[1] Swift estudió arte dramático en la Guildford School of Acting de 1978 a 1981 y trabajó casi exclusivamente en teatro durante la década de 1980, colaborando con compañías como la Kick Theatre de Deborah Warner y el grupo de comedia artística The People Show.
Durante este periodo también apareció en numerosos anuncios de televisión.
En la década de 1990 actuó en el National Theatre junto a David Tennant y Richard Wilson en la producción de Phyllida Lloyd What the Butler Saw.
También apareció en seriados como Vanity Fair (1998), Foyle's War (2013-2015), Downton Abbey (2013-2015), The Durrells (2016) y National Treasure (2016).
[3] En 2024 interpretó un papel de voz en el filme animado 10 Lives.