familia indexada

Colección de objetos, cada uno asociado con un elemento de algún conjunto de índices.

En matemáticas , una familia , o familia indexada , es informalmente una colección de objetos, cada uno asociado con un índice de algún conjunto de índices . Por ejemplo, una familia de números reales , indexada por el conjunto de números enteros , es una colección de números reales, donde una función dada selecciona un número real para cada número entero (posiblemente el mismo) como indexación.

Más formalmente, una familia indexada es una función matemática junto con su dominio e imagen (es decir, las familias indexadas y las funciones matemáticas son técnicamente idénticas, solo que los puntos de vista son diferentes). A menudo se hace referencia a los elementos del conjunto como que componen la familia. Desde esta visión, las familias indexadas se interpretan como colecciones de elementos indexados en lugar de funciones. El conjunto se denomina conjunto índice de la familia y es el conjunto indexado . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$

Las secuencias son un tipo de familias indexadas por números naturales . En general, el conjunto de índices no está restringido a ser contable . Por ejemplo, se podría considerar una familia incontable de subconjuntos de números naturales indexados por los números reales. ${\displaystyle I}$

Definicion formal

Sean y conjuntos y una función tal que ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f~:~&I\to X\\&i\mapsto x_{i}=f(i),\end{aligned}}}$$

familia de elementos en indexado por ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f(3)}$ ${\displaystyle x_{3}.}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)}$

Las funciones y las familias indexadas son formalmente equivalentes, ya que cualquier función con un dominio induce una familia y viceversa. Ser elemento de una familia equivale a estar en el rango de la función correspondiente. En la práctica, sin embargo, la familia se considera una colección más que una función. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (f(i))_{i\in I}}$

Cualquier conjunto da lugar a una familia donde está indexada por sí misma (lo que significa que es la función de identidad). Sin embargo, las familias se diferencian de los conjuntos en que el mismo objeto puede aparecer varias veces con diferentes índices en una familia, mientras que un conjunto es una colección de objetos distintos. Una familia contiene cualquier elemento exactamente una vez si y sólo si la función correspondiente es inyectiva . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{x}\right)_{x\in X},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Una familia indexada define un conjunto , es decir, la imagen de under . Dado que no es necesario que el mapeo sea inyectivo , puede existir tal que Por lo tanto , donde denota la cardinalidad del conjunto. Por ejemplo, la secuencia indexada por los números naturales tiene conjunto de imágenes Además, el conjunto no contiene información sobre ninguna estructura. Por lo tanto, al utilizar un conjunto en lugar de la familia, se podría perder parte de la información. Por ejemplo, un orden en el conjunto de índices de una familia induce un orden en la familia, pero no un orden en el conjunto de imágenes correspondiente. ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}.}$ ${\displaystyle |{\mathcal {X}}|\leq |I|}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \left((-1)^{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$ ${\displaystyle \left\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\{-1,1\}.}$ ${\displaystyle \{x_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle I.}$

Subfamilia indexada

Una familia indexada es una subfamilia de una familia indexada si y sólo si es un subconjunto de y es válido para todos ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i\in J}}$ ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B_{i}=A_{i}}$ ${\displaystyle i\in J.}$

Ejemplos

Vectores indexados

Por ejemplo, considere la siguiente oración:

Los vectores son linealmente independientes . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

Aquí denota una familia de vectores. El -ésimo vector sólo tiene sentido con respecto a esta familia, ya que los conjuntos están desordenados, por lo que no existe un -ésimo vector de un conjunto. Además, la independencia lineal se define como una propiedad de una colección; por lo tanto, es importante si esos vectores son linealmente independientes como conjunto o como familia. Por ejemplo, si consideramos y como el mismo vector, entonces el conjunto de ellos consta de un solo elemento (ya que un conjunto es una colección de elementos distintos desordenados) y es linealmente independiente, pero la familia contiene el mismo elemento dos veces (ya que indexado de manera diferente) y es linealmente dependiente (los mismos vectores son linealmente dependientes). ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i\in \{1,\ldots ,n\}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle v_{1}=v_{2}=(1,0)}$

matrices

Supongamos que un texto dice lo siguiente:

Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si las filas de son linealmente independientes. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Como en el ejemplo anterior, es importante que las filas de sean linealmente independientes como familia, no como conjunto. Por ejemplo, considere la matriz ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.}$$

conjuntodeterminantefamiliaconjunto múltiple ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$

Otros ejemplos

Sea el conjunto finito donde es un número entero positivo . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots n\},}$ ${\displaystyle n}$

• Un par ordenado (2- tupla ) es una familia indexada por el conjunto de dos elementos, cada elemento del par ordenado está indexado por cada elemento del conjunto. ${\displaystyle \mathbf {2} =\{1,2\};}$ ${\displaystyle \mathbf {2} .}$
• Una tupla es una familia indexada por el conjunto. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {n} .}$
• Una secuencia infinita es una familia indexada por los números naturales .
• Una lista es una tupla para una secuencia infinita o no especificada. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n,}$
• Una matriz es una familia indexada por el producto cartesiano cuyos elementos son pares ordenados; por ejemplo, indexar el elemento de la matriz en la segunda fila y la quinta columna. ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {m} }$ ${\displaystyle (2,5)}$
• Una red es una familia indexada por un conjunto dirigido .

Operaciones sobre familias indexadas

Los conjuntos de índices se utilizan a menudo en sumas y otras operaciones similares. Por ejemplo, si es una familia indexada de números, la suma de todos esos números se denota por ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}.}$$

Cuando es una familia de conjuntos , la unión de todos esos conjuntos se denota por ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$

$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}.}$$

Lo mismo ocurre con las intersecciones y los productos cartesianos .

Uso en teoría de categorías

El concepto análogo en la teoría de categorías se llama diagrama . Un diagrama es un functor que da lugar a una familia indexada de objetos en una categoría C , indexados por otra categoría J , y relacionados por morfismos que dependen de dos índices.

Ver también

• Tipo de datos de matriz  : tipo de datos que representa una colección ordenada de elementos (valores o variables)Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Coproducto  – Construcción teórica de categorías
• Diagrama (teoría de categorías)  : colección indexada de objetos y morfismos en una categoría
• Unión disjunta  - En matemáticas, operación en conjuntos
• Familia de conjuntos  : cualquier colección de conjuntos o subconjuntos de un conjunto.
• Notación de índice  : forma de referirse a elementos de matrices o tensores
• Net (matemáticas)  : una generalización de una secuencia de puntos.
• Familia paramétrica  : familia de objetos cuyas definiciones dependen de un conjunto de parámetros.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Secuencia  : lista ordenada de elementos finita o infinita
• Unión etiquetada  : estructura de datos utilizada para contener un valor que podría adoptar varios tipos diferentes, pero fijos.

Referencias

• Sociedad Matemática de Japón , Diccionario Enciclopédico de Matemáticas , 2.ª edición, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Citado como EDM (volumen).