Área de un triángulo

El área de un triángulo se puede demostrar, por ejemplo mediante la congruencia de triángulos , como la mitad del área de un paralelogramo que tiene la misma longitud y altura de base.

Una derivación gráfica de la fórmula que evita el procedimiento habitual de duplicar el área del triángulo y luego dividirla por la mitad. ${\displaystyle T={\frac {h}{2}}b}$

En geometría , calcular el área de un triángulo es un problema elemental que se encuentra a menudo en muchas situaciones diferentes. La fórmula más conocida y sencilla es donde b es la longitud de la base del triángulo y h es la altura o altitud del triángulo. El término "base" denota cualquier lado y "altura" denota la longitud de una perpendicular desde el vértice opuesto a la base hasta la línea que contiene la base. Euclides demostró que el área de un triángulo es la mitad que la de un paralelogramo con la misma base y altura en su libro Elementos en el año 300 a.C. ^[1] En 499 CE, Aryabhata , utilizó este método ilustrado en el Aryabhatiya (sección 2.6). ^[2] ${\displaystyle T=bh/2,}$

Aunque simple, esta fórmula sólo es útil si la altura se puede encontrar fácilmente, lo cual no siempre es el caso. Por ejemplo, al agrimensor de un campo triangular le podría resultar relativamente fácil medir la longitud de cada lado, pero relativamente difícil construir una "altura". En la práctica se pueden utilizar varios métodos, dependiendo de lo que se sepa sobre el triángulo. Otras fórmulas utilizadas con frecuencia para el área de un triángulo utilizan trigonometría, longitudes de los lados (fórmula de Heron), vectores, coordenadas, integrales de línea, teorema de Pick u otras propiedades. ^[3]

Historia

Herón de Alejandría encontró lo que se conoce como la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libro Métrica , escrito alrededor del año 60 d.C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, ^[4] y dado que Métrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo. ^[5] En el año 300 a. C., el matemático griego Euclides demostró que el área de un triángulo es la mitad que la de un paralelogramo con la misma base y altura en su libro Elementos de geometría . ^[6]

En 499, Aryabhata , un gran matemático y astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias , expresó el área de un triángulo como la mitad de la base multiplicada por la altura en el Aryabhatiya (sección 2.6).

Los chinos descubrieron una fórmula equivalente a la de Heron, independientemente de los griegos. Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang (" Tratado matemático en nueve secciones "), escrito por Qin Jiushao .

Usando trigonometría

Aplicando trigonometría para encontrar la altitud h .

La altura de un triángulo se puede encontrar mediante la aplicación de la trigonometría .

Conociendo SAS (lado-ángulo-lado)

Usando las etiquetas en la imagen de la derecha, la altitud es h = a sin ${\displaystyle \gamma }$ . Sustituyendo esto en la fórmula derivada anteriormente, el área del triángulo se puede expresar como: ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\tfrac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\tfrac {1}{2}}ca\sin \beta }$

(donde α es el ángulo interior en A , β es el ángulo interior en B , es el ángulo interior en C y c es la línea AB ). ${\displaystyle \gamma }$

Además, dado que sen α = sin ( π − α) = sin (β + ), y de manera similar para los otros dos ángulos: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\tfrac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\tfrac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).}$

Conociendo AAS (ángulo-ángulo-lado)

${\displaystyle T={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }},}$

y de manera análoga si el lado conocido es a o c .

Conociendo ASA (ángulo-lado-ángulo)

${\displaystyle T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}},}$

y de manera análoga si el lado conocido es b o c . ^[7]

Usando longitudes de lados (fórmula de Heron)

La forma del triángulo está determinada por las longitudes de los lados. Por lo tanto, el área también se puede derivar de las longitudes de los lados. Por la fórmula de Heron :

${\displaystyle T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

¿Dónde está el semiperímetro , o la mitad del perímetro del triángulo? ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Otras tres formas equivalentes de escribir la fórmula de Heron son

${\displaystyle T={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}$

Fórmulas que se parecen a la fórmula de Heron.

Tres fórmulas tienen la misma estructura que la fórmula de Heron pero se expresan en términos de variables diferentes. Primero, denotando las medianas de los lados a , b y c respectivamente como m _a , m _b y m _c y su semisuma ( m _a + m _b + m _c )/2 como σ, tenemos ^[8]

${\displaystyle T={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}$

A continuación, denotamos las altitudes de los lados a , b y c respectivamente como h _a , h _b y h _c , y denotamos la semisuma de los recíprocos de las altitudes como tenemos ^[9] ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$

${\displaystyle T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

Y denotando la semisuma de los senos de los ángulos como S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 , tenemos ^[10]

${\displaystyle T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}}$

donde D es el diámetro del círculo circunstante: ${\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}$

Usando vectores

El área del triángulo ABC es la mitad del área de un paralelogramo :

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |.}$

El área de un paralelogramo incrustado en un espacio euclidiano tridimensional se puede calcular mediante vectores . Sean los vectores AB y AC que apuntan respectivamente de A a B y de A a C. El área del paralelogramo ABDC es entonces

${\displaystyle |\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |,}$

que es la magnitud del producto cruzado de los vectores AB y AC .

El área del triángulo ABC también se puede expresar en términos de productos escalares de la siguiente manera:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}.\,}$

En el espacio euclidiano bidimensional, expresando el vector AB como un vector libre en el espacio cartesiano igual a ( x ₁ , y ₁ ) y AC como ( x ₂ , y ₂ ), esto se puede reescribir como:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}$

Usando coordenadas

Si el vértice A está ubicado en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesiano y las coordenadas de los otros dos vértices están dadas por B = ( x _B , y _B ) y C = ( x _C , y _C ) , entonces el área se puede calcular como 1 ⁄ 2 veces el valor absoluto del determinante

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}$

Para tres vértices generales, la ecuación es:

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},}$

que se puede escribir como

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.}$

Si los puntos se etiquetan secuencialmente en el sentido contrario a las agujas del reloj, las expresiones determinantes anteriores son positivas y los signos de valor absoluto se pueden omitir. ^[11] La fórmula anterior se conoce como fórmula del cordón de zapato o fórmula del topógrafo.

Si ubicamos los vértices en el plano complejo y los denotamos en secuencia en sentido antihorario como a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , y c = x _C + y _C i , y denotamos sus conjugados complejos como , , y , entonces la fórmula ${\displaystyle {\bar {a}}}$ ${\displaystyle {\bar {b}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$

${\displaystyle T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}}$

Es equivalente a la fórmula del cordón de los zapatos.

En tres dimensiones, el área de un triángulo general A = ( x _A , y _A , z _A ) , B = ( x _B , y _B , z _B ) y C = ( x _C , y _C , z _C ) es la Suma pitagórica de las áreas de las respectivas proyecciones en los tres planos principales (es decir, x = 0, y = 0 yz = 0):

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.}$

Usando integrales de línea

El área dentro de cualquier curva cerrada, como un triángulo, está dada por la integral de línea alrededor de la curva de la distancia algebraica o con signo de un punto en la curva desde una línea recta orientada arbitrariamente L. Los puntos a la derecha de L tal como están orientados se consideran a una distancia negativa de L , mientras que el peso de la integral se considera el componente de la longitud del arco paralelo a L en lugar de la longitud del arco en sí.

Este método es muy adecuado para calcular el área de un polígono arbitrario . Tomando L como el eje x , la integral de línea entre los vértices consecutivos ( x _i , y _i ) y ( x _{i +1} , y _{i +1} ) viene dada por la base multiplicada por la altura media, es decir ( x _{i +1} − x _yo )( y _yo + y _{yo +1} )/2 . El signo del área es un indicador general de la dirección del recorrido, mientras que el área negativa indica el recorrido en sentido antihorario. El área de un triángulo entonces resulta ser el caso de un polígono de tres lados.

Si bien el método integral de línea tiene en común con otros métodos basados ​​en coordenadas la elección arbitraria de un sistema de coordenadas, a diferencia de los demás, no realiza ninguna elección arbitraria del vértice del triángulo como origen o del lado como base. Además, la elección del sistema de coordenadas definido por L compromete sólo dos grados de libertad en lugar de los tres habituales, ya que el peso es una distancia local (por ejemplo, x _{i +1} − x _i en lo anterior), por lo que el método no requiere elegir un eje normal a L .

Cuando se trabaja en coordenadas polares no es necesario convertir a coordenadas cartesianas para usar la integración de líneas, ya que la integral de línea entre vértices consecutivos ( r _i ,θ _i ) y ( r _{i +1} ,θ _{i +1} ) de un polígono está dada directamente por r _i r _{i +1} sin(θ _{i +1} − θ _i )/2 . Esto es válido para todos los valores de θ, con cierta disminución en la precisión numérica cuando |θ| es muchos órdenes de magnitud mayor que π. Con esta formulación, el área negativa indica un recorrido en el sentido de las agujas del reloj, lo que debe tenerse en cuenta al mezclar coordenadas polares y cartesianas. Así como la elección del eje y ( x = 0 ) es irrelevante para la integración de líneas en coordenadas cartesianas, también lo es la elección del rumbo cero ( θ = 0 ) aquí.

Usando el teorema de Pick

Consulte el teorema de Pick para conocer una técnica para encontrar el área de cualquier polígono de red arbitrario (uno dibujado en una cuadrícula con puntos de red adyacentes vertical y horizontalmente a distancias iguales, y con vértices en puntos de red).

El teorema dice:

${\displaystyle T=I+{\tfrac {1}{2}}B-1}$

donde es el número de puntos de la red interna y B es el número de puntos de la red que se encuentran en el borde del polígono. ${\displaystyle I}$

Otras fórmulas de área

Existen muchas otras fórmulas de área, como

${\displaystyle T=r\cdot s,}$

donde r es el inradio y s es el semiperímetro (de hecho, esta fórmula es válida para todos los polígonos tangenciales ), y ^{[12] : Lema 2}

${\displaystyle T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)}$

¿Dónde están los radios de los círculos excírculos tangentes a los lados a, b, c respectivamente? ${\displaystyle r_{a},\,r_{b},\,r_{c}}$

También tenemos

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )}$

y ^[13]

${\displaystyle T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}}$

para el circundiámetro D ; y ^[14]

${\displaystyle T={\tfrac {1}{4}}(\tan \alpha )(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$

para ángulo α ≠ 90°.

El área también se puede expresar como ^[15]

${\displaystyle T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$

En 1885, Baker ^[16] presentó una colección de más de cien fórmulas de áreas distintas para el triángulo. Éstas incluyen:

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}},}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},}$

${\displaystyle T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},}$

${\displaystyle T={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}}$

para circunradius (radio del círculo circunstante) R , y

${\displaystyle T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.}$

Límite superior del área

El área T de cualquier triángulo con perímetro p satisface

${\displaystyle T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},}$

siendo la igualdad válida si y sólo si el triángulo es equilátero. ^{[17] [18] : 657}

Otros límites superiores del área T vienen dados por ^{[19] : p.290}

${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

y

${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},}$

ambos nuevamente manteniendo si y solo si el triángulo es equilátero.

Dividiendo el área

Hay infinitas rectas que bisecan el área de un triángulo . ^[20] Tres de ellas son las medianas, que son las únicas bisectrices de área que pasan por el centroide. Otras tres bisectrices de área son paralelas a los lados del triángulo.

Cualquier línea que pase por un triángulo y que divida el área del triángulo y su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo. Puede haber uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo determinado.

Ver también

• Área de un círculo
• Congruencia de triángulos

Referencias

1. "Demostración de Euclides del teorema de Pitágoras | Sináptico". Colegio Central . Consultado el 12 de julio de 2023 .
2. The Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa (traducido al inglés por Walter Eugene Clark , 1930) alojado en línea en Internet Archive .
3. Weisstein, Eric W. "Área del triángulo". MundoMatemático .
4. Brezo, Thomas L. (1921). Una historia de las matemáticas griegas (volumen II) . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 321–323.
5. Weisstein, Eric W. "Fórmula de Heron". MundoMatemático .
6. "Demostración de Euclides del teorema de Pitágoras | Sináptico". Colegio Central . Consultado el 12 de julio de 2023 .
7. Weisstein, Eric W. "Triángulo". MundoMatemático .
8. Benyi, Arpad, "Una fórmula tipo Heron para el triángulo", Mathematical Gazette 87, julio de 2003, 324–326.
9. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.
10. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula de área tipo Heron en términos de senos", Mathematical Gazette 93, marzo de 2009, 108-109.
11. Bart Braden (1986). "La fórmula del área del topógrafo" (PDF) . La revista universitaria de matemáticas . 17 (4): 326–337. doi :10.2307/2686282. JSTOR  2686282. Archivado desde el original (PDF) el 5 de noviembre de 2003 . Consultado el 5 de enero de 2012 .
12. "Beso de Sa ́ndor Nagydobai", Una propiedad a distancia de la punta Feuerbach y su extensión ", Forum Geometriorum 16, 2016, 283–290" (PDF) .
13. "Circumradio". AoPSWiki . Archivado desde el original el 20 de junio de 2013 . Consultado el 26 de julio de 2012 .
14. Mitchell, Douglas W., "El área de un cuadrilátero", Mathematical Gazette 93, julio de 2009, 306–309.
15. Pathan, Alex y Tony Collyer, "Revisión de las propiedades de área de los triángulos", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 495–497.
16. Baker, Marcus, "Una colección de fórmulas para el área de un triángulo plano", Annals of Mathematics , parte 1 en vol. 1(6), enero de 1885, 134-138; parte 2 en vol. 2 (1), septiembre de 1885, 11-18. Las fórmulas dadas aquí son #9, #39a, #39b, #42 y #49. Se advierte al lector que varias de las fórmulas de esta fuente no son correctas.
17. Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979: 147.
18. Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; y Wulf, Daniel B. "Heron Triangles and Moduli Spaces", Mathematics Teacher 101, mayo de 2008, 656–663.
19. Posamentier, Alfred S. y Lehmann, Ingmar, Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012.
20. Dunn, JA y Pretty, JE, "Reducir a la mitad un triángulo", Mathematical Gazette 56, mayo de 1972, 105-108.