En matemáticas , la deconvolución es la inversa de la convolución . Ambas operaciones se utilizan en el procesamiento de señales y el procesamiento de imágenes . Por ejemplo, es posible recuperar la señal original después de un filtro (convolución) utilizando un método de deconvolución con cierto grado de precisión. [1] Debido al error de medición de la señal o imagen grabada, se puede demostrar que cuanto peor sea la relación señal-ruido (SNR), peor será la inversión de un filtro; por lo tanto, invertir un filtro no siempre es una buena solución ya que el error se amplifica. La deconvolución ofrece una solución a este problema.
Norbert Wiener , del Instituto Tecnológico de Massachusetts, sentó en gran medida las bases para la deconvolución y el análisis de series temporales en su libro Extrapolación, interpolación y suavizado de series temporales estacionarias (1949). [2] El libro se basó en el trabajo que Wiener había realizado durante la Segunda Guerra Mundial , pero que había sido clasificado en ese momento. Algunos de los primeros intentos de aplicar estas teorías se produjeron en los campos de la previsión meteorológica y la economía .
En general, el objetivo de la deconvolución es encontrar la solución f de una ecuación de convolución de la forma:
Por lo general, h es alguna señal grabada y f es alguna señal que deseamos recuperar, pero que ha sido convolucionada con una función de filtro o distorsión g , antes de grabarla. Por lo general, h es una versión distorsionada de f y la forma de f no puede ser fácilmente reconocida por el ojo ni por operaciones más simples en el dominio del tiempo. La función g representa la respuesta al impulso de un instrumento o una fuerza impulsora que se aplicó a un sistema físico. Si conocemos g , o al menos conocemos la forma de g , entonces podemos realizar una deconvolución determinista. Sin embargo, si no conocemos g de antemano, entonces debemos estimarlo. Esto se puede hacer utilizando métodos de estimación estadística o construyendo los principios físicos del sistema subyacente, como las ecuaciones del circuito eléctrico o las ecuaciones de difusión.
Existen varias técnicas de deconvolución, según la elección del error de medición y los parámetros de deconvolución:
Cuando el error de medición es muy bajo (caso ideal), la deconvolución colapsa en un filtro invertido. Este tipo de deconvolución se puede realizar en el dominio de Laplace. Al calcular la transformada de Fourier de la señal registrada h y la función de respuesta del sistema g , se obtienen H y G , con G como función de transferencia . Usando el teorema de convolución ,
donde F es la transformada de Fourier estimada de f . Finalmente, se toma la transformada inversa de Fourier de la función F para encontrar la señal deconvolucionada estimada f . Tenga en cuenta que G está en el denominador y podría amplificar elementos del modelo de error, si estuvieran presentes.
En mediciones físicas, la situación suele estar más cerca de
En este caso ε es ruido que ha entrado en nuestra señal grabada. Si se supone que una señal o imagen ruidosa no tiene ruido, la estimación estadística de g será incorrecta. A su vez, la estimación de ƒ también será incorrecta. Cuanto menor sea la relación señal-ruido , peor será la estimación de la señal desconvolucionada. Esa es la razón por la que el filtrado inverso de la señal (como en la "deconvolución bruta" anterior) no suele ser una buena solución. Sin embargo, si existe al menos algún conocimiento sobre el tipo de ruido en los datos (por ejemplo, ruido blanco ), la estimación de ƒ se puede mejorar mediante técnicas como la deconvolución de Wiener .
El concepto de deconvolución tuvo una aplicación temprana en la sismología de reflexión . En 1950, Enders Robinson era un estudiante de posgrado en el MIT . Trabajó con otros en el MIT, como Norbert Wiener , Norman Levinson y el economista Paul Samuelson , para desarrollar el "modelo convolucional" de un sismograma de reflexión . Este modelo supone que el sismograma registrado s ( t ) es la convolución de una función de reflectividad de la Tierra e ( t ) y una ondícula sísmica w ( t ) de una fuente puntual , donde t representa el tiempo de registro. Por tanto, nuestra ecuación de convolución es
El sismólogo está interesado en e , que contiene información sobre la estructura de la Tierra. Según el teorema de convolución , esta ecuación puede transformarse de Fourier a
en el dominio de la frecuencia , donde es la variable frecuencia. Al suponer que la reflectividad es blanca, podemos suponer que el espectro de potencia de la reflectividad es constante y que el espectro de potencia del sismograma es el espectro de la wavelet multiplicado por esa constante. De este modo,
Si asumimos que la wavelet es de fase mínima , podemos recuperarla calculando la fase mínima equivalente del espectro de potencia que acabamos de encontrar. La reflectividad se puede recuperar diseñando y aplicando un filtro de Wiener que dé forma a la wavelet estimada en una función delta de Dirac (es decir, un pico). El resultado puede verse como una serie de funciones delta desplazadas y escaladas (aunque esto no es matemáticamente riguroso):
donde N es el número de eventos de reflexión, son los coeficientes de reflexión , son los tiempos de reflexión de cada evento y es la función delta de Dirac .
En la práctica, dado que estamos tratando con conjuntos de datos ruidosos, de ancho de banda finito , de longitud finita y muestreados discretamente , el procedimiento anterior solo produce una aproximación del filtro requerido para desconvolucionar los datos. Sin embargo, al formular el problema como la solución de una matriz de Toeplitz y utilizar la recursión de Levinson , podemos estimar relativamente rápidamente un filtro con el error cuadrático medio más pequeño posible. También podemos hacer una deconvolución directamente en el dominio de la frecuencia y obtener resultados similares. La técnica está estrechamente relacionada con la predicción lineal .
En óptica e imágenes, el término "deconvolución" se utiliza específicamente para referirse al proceso de revertir la distorsión óptica que tiene lugar en un microscopio óptico , microscopio electrónico , telescopio u otro instrumento de imágenes, creando así imágenes más claras. Generalmente se realiza en el dominio digital mediante un algoritmo de software , como parte de un conjunto de técnicas de procesamiento de imágenes microscópicas . La deconvolución también es práctica para enfocar imágenes que sufren movimientos rápidos o sacudidas durante la captura. Las primeras imágenes del Telescopio Espacial Hubble estaban distorsionadas por un espejo defectuoso y se agudizaban mediante deconvolución.
El método habitual es suponer que la trayectoria óptica a través del instrumento es ópticamente perfecta, convolucionada con una función de dispersión puntual (PSF), es decir, una función matemática que describe la distorsión en términos de la trayectoria de una fuente puntual teórica de luz (o otras ondas) atraviesa el instrumento. [3] Por lo general, una fuente puntual de este tipo aporta una pequeña área de borrosidad a la imagen final. Si se puede determinar esta función, entonces es cuestión de calcular su función inversa o complementaria y convolucionar la imagen adquirida con ella. El resultado es la imagen original y sin distorsiones.
En la práctica, encontrar el verdadero PSF es imposible y normalmente se utiliza una aproximación, calculada teóricamente [4] o basada en alguna estimación experimental mediante el uso de sondas conocidas. La óptica real también puede tener diferentes PSF en diferentes ubicaciones focales y espaciales, y el PSF puede ser no lineal. La precisión de la aproximación del PSF dictará el resultado final. Se pueden emplear diferentes algoritmos para obtener mejores resultados, al precio de ser más intensivos desde el punto de vista computacional. Dado que la convolución original descarta datos, algunos algoritmos utilizan datos adicionales adquiridos en puntos focales cercanos para recuperar parte de la información perdida. La regularización en algoritmos iterativos (como en los algoritmos de maximización de expectativas ) se puede aplicar para evitar soluciones poco realistas.
Cuando se desconoce el PSF, es posible deducirlo probando sistemáticamente diferentes PSF posibles y evaluando si la imagen ha mejorado. Este procedimiento se llama deconvolución ciega . [3] La deconvolución ciega es una técnica de restauración de imágenes bien establecida en astronomía , donde la naturaleza puntual de los objetos fotografiados expone el PSF, haciéndolo más factible. También se utiliza en microscopía de fluorescencia para la restauración de imágenes y en imágenes espectrales de fluorescencia para la separación espectral de múltiples fluoróforos desconocidos . El algoritmo iterativo más común para este propósito es el algoritmo de deconvolución de Richardson-Lucy ; La deconvolución de Wiener (y las aproximaciones) son los algoritmos no iterativos más comunes.
Para algunos sistemas de imágenes específicos, como los sistemas de terahercios pulsados por láser, el PSF se puede modelar matemáticamente. [6] Como resultado, como se muestra en la figura, la deconvolución del PSF modelado y la imagen de terahercios puede dar una representación de mayor resolución de la imagen de terahercios.
Al realizar la síntesis de imágenes en radiointerferometría , un tipo específico de radioastronomía , un paso consiste en desconvolucionar la imagen producida con el "haz sucio", que es un nombre diferente para la función de dispersión de puntos . Un método comúnmente utilizado es el algoritmo CLEAN .
El uso típico de la deconvolución es en la cinética de trazadores. Por ejemplo, cuando se mide la concentración de una hormona en la sangre, se puede estimar su tasa de secreción mediante deconvolución. Otro ejemplo es la estimación de la concentración de glucosa en sangre a partir de la glucosa intersticial medida, que es una versión distorsionada en tiempo y amplitud de la glucosa en sangre real. [7]
La deconvolución se ha aplicado ampliamente a los espectros de absorción . [8] Se puede utilizar el algoritmo de Van Cittert (artículo en alemán). [9]
"Mapas de deconvolución a división en el codominio de Fourier ". Esto permite aplicar fácilmente la deconvolución con datos experimentales sujetos a una transformada de Fourier . Un ejemplo es la espectroscopia de RMN , donde los datos se registran en el dominio del tiempo, pero se analizan en el dominio de la frecuencia. La división de los datos en el dominio del tiempo por una función exponencial tiene el efecto de reducir el ancho de las líneas de Lorentz en el dominio de la frecuencia.
