Invariante perfecto de dígito a dígito

Número de Munchausen

En teoría de números , un invariante perfecto dígito a dígito ( PDDI ; también conocido como número de Munchausen ^[1] ) es un número natural en una base numérica dada que es igual a la suma de sus dígitos, cada uno elevado a su propia potencia. Un ejemplo en base 10 es 3435, porque . El término "número de Munchausen" fue acuñado por el matemático e ingeniero de software holandés Daan van Berkel en 2009, ^[2] ya que evoca la historia del barón Munchausen levantándose de su propia cola de caballo porque cada dígito se eleva a su propia potencia. ^{[3] [4]} ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 3435=3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}}$

Definición

Sea un número natural que se puede escribir en base como el número de k dígitos donde cada dígito está entre y inclusive, y . Definimos la función como . (Como 0 normalmente no está definido, normalmente se utilizan dos convenciones, una donde se toma como igual a uno y otra donde se toma como igual a cero. ^{[5] [6]} ) Un número natural se define como un invariante perfecto de dígito a dígito en base b si . Por ejemplo, el número 3435 es un invariante perfecto de dígito a dígito en base 10 porque . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle d_{k-1}d_{k-2}...d_{1}d_{0}}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{d_{i}}^{d_{i}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$ ${\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=27+256+27+3125=3435}$

${\displaystyle F_{b}(1)=1}$para todos , y por lo tanto 1 es un invariante dígito a dígito perfecto trivial en todas las bases, y todos los demás invariantes dígito a dígito perfectos no triviales son . Para la segunda convención donde , tanto como son invariantes dígito a dígito perfectos triviales. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0^{0}=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Un número natural es un invariante sociable de dígito a dígito si es un punto periódico para , donde para un entero positivo , y forma un ciclo de período . Un invariante perfecto de dígito a dígito es un invariante sociable de dígito a dígito con . Un invariante amistoso de dígito a dígito es un invariante sociable de dígito a dígito con . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle F_{b}^{k}(n)=n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=2}$

Todos los números naturales son puntos preperiódicos para , independientemente de la base. Esto se debe a que todos los números naturales de base con dígitos satisfacen . Sin embargo, cuando , entonces , por lo que cualquier satisfará hasta . Hay un número finito de números naturales menores que , por lo que se garantiza que el número alcance un punto periódico o un punto fijo menor que , lo que lo convierte en un punto preperiódico. Esto también significa que hay un número finito de invariantes dígito a dígito y ciclos perfectos para cualquier base dada . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (k){(b-1)}^{b-1}}$ ${\displaystyle k\geq b+1}$ ${\displaystyle b^{k-1}>(k){(b-1)}^{b-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>F_{b}(n)}$ ${\displaystyle n<b^{b+1}}$ ${\displaystyle b^{b+1}}$ ${\displaystyle b^{b+1}}$ ${\displaystyle b}$

El número de iteraciones necesarias para alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función -factorión de , y es indefinido si nunca alcanza un punto fijo. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$

Invariantes dígito a dígito perfectos y ciclos de Fbpara b específico

Todos los números están representados en base . ${\displaystyle b}$

Convención 00= 1

Convención 00= 0

Ejemplos de programación

El siguiente programa en Python determina si un número entero es un número de Munchausen / invariante perfecto de dígito a dígito o no, siguiendo la convención . ${\displaystyle 0^{0}=1}$

num  =  int ( input ( "Ingrese el número:" )) temp  =  num s  =  0.0 while  num  >  0 :  digit  =  num  %  10  num  //=  10  s +=  pow ( digit ,  digit ) si  s  ==  temp :  print ( "Número de Munchausen" ) de lo contrario :  print ( "No es Número de Munchausen" )

Los ejemplos a continuación implementan la función invariante perfecta de dígito a dígito descrita en la definición anterior para buscar invariantes y ciclos perfectos de dígito a dígito en Python para las dos convenciones.

Convención 00= 1

def  pddif ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  total  =  0  mientras  x  >  0 :  total  =  total  +  pow ( x  %  b ,  x  %  b )  x  =  x  //  b  devuelve  totaldef  pddif_cycle ( x :  int ,  b :  int )  - >  lista [ int ]:  visto  =  []  mientras  x  no  está en  visto :  visto.append ( x ) x = pddif ( x , b ) ciclo = [ ] mientras x no está en ciclo : ciclo.append ( x ) x = pddif ( x , b ) devolver ciclo                   

Convención 00= 0

def  pddif ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  total  =  0  mientras  x  >  0 :  si  x  %  b  >  0 :  total  =  total  +  pow ( x  %  b ,  x  %  b )  x  =  x  //  b  devuelve  totaldef  pddif_cycle ( x :  int ,  b :  int )  - >  lista [ int ]:  visto  =  []  mientras  x  no  está en  visto :  visto.append ( x ) x = pddif ( x , b ) ciclo = [ ] mientras x no está en ciclo : ciclo.append ( x ) x = pddif ( x , b ) devolver ciclo                   

Véase también

• Dinámica aritmética
• Número de Dudeney
• Factorión
• Número feliz
• La constante de Kaprekar
• Número de Kaprekar
• Número de Meertens
• Número narcisista
• Invariante digital perfecto
• Número suma-producto

Referencias

1. van Berkel, Daan (2009). "Sobre una curiosa propiedad de 3435". arXiv : 0911.3038 [math.HO].
2. Olry, Regis y Duane E. Haines. "Raíces históricas y literarias de los síndromes de Münchhausen", de Literatura, neurología y neurociencia: trastornos neurológicos y psiquiátricos, Stanley Finger, Francois Boller, Anne Stiles, eds. Elsevier, 2013. p.136.
3. Daan van Berkel, En una curiosa propiedad de 3435.
4. Parker, Matt (2014). Cosas para crear y hacer en la cuarta dimensión. Penguin UK. pág. 28. ISBN 9781846147654. Recuperado el 2 de mayo de 2015 .
5. Número narcisista, Harvey Heinz
6. Wells, David (1997). Diccionario Penguin de números curiosos e interesantes . Londres: Penguin. pág. 185. ISBN 0-14-026149-4.

Enlaces externos

• Parker, Matt. "3435". Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 13 de abril de 2017 . Consultado el 1 de abril de 2013 .