Razón de probabilidades

Estadística que cuantifica la asociación entre dos eventos.

Un odds ratio ( OR ) es una estadística que cuantifica la fuerza de la asociación entre dos eventos, A y B. El odds ratio se define como la relación entre las probabilidades de A en presencia de B y las probabilidades de A en ausencia. de B, o de manera equivalente (debido a la simetría), la relación entre las probabilidades de B en presencia de A y las probabilidades de B en ausencia de A. Dos eventos son independientes si y sólo si la OR es igual a 1, es decir, la Las probabilidades de un evento son las mismas en presencia o ausencia del otro evento. Si el OR es mayor que 1, entonces A y B están asociados (correlacionados) en el sentido de que, en comparación con la ausencia de B, la presencia de B aumenta las probabilidades de A, y simétricamente la presencia de A aumenta las probabilidades de B. Por el contrario, si el OR es menor que 1, entonces A y B están correlacionados negativamente y la presencia de un evento reduce las probabilidades de que ocurra el otro.

Tenga en cuenta que el odds ratio es simétrico en los dos eventos y no implica una dirección causal ( la correlación no implica causalidad ): un OR mayor que 1 no establece que B causa A, o que A causa B. ^[1]

Dos estadísticas similares que se utilizan a menudo para cuantificar asociaciones son el riesgo relativo (RR) y la reducción del riesgo absoluto (ARR). A menudo, el parámetro de mayor interés es en realidad el RR, que es la relación de probabilidades análoga a las cuotas utilizadas en el OR. Sin embargo, los datos disponibles con frecuencia no permiten calcular el RR o el ARR, pero sí permiten el cálculo del OR, como en los estudios de casos y controles , como se explica a continuación. Por otro lado, si una de las propiedades (A o B) es suficientemente rara (en epidemiología esto se denomina supuesto de enfermedad rara ), entonces el OR es aproximadamente igual al RR correspondiente.

El quirófano juega un papel importante en el modelo logístico .

Definición y propiedades básicas.

La intuición a partir de un ejemplo para los profanos.

Si lanzamos una moneda imparcial, la probabilidad de obtener cara y la probabilidad de obtener cruz son iguales: ambas son del 50%. Imaginemos que obtenemos una moneda sesgada que hace que tenga dos veces más probabilidades de obtener cara. Pero, ¿qué significa "el doble de probable" en términos de probabilidad? Literalmente no puede significar duplicar el valor de probabilidad, porque el 50% se convierte en 100%. Más bien, son las probabilidades las que se están duplicando: de probabilidades de 1:1 a probabilidades de 2:1.

Un ejemplo motivador, en el contexto del supuesto de enfermedad rara

Supongamos que una fuga de radiación en una aldea de 1.000 habitantes aumentara la incidencia de una enfermedad rara. El número total de personas expuestas a la radiación fue de las que desarrollaron la enfermedad y se mantuvieron saludables. El número total de personas no expuestas fue el de las que desarrollaron la enfermedad y se mantuvieron saludables. Podemos organizar esto en una tabla de contingencia : ${\displaystyle V_{E}=400,}$ ${\displaystyle D_{E}=20}$ ${\displaystyle H_{E}=380}$ ${\displaystyle V_{N}=600,}$ ${\displaystyle D_{N}=6}$ ${\displaystyle H_{N}=594}$

${\displaystyle {\begin{array}{|r|cc|}\hline &{\text{ Diseased }}&{\text{ Healthy }}\\\hline {\text{ Exposed }}&20&380\\{\text{ Not exposed }}&6&594\\\hline \end{array}}}$

El riesgo de desarrollar la enfermedad dada la exposición es y de desarrollar la enfermedad si no se expone es . Una forma obvia de comparar los riesgos es utilizar la relación entre ambos, el riesgo relativo . ${\displaystyle D_{E}/V_{E}=20/400=.05}$ ${\displaystyle D_{N}/V_{N}=6/600=.01}$

${\displaystyle {\text{Relative risk}}={\frac {D_{E}/(D_{E}+H_{E})}{D_{N}/(D_{N}+H_{N})}}={\frac {D_{E}/V_{E}}{D_{N}/V_{N}}}={\frac {20/400}{6/600}}={\frac {.05}{.01}}=5\,.}$

La razón de probabilidades es diferente. Las probabilidades de contraer la enfermedad si se expone son y las probabilidades si no se expone es La razón de probabilidades es la relación de los dos, ${\displaystyle D_{E}/H_{E}=20/380\approx .053,}$ ${\displaystyle D_{N}/H_{N}=6/594\approx .010\,.}$

${\displaystyle {\text{Odds ratio}}={\frac {D_{E}/H_{E}}{D_{N}/H_{N}}}={\frac {20/380}{6/594}}\approx {\frac {.053}{.010}}=5.3\,.}$

Como lo ilustra este ejemplo, en un caso de enfermedad rara como este, el riesgo relativo y el odds ratio son casi los mismos. Por definición, enfermedad rara implica que y . Por tanto, los denominadores del riesgo relativo y del odds ratio son casi los mismos ( y . ${\displaystyle V_{E}\approx H_{E}}$ ${\displaystyle V_{N}\approx H_{N}}$ ${\displaystyle 400\approx 380}$ ${\displaystyle 600\approx 594)}$

El riesgo relativo es más fácil de entender que el odds ratio, pero una razón para utilizar el odds ratio es que, por lo general, no se dispone de datos sobre toda la población y se debe utilizar un muestreo aleatorio . En el ejemplo anterior, si fuera muy costoso entrevistar a los aldeanos y averiguar si estuvieron expuestos a la radiación, entonces no se conocería la prevalencia de la exposición a la radiación, ni tampoco los valores de o . Se podría tomar una muestra aleatoria de cincuenta aldeanos, pero muy posiblemente esa muestra aleatoria no incluiría a nadie con la enfermedad, ya que sólo el 2,6% de la población está enferma. En su lugar, se podría utilizar un estudio de casos y controles ^[2] en el que se entreviste a los 26 aldeanos enfermos, así como a una muestra aleatoria de 26 que no padecen la enfermedad. Los resultados podrían ser los siguientes ("podría", porque se trata de una muestra aleatoria): ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle V_{N}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|r|cc|}\hline &{\text{ Diseased }}&{\text{ Healthy }}\\\hline {\text{ Exposed }}&20&10\\{\text{ Not exposed }}&6&16\\\hline \end{array}}}$

Las probabilidades en esta muestra de contraer la enfermedad, dado que alguien está expuesto, son 20/10 y las probabilidades, dado que alguien no está expuesto, son 6/16. La razón de probabilidades es, por tanto , . El riesgo relativo, sin embargo, no se puede calcular, porque es la proporción de los riesgos de contraer la enfermedad y necesitaríamos calcularlos . Debido a que el estudio seleccionó personas con la enfermedad, la mitad de las personas de la muestra tienen la enfermedad y se sabe que eso es más que la prevalencia en toda la población. ${\displaystyle {\frac {20/10}{6/16}}\approx 5.3}$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle V_{N}}$

Es estándar en la literatura médica calcular el odds ratio y luego utilizar el supuesto de enfermedad rara (que suele ser razonable) para afirmar que el riesgo relativo es aproximadamente igual. Esto no solo permite el uso de estudios de casos y controles, sino que facilita el control de variables de confusión como el peso o la edad mediante el análisis de regresión y tiene las propiedades deseables analizadas en otras secciones de este artículo de invariancia e insensibilidad al tipo de muestreo. ^[3]

Definición en términos de probabilidades de grupo

La razón de probabilidades es la relación entre las probabilidades de que un evento ocurra en un grupo y las probabilidades de que ocurra en otro grupo. El término también se utiliza para referirse a estimaciones de esta relación basadas en muestras. Estos grupos pueden ser hombres y mujeres, un grupo experimental y un grupo de control , o cualquier otra clasificación dicotómica . Si las probabilidades del evento en cada uno de los grupos son p ₁ (primer grupo) y p ₂ (segundo grupo), entonces la razón de probabilidades es:

${\displaystyle OR={\frac {p_{1}/(1-p_{1})}{p_{2}/(1-p_{2})}}={\frac {p_{1}/q_{1}}{p_{2}/q_{2}}}={\frac {\;p_{1}q_{2}\;}{\;p_{2}q_{1}\;}},}$

donde q _x  = 1 −  p _x . Un odds ratio de 1 indica que la condición o evento bajo estudio tiene la misma probabilidad de ocurrir en ambos grupos. Un odds ratio mayor que 1 indica que es más probable que la condición o evento ocurra en el primer grupo. Y un odds ratio menor que 1 indica que es menos probable que la condición o evento ocurra en el primer grupo. El odds ratio debe ser no negativo si está definido. No está definido si p ₂ q ₁ es igual a cero, es decir, si p ₂ es igual a cero o q ₁ es igual a cero.

Definición en términos de probabilidades conjuntas y condicionales.

El odds ratio también se puede definir en términos de la distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias binarias . La distribución conjunta de variables aleatorias binarias X e Y se puede escribir

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&p_{11}&p_{10}\\X=0&p_{01}&p_{00}\end{array}}}$

donde p ₁₁ , p ₁₀ , p ₀₁ y p ₀₀ son "probabilidades de celda" no negativas que suman uno. Las probabilidades de Y dentro de las dos subpoblaciones definidas por X = 1 y X = 0 se definen en términos de las probabilidades condicionales dadas X , es decir , P ( Y  | X ) :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {p_{11}}{p_{11}+p_{10}}}&{\frac {p_{10}}{p_{11}+p_{10}}}\\X=0&{\frac {p_{01}}{p_{01}+p_{00}}}&{\frac {p_{00}}{p_{01}+p_{00}}}\end{array}}}$

Por lo tanto, la razón de posibilidades es

${\displaystyle OR={\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{10})}{p_{10}/(p_{11}+p_{10})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{01}/(p_{01}+p_{00})}{p_{00}/(p_{01}+p_{00})}}={\frac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}}$

La expresión simple de la derecha, arriba, es fácil de recordar como el producto de las probabilidades de las "células concordantes" ( X  =  Y ) dividido por el producto de las probabilidades de las "células discordantes" ( X  ≠  Y ) . Sin embargo, en algunas aplicaciones, el etiquetado de categorías como cero y uno es arbitrario, por lo que no hay nada especial entre valores concordantes y discordantes en estas aplicaciones.

Simetría

Si hubiéramos calculado el odds ratio con base en las probabilidades condicionales dadas Y ,

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {p_{11}}{p_{11}+p_{01}}}&{\frac {p_{10}}{p_{10}+p_{00}}}\\X=0&{\frac {p_{01}}{p_{11}+p_{01}}}&{\frac {p_{00}}{p_{10}+p_{00}}}\end{array}}}$

hubiésemos obtenido el mismo resultado

${\displaystyle {\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{01})}{p_{01}/(p_{11}+p_{01})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{10}/(p_{10}+p_{00})}{p_{00}/(p_{10}+p_{00})}}={\dfrac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}.}$

Otras medidas del tamaño del efecto para datos binarios , como el riesgo relativo, no tienen esta propiedad de simetría.

Relación con la independencia estadística

Si X e Y son independientes, sus probabilidades conjuntas se pueden expresar en términos de sus probabilidades marginales p _x  =  P ( X  = 1) y p _y  =  P ( Y  = 1) , de la siguiente manera

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&p_{x}p_{y}&p_{x}(1-p_{y})\\X=0&(1-p_{x})p_{y}&(1-p_{x})(1-p_{y})\end{array}}}$

En este caso, el odds ratio es igual a uno y, a la inversa, el odds ratio sólo puede ser igual a uno si las probabilidades conjuntas se pueden factorizar de esta manera. Por tanto, la razón de posibilidades es igual a uno si y sólo si X e Y son independientes .

Recuperando las probabilidades de celda a partir del odds ratio y las probabilidades marginales

La razón de probabilidades es una función de las probabilidades de celda y, a la inversa, las probabilidades de celda se pueden recuperar si se conoce la razón de probabilidades y las probabilidades marginales P ( X  = 1) =  p ₁₁  +  p ₁₀ y P ( Y  = 1) =  pág ₁₁  +  pág ₀₁ . Si el odds ratio R difiere de 1, entonces

${\displaystyle p_{11}={\frac {1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1)-S}{2(R-1)}}}$

donde p _{1 •}  =  p ₁₁  +  p ₁₀ ,   p _{• 1}  =  p ₁₁  +  p ₀₁ , y

${\displaystyle S={\sqrt {(1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1))^{2}+4R(1-R)p_{1\cdot }p_{\cdot 1}}}.}$

En el caso en que R  = 1 , tenemos independencia, entonces p ₁₁  =  p _1• p _•1 .

Una vez que tenemos p ₁₁ , las otras tres probabilidades de celda se pueden recuperar fácilmente a partir de las probabilidades marginales.

Ejemplo

Un gráfico que muestra cómo el log odds ratio se relaciona con las probabilidades subyacentes de que el resultado X ocurra en dos grupos , denominados A y B. El índice de probabilidades logarítmicas que se muestra aquí se basa en las probabilidades de que el evento ocurra en el grupo B en relación con las probabilidades de que el evento ocurra en el grupo A. Por lo tanto, cuando la probabilidad de que X ocurra en el grupo B es mayor que la probabilidad de que X ocurra en el grupo A , la razón de probabilidades es mayor que 1 y la razón de probabilidades logarítmica es mayor que 0.

Supongamos que en una muestra de 100 hombres, 90 bebieron vino la semana anterior (por lo que 10 no lo hicieron), mientras que en una muestra de 80 mujeres sólo 20 bebieron vino en el mismo período (por lo que 60 no lo hicieron). Esto forma la tabla de contingencia:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&M=1&M=0\\\hline D=1&90&20\\D=0&10&60\end{array}}}$

El odds ratio (OR) se puede calcular directamente a partir de esta tabla como:

${\displaystyle {OR}={\frac {\;90\times 60\;}{\;10\times 20\;}}=27}$

Alternativamente, las probabilidades de que un hombre beba vino son de 90 a 10, o 9:1, mientras que las probabilidades de que una mujer beba vino son sólo de 20 a 60, o 1:3 = 0,33. La razón de probabilidades es, por tanto, 9/0,33, o 27, lo que muestra que es mucho más probable que los hombres beban vino que las mujeres. El cálculo detallado es:

${\displaystyle {0.9/0.1 \over 0.2/0.6}={\frac {\;0.9\times 0.6\;}{\;0.1\times 0.2\;}}={0.54 \over 0.02}=27}$

Este ejemplo también muestra cómo los odds ratios son a veces sensibles al establecer posiciones relativas: en esta muestra los hombres tienen (90/100)/(20/80) = 3,6 veces más probabilidades de haber bebido vino que las mujeres, pero tienen 27 veces más probabilidades. El logaritmo del odds ratio, la diferencia de los logits de las probabilidades , suaviza este efecto y también hace que la medida sea simétrica con respecto al ordenamiento de los grupos. Por ejemplo, utilizando logaritmos naturales , una razón de probabilidades de 27/1 equivale a 3,296 y una razón de probabilidades de 1/27 equivale a −3,296.

Inferencia estadística

Un gráfico que muestra el valor mínimo de la estadística de probabilidad logarítmica de la muestra que se debe observar para que se considere significativo al nivel de 0,05, para un tamaño de muestra determinado. Las tres líneas corresponden a diferentes configuraciones de las probabilidades marginales en la tabla de contingencia 2×2 (las probabilidades marginales de fila y columna son iguales en este gráfico).

Se han desarrollado varios enfoques para la inferencia estadística de los odds ratios.

Un enfoque de inferencia utiliza aproximaciones de muestras grandes a la distribución muestral del log odds ratio (el logaritmo natural del odds ratio). Si utilizamos la notación de probabilidad conjunta definida anteriormente, la razón de probabilidades logarítmica de la población es

${\displaystyle {\log \left({\frac {p_{11}p_{00}}{p_{01}p_{10}}}\right)=\log(p_{11})+\log(p_{00}{\big )}-\log(p_{10})-\log(p_{01})}.\,}$

Si observamos los datos en forma de tabla de contingencia

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&n_{11}&n_{10}\\X=0&n_{01}&n_{00}\end{array}}}$

entonces las probabilidades en la distribución conjunta se pueden estimar como

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\hat {p}}_{11}&{\hat {p}}_{10}\\X=0&{\hat {p}}_{01}&{\hat {p}}_{00}\end{array}}}$

dónde︿pag_ij  =  n _ij  /  n , siendo n  =  n ₁₁  +  n ₁₀  +  n ₀₁  +  n ₀₀ la suma de los cuatro recuentos de celdas. La razón de probabilidades logarítmicas de la muestra es

${\displaystyle {L=\log \left({\dfrac {{\hat {p}}_{11}{\hat {p}}_{00}}{{\hat {p}}_{10}{\hat {p}}_{01}}}\right)=\log \left({\dfrac {n_{11}n_{00}}{n_{10}n_{01}}}\right)}}$.

La distribución del log odds ratio es aproximadamente normal con:

${\displaystyle L\ \sim \ {\mathcal {N}}(\log(OR),\,\sigma ^{2}).\,}$

El error estándar para el log odds ratio es aproximadamente

${\displaystyle {{\rm {SE}}={\sqrt {{\dfrac {1}{n_{11}}}+{\dfrac {1}{n_{10}}}+{\dfrac {1}{n_{01}}}+{\dfrac {1}{n_{00}}}}}}}$.

Esta es una aproximación asintótica y no dará un resultado significativo si alguno de los recuentos de células es muy pequeño. Si L es el odds ratio logarítmico de la muestra, un intervalo de confianza aproximado del 95 % para el odds ratio logarítmico de la población es L  ± 1,96SE . ^[4] Esto se puede asignar a exp( L  − 1,96SE), exp( L  + 1,96SE) para obtener un intervalo de confianza del 95% para el odds ratio. Si deseamos probar la hipótesis de que el odds ratio de la población es igual a uno, el valor p bilateral es 2 P ( Z  < −| L |/SE) , donde P denota una probabilidad y Z denota una variable aleatoria normal estándar. .

Un enfoque alternativo a la inferencia de odds ratios analiza la distribución de los datos condicionalmente a las frecuencias marginales de X e Y. Una ventaja de este enfoque es que la distribución muestral del odds ratio se puede expresar exactamente.

Papel en la regresión logística

La regresión logística es una forma de generalizar el odds ratio más allá de dos variables binarias. Supongamos que tenemos una variable de respuesta binaria Y y una variable predictora binaria X , y además tenemos otras variables predictoras Z ₁ , ..., Z _p que pueden ser binarias o no. Si utilizamos la regresión logística múltiple para hacer la regresión de Y en X , Z ₁ , ..., Z _p , entonces el coeficiente estimado para X está relacionado con un odds ratio condicional. En concreto, a nivel poblacional ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}}$

${\displaystyle e^{\beta _{x}}=\exp(\beta _{x})={\frac {P(Y=1\mid X=1,Z_{1},\ldots ,Z_{p})/P(Y=0\mid X=1,Z_{1},\ldots ,Z_{p})}{P(Y=1\mid X=0,Z_{1},\ldots ,Z_{p})/P(Y=0\mid X=0,Z_{1},\ldots ,Z_{p})}},}$

también lo es una estimación de este odds ratio condicional. La interpretación de es como una estimación del odds ratio entre Y y X cuando los valores de Z ₁ , ..., Z _p se mantienen fijos. ${\displaystyle \exp({\hat {\beta }}_{x})}$ ${\displaystyle \exp({\hat {\beta }}_{x})}$

Insensibilidad al tipo de muestreo.

Si los datos forman una "muestra de población", entonces las probabilidades de las celdas se interpretan como las frecuencias de cada uno de los cuatro grupos de la población según lo definido por sus valores X e Y. En muchos entornos no resulta práctico obtener una muestra de población, por lo que se utiliza una muestra seleccionada. Por ejemplo, podemos optar por muestrear unidades con X  = 1 con una probabilidad dada f , independientemente de su frecuencia en la población (lo que requeriría unidades de muestreo con X  = 0 con probabilidad 1 −  f ). En esta situación, nuestros datos seguirían las siguientes probabilidades conjuntas: ${\displaystyle {\widehat {p\,}}_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {fp_{11}}{p_{11}+p_{10}}}&{\frac {fp_{10}}{p_{11}+p_{10}}}\\X=0&{\frac {(1-f)p_{01}}{p_{01}+p_{00}}}&{\frac {(1-f)p_{00}}{p_{01}+p_{00}}}\end{array}}}$

La razón de posibilidades p ₁₁ p ₀₀  /  p ₀₁ p ₁₀ para esta distribución no depende del valor de f . Esto muestra que el odds ratio (y en consecuencia el log odds ratio) es invariante en el muestreo no aleatorio basado en una de las variables que se estudian. Sin embargo, tenga en cuenta que el error estándar del log odds ratio depende del valor de f . ^{[ cita necesaria ]}

Este hecho se aprovecha en dos situaciones importantes:

• Supongamos que es inconveniente o poco práctico obtener una muestra de población, pero sí es práctico obtener una muestra de conveniencia de unidades con diferentes valores de X , de modo que dentro de las submuestras X  = 0 y X  = 1 los valores de Y sean representativos de la población (es decir, siguen las probabilidades condicionales correctas).
• Supongamos que la distribución marginal de una variable, digamos X , está muy sesgada. Por ejemplo, si estudiamos la relación entre el alto consumo de alcohol y el cáncer de páncreas en la población general, la incidencia de cáncer de páncreas sería muy baja, por lo que se necesitaría una muestra de población muy grande para obtener un número modesto de casos de cáncer de páncreas. Sin embargo, podríamos utilizar datos de hospitales para contactar a la mayoría o a todos sus pacientes con cáncer de páncreas y luego muestrear aleatoriamente un número igual de sujetos sin cáncer de páncreas (esto se denomina "estudio de casos y controles").

En ambos contextos, el odds ratio se puede calcular a partir de la muestra seleccionada, sin sesgar los resultados en relación con los que se habrían obtenido para una muestra de población.

Uso en investigación cuantitativa.

Debido al uso generalizado de la regresión logística , el odds ratio se utiliza ampliamente en muchos campos de la investigación en ciencias médicas y sociales. El odds ratio se utiliza comúnmente en investigaciones por encuestas , en epidemiología y para expresar los resultados de algunos ensayos clínicos , como los estudios de casos y controles . A menudo se abrevia "O" en los informes. Cuando se combinan datos de varias encuestas, a menudo se expresarán como "OR agrupados".

Relación con el riesgo relativo

Razón de riesgo versus razón de probabilidades

Como se explica en la sección "Ejemplo motivador", el riesgo relativo suele ser mejor que el odds ratio para comprender la relación entre el riesgo y alguna variable como la radiación o un nuevo fármaco. Esa sección también explica que si se cumple el supuesto de enfermedad rara , el odds ratio es una buena aproximación al riesgo relativo ^[5] y que tiene algunas ventajas sobre el riesgo relativo. Cuando el supuesto de enfermedad rara no se cumple, el odds ratio no ajustado será mayor que el riesgo relativo, ^{[6] [7] [8]} pero los métodos novedosos pueden usar fácilmente los mismos datos para estimar el riesgo relativo, las diferencias de riesgo y las probabilidades base. , u otras cantidades. ^[9]

Si el riesgo absoluto en el grupo no expuesto está disponible, la conversión entre los dos se calcula mediante: ^[6]

${\displaystyle {\text{Relative risk}}\approx {\frac {\text{Odds ratio}}{1-R_{C}+(R_{C}\times {\text{Odds ratio}})}}}$

donde R _C es el riesgo absoluto del grupo no expuesto.

Si no se aplica el supuesto de enfermedad rara, el odds ratio puede ser muy diferente del riesgo relativo y no debe interpretarse como un riesgo relativo.

Consideremos la tasa de mortalidad de hombres y mujeres pasajeros cuando un barco se hundió. ^[3] De 462 mujeres, 154 murieron y 308 sobrevivieron. De 851 hombres, 709 murieron y 142 sobrevivieron. Claramente, un hombre en el barco tenía más probabilidades de morir que una mujer, pero ¿cuántas más probabilidades? Dado que más de la mitad de los pasajeros murieron, se viola gravemente el supuesto de enfermedad rara.

Para calcular el odds ratio, tenga en cuenta que para las mujeres las probabilidades de morir eran de 1 a 2 (154/308). Para los hombres, las probabilidades eran de 5 a 1 (709/142). El odds ratio es 9,99 (4,99/0,5). Los hombres tenían diez veces más probabilidades de morir que las mujeres.

Para las mujeres, la probabilidad de muerte fue del 33% (154/462). Para los hombres la probabilidad fue del 83% (709/851). El riesgo relativo de muerte es de 2,5 (0,83/0,33). Un hombre tenía 2,5 veces más probabilidades de morir que una mujer.

Confusión y exageración

Los odds ratios a menudo se han confundido con el riesgo relativo en la literatura médica. Para los no estadísticos, el odds ratio es un concepto difícil de comprender y proporciona una cifra más impresionante del efecto. ^[10] Sin embargo, la mayoría de los autores consideran que el riesgo relativo se comprende fácilmente. ^[11] En un estudio, los miembros de una fundación nacional de enfermedades tenían en realidad 3,5 veces más probabilidades que los no miembros de haber oído hablar de un tratamiento común para esa enfermedad, pero el índice de probabilidades era de 24 y el documento afirmaba que los miembros eran "más de 20". veces más probabilidades de haber oído hablar del tratamiento. ^[12] Un estudio de artículos publicados en dos revistas informó que el 26% de los artículos que utilizaron un índice de probabilidades lo interpretaron como un índice de riesgo. ^[13]

Esto puede reflejar el simple proceso de autores incomprendidos que eligen la figura más impresionante y publicable. ^[11] Pero su uso puede en algunos casos ser deliberadamente engañoso. ^[14] Se ha sugerido que el odds ratio sólo debería presentarse como una medida del tamaño del efecto cuando el riesgo ratio no se puede estimar directamente, ^[10] pero con los nuevos métodos disponibles siempre es posible estimar el riesgo ratio, que debería generalmente se utiliza en su lugar. ^[9]

Si bien los riesgos relativos son potencialmente más fáciles de interpretar para una audiencia general, existen ventajas matemáticas y conceptuales al utilizar un odds ratio en lugar de un riesgo relativo, particularmente en los modelos de regresión. Por esa razón, no existe un consenso dentro de los campos de la epidemiología o la bioestadística sobre que se deban preferir los riesgos relativos o los odds ratios cuando ambos pueden usarse válidamente, como en ensayos clínicos y estudios de cohortes ^[15].

Invertibilidad e invariancia

El odds ratio tiene otra propiedad única de ser directamente matemáticamente invertible ya sea que se analice el OR como supervivencia de la enfermedad o como incidencia de aparición de la enfermedad, donde el OR para la supervivencia es directamente recíproco de 1/OR para el riesgo. Esto se conoce como "invariancia del odds ratio". Por el contrario, el riesgo relativo no posee esta propiedad matemática invertible cuando se estudia la supervivencia de la enfermedad frente a la incidencia de aparición. Este fenómeno de invertibilidad OR versus no invertibilidad RR se ilustra mejor con un ejemplo:

Supongamos que en un ensayo clínico, uno tiene un riesgo de eventos adversos de 4/100 en el grupo de fármaco y de 2/100 en el de placebo... lo que arroja un RR = 2 y OR = 2,04166 para el riesgo adverso de fármaco frente a placebo. Sin embargo, si el análisis se invirtiera y los eventos adversos se analizaran como supervivencia libre de eventos, entonces el grupo de fármaco tendría una tasa de 96/100 y el grupo de placebo tendría una tasa de 98/100, lo que daría una comparación entre fármaco y placebo. un RR=0,9796 para supervivencia, pero un OR=0,48979. Como se puede ver, un RR de 0,9796 claramente no es el recíproco de un RR de 2. Por el contrario, un OR de 0,48979 es de hecho el recíproco directo de un OR de 2,04166.

Esto es nuevamente lo que se llama la "invariancia del odds ratio", y por qué un RR para la supervivencia no es lo mismo que un RR para el riesgo, mientras que el OR tiene esta propiedad simétrica cuando se analiza la supervivencia o el riesgo adverso. El peligro para la interpretación clínica del quirófano surge cuando la tasa de eventos adversos no es rara, exagerando así las diferencias cuando no se cumple el supuesto de enfermedad rara del quirófano. Por otro lado, cuando la enfermedad es rara, utilizar un RR para la supervivencia (por ejemplo, el RR=0,9796 del ejemplo anterior) puede ocultar y ocultar clínicamente una importante duplicación del riesgo adverso asociado con un fármaco o exposición. ^{[ cita necesaria ]}

Estimadores del odds ratio

Odds ratio de muestra

El odds ratio muestral n ₁₁ n ₀₀  /  n ₁₀ n ₀₁ es fácil de calcular y, para muestras moderadas y grandes, funciona bien como estimador del odds ratio poblacional. Cuando una o más de las celdas de la tabla de contingencia pueden tener un valor pequeño, la razón de probabilidades de la muestra puede estar sesgada y exhibir una alta varianza .

Estimadores alternativos

Se han propuesto varios estimadores alternativos del odds ratio para abordar las limitaciones del odds ratio de la muestra. Un estimador alternativo es el estimador de máxima verosimilitud condicional, que condiciona los márgenes de las filas y columnas al formar la probabilidad de maximizar (como en la prueba exacta de Fisher ). ^[16] Otro estimador alternativo es el estimador de Mantel-Haenszel . ^{[ cita necesaria ]}

Ejemplos numéricos

Las siguientes cuatro tablas de contingencia contienen recuentos de células observados, junto con el odds ratio de muestra ( OR ) y el odds ratio de registro de muestra ( LOR ) correspondientes:

Las siguientes distribuciones de probabilidad conjuntas contienen las probabilidades de las celdas de población, junto con la correspondiente razón de probabilidades de la población ( OR ) y la razón de probabilidades logarítmica de la población ( LOR ):

Ejemplo numérico

Estadísticas relacionadas

Existen otras estadísticas resumidas para tablas de contingencia que miden la asociación entre dos eventos, como Yule's Y , Yule's Q ; estos dos están normalizados por lo que son 0 para eventos independientes, 1 para eventos perfectamente correlacionados y −1 para eventos perfectamente correlacionados negativamente. Edwards (1963) los estudió y argumentó que estas medidas de asociación deben ser funciones de la razón de probabilidades, a la que se refirió como razón cruzada . ^{[ cita necesaria ]}

Odds ratio para un estudio de casos y controles emparejado

Un estudio de casos y controles implica seleccionar muestras representativas de casos y controles que tienen y no tienen alguna enfermedad, respectivamente. Estas muestras suelen ser independientes entre sí. La prevalencia previa de exposición a algún factor de riesgo se observa en sujetos de ambas muestras. Esto permite estimar el odds ratio de enfermedad en personas expuestas frente a no expuestas, como se señaló anteriormente. ^[17] A veces, sin embargo, tiene sentido hacer coincidir los casos con los controles sobre una o más variables de confusión . ^[18] En este caso, la exposición previa de interés se determina para cada caso y su control emparejado. Los datos se pueden resumir en la siguiente tabla.

Tabla 2x2 emparejada

Esta tabla proporciona el estado de exposición de los pares de sujetos emparejados. Hay pares en los que tanto el caso como su control coincidente estuvieron expuestos, pares en los que el paciente caso estuvo expuesto pero el sujeto de control no, pares en los que el sujeto de control estuvo expuesto pero el paciente caso no, y pares en los que ninguno de los sujetos estuvo expuesto. expuesto. La exposición de pares de casos y controles emparejados está correlacionada debido a los valores similares de sus variables de confusión compartidas. ${\displaystyle n_{11}}$ ${\displaystyle n_{10}}$ ${\displaystyle n_{01}}$ ${\displaystyle n_{00}}$

La siguiente derivación se debe a Breslow & Day . ^[18] Consideramos que cada par pertenece a un estrato con valores idénticos de las variables de confusión. Condicionados a pertenecer a un mismo estrato, el estado de exposición de casos y controles son independientes entre sí. Para cualquier par de casos y controles dentro del mismo estrato, sea

${\displaystyle p_{1}}$ser la probabilidad de que un paciente esté expuesto,

${\displaystyle p_{0}}$ser la probabilidad de que un paciente control esté expuesto,

${\displaystyle q_{1}=1-p_{1}}$ser la probabilidad de que un paciente caso no esté expuesto, y

${\displaystyle q_{0}=1-p_{0}}$ser la probabilidad de que un paciente control no esté expuesto.

Entonces la probabilidad de que un caso esté expuesto y un control no es , y la probabilidad de que un control esté expuesto y un caso no es . El odds ratio dentro del estrato para la exposición en los casos en relación con los controles es ${\displaystyle p_{1}q_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}q_{1}}$

${\displaystyle \psi =(p_{1}/q_{1})/(p_{0}/q_{0})=p_{1}q_{0}/(q_{1}p_{0})}$

Suponemos que es constante en todos los estratos. ^[18] ${\displaystyle \psi }$

Ahora bien, los pares concordantes en los que tanto el caso como el control están expuestos, o ninguno de los dos, no nos dicen nada sobre las probabilidades de exposición en los casos en relación con las probabilidades de exposición entre los controles. La probabilidad de que se exponga el caso y no se dé el control de que el par sea discordante es

${\displaystyle \pi =(p_{1}q_{0})/(p_{1}q_{0}+q_{1}p_{0})=\psi /(\psi +1)}$

La distribución de dado el número de pares discordantes es binomial  ~ B y la estimación de máxima verosimilitud de es ${\displaystyle n_{10}}$ ${\displaystyle (n_{10}+n_{01},\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\hat {\pi }}=n_{10}/(n_{10}+n_{01})={\hat {\psi }}/({\hat {\psi }}+1)}$

Multiplicar ambos lados de esta ecuación y restar da ${\displaystyle (n_{10}+n_{01})({\hat {\psi }}+1)}$ ${\displaystyle n_{10}{\hat {\psi }}}$

${\displaystyle n_{10}={\hat {\psi }}(n_{10}+n_{01}-n_{10})}$y por lo tanto

${\displaystyle {\hat {\psi }}=n_{10}/n_{01}}$.

Ahora es la estimación de máxima verosimilitud de y es una función monótona de . De ello se deduce que es la estimación de máxima verosimilitud condicional dado el número de pares discordantes. Rothman et al. ^[19] dan una derivación alternativa mostrando que es un caso especial de la estimación de Mantel-Haenszel del odds ratio intraestratos para tablas estratificadas de 2x2. ^[19] También hacen referencia a Breslow & Day ^[18] como quienes proporcionaron la derivación proporcionada aquí. ${\displaystyle {\hat {\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$

Bajo la hipótesis nula de que . ${\displaystyle \psi =1,\pi =1/(1+1)=0.5}$

Por lo tanto, podemos probar la hipótesis nula de que al probar la hipótesis nula de que . Esto se hace mediante la prueba de McNemar . ${\displaystyle \psi =1}$ ${\displaystyle \pi =0.5}$

Hay varias formas de calcular un intervalo de confianza para . Sea y denote el límite inferior y superior de un intervalo de confianza para , respectivamente. Dado que , el intervalo de confianza correspondiente para es ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{LB}}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{UB}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \psi =\pi /(1-\pi )}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ({\frac {{\hat {\pi }}_{LB}}{1-{\hat {\pi }}_{LB}}},{\frac {{\hat {\pi }}_{UB}}{1-{\hat {\pi }}_{UB}}})}$.

Las tablas pareadas de 2x2 también se pueden analizar mediante regresión logística condicional . ^[20] Esta técnica tiene la ventaja de permitir a los usuarios hacer una regresión del estado de casos y controles frente a múltiples factores de riesgo a partir de datos de casos y controles coincidentes.

Ejemplo

McEvoy et al. ^[21] estudiaron el uso de teléfonos móviles por parte de los conductores como factor de riesgo de accidentes automovilísticos en un estudio cruzado de casos. ^[17] Todos los sujetos del estudio estuvieron involucrados en un accidente automovilístico que requirió asistencia hospitalaria. El uso del teléfono celular de cada conductor en el momento del accidente se comparó con el uso del teléfono celular en un intervalo de control a la misma hora del día una semana antes. Se esperaría que el uso del teléfono celular de una persona en el momento del accidente estuviera correlacionado con su uso una semana antes. La comparación del uso durante los intervalos de choque y control se ajusta a las características del conductor y a la hora del día y el día de la semana. Los datos se pueden resumir en la siguiente tabla.

Hubo 5 conductores que usaron sus teléfonos en ambos intervalos, 27 que los usaron en el choque pero no en el intervalo de control, 6 que los usaron en el control pero no en el intervalo de choque y 288 que no los usaron en ninguno de los intervalos. La relación de probabilidades de sufrir un accidente mientras se usa el teléfono en relación con conducir sin usar el teléfono fue

${\displaystyle {\hat {\psi }}=27/6=4.5}$.

Probar la hipótesis nula es lo mismo que probar la hipótesis nula que dio 27 de 33 pares discordantes en los que el conductor estaba usando su teléfono en el momento del accidente. McNemar's . Esta estadística tiene un grado de libertad y produce un valor P de 0,0003. Esto nos permite rechazar la hipótesis de que el uso del teléfono celular no tiene efecto sobre el riesgo de accidentes automovilísticos ( ) con un alto nivel de significancia estadística. ${\displaystyle {\hat {\psi }}=1}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}=0.5}$ ${\displaystyle \chi ^{2}=13.36}$ ${\displaystyle \psi =1}$

Utilizando el método de Wilson , un intervalo de confianza del 95% es (0,6561, 0,9139). Por lo tanto, un intervalo de confianza del 95% para es ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ({\frac {0.6561}{1-0.6561}},{\frac {0.9139}{1-0.9139}})=(1.9,10.6)}$

(McEvoy et al. ^[21] analizaron sus datos mediante regresión logística condicional y obtuvieron resultados casi idénticos a los que se dan aquí. Consulte la última fila de la Tabla 3 de su artículo).

Ver también

• h de Cohen
• relación cruzada
• Razón de probabilidades de diagnóstico
• Parcela forestal
• Cociente de riesgo
• Índice de probabilidad
• Razón de tasas

Referencias

Citas

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Fuentes

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enlaces externos

• Calculadora de ratio de probabilidades – sitio web
• Calculadora de odds ratio con varias pruebas – sitio web
• OpenEpi, un programa basado en web que calcula la proporción de probabilidades, tanto incomparables como emparejadas