vacío theta

Estado de vacío de la teoría de Yang-Mills

En la teoría cuántica de campos , el vacío theta es el estado de vacío semiclásico de las teorías no abelianas de Yang-Mills especificado por el ángulo de vacío θ que surge cuando el estado se escribe como una superposición de un conjunto infinito de estados de vacío topológicamente distintos. Los efectos dinámicos del vacío se capturan en el formalismo lagrangiano mediante la presencia de un término θ que en cromodinámica cuántica conduce al problema de ajuste fino conocido como problema de CP fuerte . Fue descubierto en 1976 por Curtis Callan , Roger Dashen y David Gross , ^[1] e independientemente por Roman Jackiw y Claudio Rebbi. ^[2]

Aspiradora Yang-Mills

vacío topológico

La estructura de vacío semiclásica de las teorías no abelianas de Yang-Mills a menudo se investiga en el espacio-tiempo euclidiano en algún calibre fijo, como el calibre temporal . Los estados fundamentales clásicos de esta teoría tienen un tensor de intensidad de campo evanescente que corresponde a configuraciones de calibre puras , donde en cada punto del espacio-tiempo hay alguna transformación de calibre que pertenece al grupo de calibre no abeliano . Para garantizar que la acción sea finita, se aproxima a algún valor fijo como . Dado que todos los puntos en el infinito espacial ahora se comportan como un único punto nuevo, la variedad espacial se comporta como una esfera de 3, de modo que cada elección de calibre puro para el campo de calibre se describe mediante un mapeo . ^[3] ${\displaystyle A_{0}=0}$ ${\displaystyle A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}}$ ${\displaystyle \Omega (x)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega (x)}$ ${\displaystyle \Omega _{\infty }}$ ${\displaystyle |{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \Omega (x):S^{3}\rightarrow G}$

Cuando cada configuración del estado fundamental puede transformarse suavemente en cualquier otra configuración del estado fundamental mediante una transformación de calibre suave, entonces la teoría tiene un único estado de vacío, pero si hay configuraciones topológicamente distintas, entonces tiene múltiples vacíos. Esto se debe a que si hay dos configuraciones diferentes que no están conectadas suavemente, entonces para transformar una en la otra se debe pasar por una configuración con un tensor de intensidad de campo que no desaparece, que tendrá una energía distinta de cero. Esto significa que existe una barrera energética entre las dos vacuas, lo que las hace distintas.

La cuestión de si dos configuraciones de calibre se pueden deformar suavemente entre sí se describe formalmente mediante el grupo de homotopía del mapeo . Por ejemplo, el grupo de calibre tiene una variedad subyacente de modo que el mapeo es , que tiene un grupo de homotopía de . Esto significa que cada mapeo tiene un número entero asociado llamado número de devanado , también conocido como índice de Pontryagin , que describe aproximadamente cuántas veces se mapea el espacio en el grupo , con devanados negativos que ocurren debido a una orientación invertida . Sólo las asignaciones con el mismo número de devanados pueden deformarse suavemente entre sí y se dice que pertenecen a la misma clase de homotopía. Las transformaciones de calibre que conservan el número de devanado se denominan transformaciones de calibre pequeño, mientras que las que cambian el número de devanado se denominan transformaciones de calibre grande . ^[4] ${\displaystyle \Omega (x):S^{3}\rightarrow G}$ ${\displaystyle G={\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \Omega (x):S^{3}\rightarrow S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{3}({\text{SU}}(2))=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Para otros grupos de calibres no abelianos es suficiente centrarse en uno de sus subgrupos, asegurándose de que . Esto se debe a que cada aplicación de on puede deformarse continuamente en una aplicación sobre un subgrupo de , un resultado que se desprende del teorema de Botts . ^[5] Esto contrasta con los grupos de calibre abelianos donde cada mapeo se puede deformar al mapa constante y, por lo tanto, hay un único estado de vacío conectado. Para una configuración de campo de calibre , siempre se puede calcular su número de devanados a partir de una integral de volumen que en el calibre temporal viene dada por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S^{3}\rightarrow {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle A^{i}}$

${\displaystyle n={\frac {ig^{3}}{24\pi ^{2}}}\int d^{3}r\ {\text{Tr}}(\epsilon _{ijk}A^{i}A^{j}A^{k}),}$

¿Dónde está la constante de acoplamiento ? Las diferentes clases de estados de vacío con diferentes números de devanados se denominan vacío topológico . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

theta vacua

Los vacíos topológicos no son estados de vacío candidatos de las teorías de Yang-Mills, ya que no son estados propios de transformaciones de calibre grandes y, por lo tanto, no son invariantes de calibre. En lugar de actuar sobre el estado con una transformación de gran calibre con número de devanado, se asignará a un vacío topológico diferente . El verdadero vacío tiene que ser un estado propio de transformaciones de calibre pequeño y grande. De manera similar a la forma que toman los estados propios en los potenciales periódicos según el teorema de Bloch , el estado de vacío es una suma coherente de vacíos topológicos. ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle \Omega _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Omega _{m}|n\rangle =|n+m\rangle }$

${\displaystyle |\theta \rangle =\sum _{n}e^{in\theta }|n\rangle .}$

Este conjunto de estados indexados por la variable angular se conocen como θ -vacua . Son estados propios de ambos tipos de transformaciones de calibre desde ahora . En Yang-Mills puro, cada valor de dará un estado fundamental diferente sobre el cual se construyen los estados excitados, lo que lleva a una física diferente. En otras palabras, el espacio de Hilbert se descompone en sectores de superselección ya que los valores esperados de los operadores invariantes de calibre entre dos θ -vacua diferentes desaparecen si . ^[6] ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \Omega _{m}|\theta \rangle =e^{-i\theta m}|\theta \rangle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \langle \theta |{\mathcal {O}}|\theta '\rangle =0}$ ${\displaystyle \theta \neq \theta '}$

Las teorías de Yang-Mills exhiben soluciones de acción finita para sus ecuaciones de movimiento llamadas instantones . Son responsables de hacer túneles entre diferentes vacíos topológicos y un instantón con número de devanado es responsable de hacer túneles desde un vacío topológico hasta . ^[7] Los instantáneos con se conocen como instantáneos BPST . Sin ningún túnel, las diferentes θ -vacua se degenerarían ; sin embargo, los instantes eliminan la degeneración, haciendo que las diferentes θ -vacua sean físicamente distintas entre sí. La energía del estado fundamental de las diferentes aspiradoras se divide para tomar la forma , donde la constante de proporcionalidad dependerá de qué tan fuerte sea el túnel instantáneo. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle |n_{-}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{+}\rangle =|n_{-}+\nu \rangle }$ ${\displaystyle \nu =\pm 1}$ ${\displaystyle E(\theta )\propto \cos \theta }$

La complicada estructura del θ -vacío puede incorporarse directamente al lagrangiano de Yang-Mills considerando las transiciones vacío-vacío en el formalismo integral de trayectoria ^[8]

${\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }\langle \theta |e^{-iHT}|\theta \rangle =\int {\mathcal {D}}Ae^{iS+i\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{\theta }}.}$

Aquí está el hamiltoniano, la acción de Yang-Mills, y hay una nueva contribución de CP que viola el lagrangiano llamada término θ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\theta }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\theta }=\theta {\frac {g^{2}}{32\pi ^{2}}}{\text{Tr}}[F^{\mu \nu }{\tilde {F}}_{\mu \nu }],}$

donde está el tensor de intensidad de campo dual y la traza está sobre los generadores del grupo . Este término es un derivado total, lo que significa que puede escribirse en la forma . A diferencia de otras derivadas totales que se pueden agregar al lagrangiano, ésta tiene consecuencias físicas en la física no perturbativa porque no es invariante de calibre. En cromodinámica cuántica, la presencia de este término conduce al fuerte problema de CP, ya que da lugar a un momento dipolar eléctrico de neutrones que aún no se ha observado, ^[9] requiriendo que el ajuste fino sea muy pequeño. ${\displaystyle {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\theta }=\partial _{\mu }K^{\mu }}$ ${\displaystyle K^{\mu }}$ ${\displaystyle \theta }$

Modificación por fermiones

Si en la teoría están presentes fermiones sin masa , entonces el ángulo de vacío se vuelve inobservable porque los fermiones suprimen el túnel instantáneo entre vacíos topológicos. ^[10] Esto se puede ver considerando una teoría de Yang-Mills con un solo fermión sin masa . En el formalismo integral de caminos, el túnel mediante un instante entre dos vacíos topológicos toma la forma ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n|n+\nu \rangle &\sim \int {\mathcal {D}}A{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}\exp {\bigg (}-\int d^{4}x{\frac {1}{2g^{2}}}{\text{tr}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}{D\!\!\!/}\psi {\bigg )}\\&\sim \int {\mathcal {D}}A\det(i{D\!\!\!/})\exp {\bigg (}-\int d^{4}x{\frac {1}{2g^{2}}}{\text{tr}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }{\bigg )}.\end{aligned}}}$

Esto difiere del resultado puro de Yang-Mills por el determinante del fermión adquirido después de la integración sobre los campos fermiónicos. El determinante desaparece porque el operador de Dirac con fermiones sin masa tiene al menos un valor propio cero para cualquier configuración de instantón. ^[11] Si bien los instantones ya no contribuyen a la creación de túneles entre vacíos topológicos, en cambio desempeñan un papel en la violación de la carga axial y, por lo tanto, dan lugar al condensado quiral . Si, por el contrario, la teoría tiene fermiones muy ligeros, entonces el término θ todavía está presente, pero sus efectos se suprimen en gran medida ya que deben ser proporcionales a las masas de los fermiones.

Ver también

• instantáneo
• Fuerte problema de CP

Referencias

1. Callan, CG; Dashen, RF; Bruto, DJ (1976). "La estructura del vacío de la teoría del calibre". Letras de Física B. 63 (3): 334–340. Código bibliográfico : 1976PhLB...63..334C. doi :10.1016/0370-2693(76)90277-X.
2. Jackiw, R.; Rebi, C. (1976). "Periodicidad del vacío en una teoría cuántica de Yang-Mills". Cartas de revisión física . 37 (3): 172-175. Código bibliográfico : 1976PhRvL..37..172J. doi :10.1103/PhysRevLett.37.172.
3. Tong, D. (2018), "3", Notas de la conferencia sobre la teoría del calibre
4. Guidry, MW (1991). "13". Teorías del campo de calibre: una introducción con aplicaciones . Wiley VCH. pag. 447.ISBN​ 978-0471631170.
5. Bott, R. (1956). "Una aplicación de la teoría Morse a la topología de grupos de Lie". Boletín de la Société Mathématique de France . 84 : 251–281. doi : 10.24033/bsmf.1472 . ISSN  0037-9484. SEÑOR  0087035.
6. Shifman, M. (2012). "5". Temas avanzados en teoría cuántica de campos: un curso de conferencia . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 178. doi : 10.1017/CBO9781139013352. ISBN 978-0-521-19084-8.
7. Coleman, S. (1985). "7". Aspectos de la simetría . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 265–350. doi :10.1017/CBO9780511565045. ISBN 978-0521318273.
8. Pokorski, S. (2000). "8". Teorías del campo de calibre . Monografías de Cambridge en Física Matemática. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 287–290. doi :10.1017/CBO9780511612343. ISBN 978-0537478169.
9. Panadero, California; Doyle, DD; Geltenbort, P.; Verde, K.; van der Grinten, MGD; Harris, PG; Iaydjiev, P.; Ivanov, SN; Mayo, DJR (27 de septiembre de 2006). "Límite experimental mejorado del momento dipolar eléctrico del neutrón". Cartas de revisión física . 97 (13): 131801. arXiv : hep-ex/0602020 . Código bibliográfico : 2006PhRvL..97m1801B. doi : 10.1103/PhysRevLett.97.131801. PMID  17026025. S2CID  119431442.
10. Weinberg, S. (1995). "23". La teoría cuántica de campos: aplicaciones modernas . vol. 2. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 457–458. ISBN 9780521670548.
11. Witten, E .; Jackiw, R .; Treiman, S .; Zumino, B. (1985). Álgebra actual y anomalías . Publicaciones científicas mundiales. págs. 298–300. Bibcode : 1985caa..libro.....J. doi :10.1142/0131. ISBN 978-9971966966.