La media aritmético-geométrica de Gauss». L'Enseignement Mathématique . 30 (2): 275–330.
2. agm(24, 6) en Wolfram Alpha
3. Bullen, PS (2003). "Las medias aritméticas, geométricas y armónicas". Manual de medias y sus desigualdades. Dordrecht: Springer Netherlands. págs. 60-174. doi :10.1007/978-94-017-0399-4_2. ISBN 978-90-481-6383-0. Consultado el 11 de diciembre de 2023 .
4. Carson, BC (2010). "Integrales elípticas". En Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.). Manual de funciones matemáticas del NIST . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5.Señor 2723248  ..
5. Dimopoulos, Hercules G. (2011). Filtros electrónicos analógicos: teoría, diseño y síntesis. Springer. pp. 147–155. ISBN 978-94-007-2189-0.
6. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.páginas 35, 40
7. Schneider, Theodor (1941). "Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 183 (19): 110-128. doi :10.1515/crll.1941.183.110. S2CID  118624331.
8. Todd, John (1975). "Las constantes de lemniscata". Comunicaciones de la ACM . 18 (1): 14–19. doi : 10.1145/360569.360580 . S2CID  85873.
9. GV Choodnovsky: Independencia algebraica de las constantes relacionadas con las funciones de análisis , Avisos de la AMS 22, 1975, pág. A-486
10. GV Chudnovsky: Contribuciones a la teoría de los números trascendentales , American Mathematical Society, 1984, pág. 6
11. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pág. 45
12. Newman, DJ (1985). "Una versión simplificada de los algoritmos rápidos de Brent y Salamin". Matemáticas de la computación . 44 (169): 207–210. doi :10.2307/2007804. JSTOR  2007804.
13. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 17". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. págs. 598–599. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
14. King, Louis V. (1924). Sobre el cálculo numérico directo de funciones elípticas e integrales. Cambridge University Press.
15. Salamin, Eugene (1976). "Cálculo de π utilizando la media aritmético-geométrica". Matemáticas de la computación . 30 (135): 565–570. doi :10.2307/2005327. JSTOR  2005327. MR  0404124.
16. Landen, John (1775). "Una investigación de un teorema general para hallar la longitud de cualquier arco de cualquier hipérbola cónica, por medio de dos arcos elípticos, con algunos otros teoremas nuevos y útiles deducidos de allí". Philosophical Transactions of the Royal Society . 65 : 283–289. doi :10.1098/rstl.1775.0028. S2CID  186208828.
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18. Borwein, Jonathan M. ; Borwein, Peter B. (1987). Pi y la Asamblea General Anual . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-83138-7.Sr. 0877728  .

Fuentes

• Daróczy, Zoltán; Pales, Zsolt (2002). "Composición de medios de Gauss y solución del problema de Matkowski-Suto". Publicaciones Mathematicae Debrecen . 61 (1–2): 157–218. doi :10.5486/PMD.2002.2713.
• "Proceso de media aritmético-geométrica". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Media aritmética-geométrica". MathWorld .