Teoría de Mohr-Coulomb

Modelo matemático en ciencia de materiales.

La teoría de Mohr-Coulomb es un modelo matemático (ver superficie de fluencia ) que describe la respuesta de materiales frágiles como el hormigón o los montones de escombros, al esfuerzo cortante y al esfuerzo normal. La mayoría de los materiales de ingeniería clásica siguen esta regla en al menos una parte de su envolvente de falla por corte. Generalmente la teoría se aplica a materiales en los que la resistencia a la compresión supera con creces la resistencia a la tracción . ^[1]

En ingeniería geotécnica se utiliza para definir la resistencia al corte de suelos y rocas ante diferentes tensiones efectivas .

En ingeniería estructural se utiliza para determinar la carga de rotura, así como el ángulo de fractura de una fractura por desplazamiento en hormigón y materiales similares. La hipótesis de la fricción de Coulomb se utiliza para determinar la combinación de esfuerzo cortante y normal que provocará una fractura del material. El círculo de Mohr se utiliza para determinar qué tensiones principales producirán esta combinación de tensión cortante y normal, y el ángulo del plano en el que esto ocurrirá. Según el principio de normalidad, la tensión introducida en el momento de la falla será perpendicular a la línea que describe la condición de fractura.

Se puede demostrar que un material que falla según la hipótesis de fricción de Coulomb mostrará el desplazamiento introducido en el momento de la falla formando un ángulo con la línea de fractura igual al ángulo de fricción . Esto hace que la resistencia del material se pueda determinar comparando el trabajo mecánico externo introducido por el desplazamiento y la carga externa con el trabajo mecánico interno introducido por la deformación y la tensión en la línea de falla. Por conservación de energía la suma de estas debe ser cero y esto permitirá calcular la carga de falla de la construcción.

Una mejora común de este modelo es combinar la hipótesis de fricción de Coulomb con la hipótesis de tensión principal de Rankine para describir una fractura por separación. ^[2] Una visión alternativa deriva el criterio de Mohr-Coulomb como falla de extensión. ^[3]

Historia del desarrollo

La teoría de Mohr-Coulomb lleva el nombre de Charles-Augustin de Coulomb y Christian Otto Mohr . La contribución de Coulomb fue un ensayo de 1776 titulado " Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture ". ^{[2] [4]} Mohr desarrolló una forma generalizada de la teoría a finales del siglo XIX. ^[5] Como la forma generalizada afectó la interpretación del criterio, pero no su sustancia, algunos textos continúan refiriéndose al criterio simplemente como el ' criterio de Coulomb' . ^[6]

Criterio de fallo de Mohr-Coulomb

Figura 1: Vista de la superficie de falla de Mohr-Coulomb en el espacio 3D de tensiones principales para ${\displaystyle c=2,\phi =-20^{\circ }}$

El criterio de falla de Mohr-Coulomb ^[7] representa la envolvente lineal que se obtiene a partir de una gráfica de la resistencia al corte de un material versus la tensión normal aplicada. Esta relación se expresa como

${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$

donde es la resistencia al corte, es el esfuerzo normal, es la intersección de la envolvente de falla con el eje y es la pendiente de la envolvente de falla. La cantidad suele denominarse cohesión y el ángulo se denomina ángulo de fricción interna . En la siguiente discusión se supone que la compresión es positiva. Si se supone que la compresión es negativa, entonces se debe reemplazar con . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tan(\phi )}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle -\sigma }$

Si , el criterio de Mohr-Coulomb se reduce al criterio de Tresca . En cambio, si el modelo de Mohr-Coulomb es equivalente al modelo de Rankine. No se permiten valores más altos de . ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \phi =90^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi }$

Del círculo de Mohr tenemos

$${\displaystyle \sigma =\sigma _{m}-\tau _{m}\sin \phi ~;~~\tau =\tau _{m}\cos \phi }$$

$${\displaystyle \tau _{m}={\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}~;~~\sigma _{m}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}}$$

${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

Por lo tanto, el criterio de Mohr-Coulomb también se puede expresar como

$${\displaystyle \tau _{m}=\sigma _{m}\sin \phi +c\cos \phi ~.}$$

Esta forma del criterio de Mohr-Coulomb es aplicable a fallas en un plano paralelo a la dirección. ${\displaystyle \sigma _{2}}$

Criterio de falla de Mohr-Coulomb en tres dimensiones

El criterio de Mohr-Coulomb en tres dimensiones a menudo se expresa como

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\pm {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{2}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{2}+\sigma _{3}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{3}-\sigma _{1}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{3}+\sigma _{1}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi ).\end{aligned}}\right.}$

La superficie de falla de Mohr-Coulomb es un cono con una sección transversal hexagonal en un espacio de tensiones desviatorias.

Las expresiones para y se pueden generalizar a tres dimensiones desarrollando expresiones para la tensión normal y la tensión cortante resuelta en un plano de orientación arbitraria con respecto a los ejes de coordenadas (vectores base). Si la unidad normal al plano de interés es ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$

donde hay tres vectores de base unitarios ortonormales, y si las tensiones principales están alineadas con los vectores de base , entonces las expresiones para son ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ ${\displaystyle \sigma ,\tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}.\end{aligned}}}$

El criterio de fallo de Mohr-Coulomb se puede evaluar utilizando la expresión habitual

$${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$$

Superficie de falla de Mohr-Coulomb en el espacio Haigh-Westergaard

La superficie de falla (fluencia) de Mohr-Coulomb a menudo se expresa en coordenadas Haigh-Westergaad . Por ejemplo, la función

$${\displaystyle {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi }$$

${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi .}$

Alternativamente, en términos de las invariantes podemos escribir ${\displaystyle p,q,r}$

${\displaystyle \left[{\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~\cos \phi }}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-{\cfrac {1}{3}}\tan \phi ~\cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]q-p~\tan \phi =c}$

dónde

$${\displaystyle \theta ={\cfrac {1}{3}}\arccos \left[\left({\cfrac {r}{q}}\right)^{3}\right]~.}$$

Rendimiento y plasticidad de Mohr-Coulomb.

La superficie de fluencia de Mohr-Coulomb se utiliza a menudo para modelar el flujo plástico de geomateriales (y otros materiales cohesivo-friccionales). Muchos de estos materiales muestran un comportamiento de dilatación bajo estados de tensión triaxiales que el modelo de Mohr-Coulomb no incluye. Además, dado que la superficie de fluencia tiene esquinas, puede resultar inconveniente utilizar el modelo original de Mohr-Coulomb para determinar la dirección del flujo plástico (en la teoría del flujo de la plasticidad ).

Un enfoque común es utilizar un potencial de flujo plástico no asociado que sea suave. Un ejemplo de tal potencial es la función ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle g:={\sqrt {(\alpha c_{\mathrm {y} }\tan \psi )^{2}+G^{2}(\phi ,\theta )~q^{2}}}-p\tan \phi }$$

donde es un parámetro, es el valor de cuando la deformación plástica es cero (también llamado límite elástico de cohesión inicial ), es el ángulo formado por la superficie elástica en el plano Rendulic en valores altos de (este ángulo también se llama ángulo de dilatación ), y es una función apropiada que también es suave en el plano de tensión desviatoria. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c_{\mathrm {y} }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G(\phi ,\theta )}$

Valores típicos de cohesión y ángulo de fricción interna.

En las tablas siguientes se enumeran los valores de cohesión (alternativamente llamada fuerza cohesiva ) y ángulo de fricción para rocas y algunos suelos comunes.

Ver también

• elasticidad tridimensional
• Criterio de fallo de Hoek-Brown
• ley de byerlee
• Presión lateral del suelo
• El estrés de von Mises
• Rendimiento (ingeniería)
• Criterio de rendimiento de Drucker Prager : una versión suave del criterio de rendimiento M-C
• Coordenadas de veta

Referencias

1. Juvinal, Robert C. y Marshek, Kurt.; Fundamentos del diseño de componentes de máquinas. – 2ª ed., 1991, págs. 217, ISBN  0-471-62281-8
2. Coulomb, CA (1776). Essai sur una aplicación des reglas des maximis et minimis a quelquels problemesde Statique Relatifs, a la arquitectura. Memoria. Acad. Roy. Div. Salvaje, vol. 7, págs. 343–387.
3. Staat, M. (2021) Un criterio de Mohr-Coulomb de tipo de deformación de extensión. Mecánico de rocas. Rock inglés, vol. 54, págs. 6207–6233. DOI: 10.1007/s00603-021-02608-7.
4. AMIR R. KHOEI; Plasticidad computacional en procesos de formación de polvos ; Elsevier, Ámsterdam; 2005; 449 págs.
5. Yu, Mao-hong (1 de mayo de 2002). "Avances en las teorías de resistencia de materiales sometidos a estados tensionales complejos en el siglo XX". Revisiones de Mecánica Aplicada . 55 (3): 169–218. Código Bib : 2002ApMRv..55..169Y. doi :10.1115/1.1472455. ISSN  0003-6900.
6. NIELS SAABYE OTTOSEN y MATTI RISTINMAA; La Mecánica del Modelado Constitutivo ; Elsevier Science, Amsterdam, Países Bajos; 2005; págs. 165 y siguientes.
7. Coulomb, California (1776). Essai sur una aplicación des reglas des maximis et minimis a quelquels problemesde Statique Relatifs, a la arquitectura. Memoria. Acad. Roy. Div. Salvaje, vol. 7, págs. 343–387.

• https://web.archive.org/web/20061008230404/http://fbe.uwe.ac.uk/public/geocal/SoilMech/basic/soilbasi.htm
• http://www.civil.usyd.edu.au/courses/civl2410/earth_pressions_rankine.doc