En matemáticas , un álgebra de Kac-Moody generalizada es un álgebra de Lie similar a un álgebra de Kac-Moody , excepto que se permite tener raíces simples imaginarias . Las álgebras generalizadas de Kac-Moody también se denominan a veces álgebras GKM , álgebras de Borcherds-Kac-Moody , álgebras BKM o álgebras de Borcherds . El ejemplo más conocido es el monstruo álgebra de Lie .
Las álgebras de Lie semisimples de dimensión finita tienen las siguientes propiedades:
Por ejemplo, para las álgebras de matrices n por n de traza cero, la forma bilineal es ( a , b ) = traza ( ab ), la involución de Cartan está dada por menos la transpuesta, y la calificación puede estar dada por "distancia desde la diagonal" de modo que la subálgebra de Cartan son los elementos diagonales.
Por el contrario, se pueden intentar encontrar todas las álgebras de Lie con estas propiedades (y que satisfagan algunas otras condiciones técnicas). La respuesta es que se obtienen sumas de álgebras de Lie afines y de dimensión finita .
El álgebra de Lie monstruosa satisface una versión ligeramente más débil de las condiciones anteriores: ( a , w(a) ) es positivo si a es distinto de cero y tiene un grado distinto de cero , pero puede ser negativo cuando a tiene grado cero. Las álgebras de Lie que satisfacen estas condiciones más débiles son álgebras de Kac-Moody más o menos generalizadas. Son esencialmente iguales a las álgebras dadas por ciertos generadores y relaciones (que se describen a continuación).
Informalmente, las álgebras de Kac-Moody generalizadas son las álgebras de Lie que se comportan como álgebras de Lie semisimples de dimensión finita. En particular, tienen un grupo Weyl , una fórmula de caracteres de Weyl , una subálgebra de Cartan , raíces, pesos, etc.
Una matriz de Cartan simetrizada es una matriz cuadrada (posiblemente infinita) con entradas tales que
El álgebra universal generalizada de Kac-Moody con una matriz de Cartan simetrizada dada está definida por generadores y y y relaciones
Estos difieren de las relaciones de un álgebra de Kac-Moody (simetrizable) principalmente porque permiten que las entradas diagonales de la matriz de Cartan no sean positivas. En otras palabras, permitimos que las raíces simples sean imaginarias, mientras que en el álgebra de Kac-Moody las raíces simples siempre son reales.
Un álgebra de Kac-Moody generalizada se obtiene a partir de una universal cambiando la matriz de Cartan, mediante las operaciones de matar algo en el centro, tomar una extensión central o agregar derivaciones externas.
Algunos autores dan una definición más general eliminando la condición de que la matriz de Cartan sea simétrica. No se sabe mucho sobre estas álgebras de Kac-Moody generalizadas no simetrizables y no parece haber ejemplos interesantes.
También es posible ampliar la definición a superálgebras.
Un álgebra generalizada de Kac-Moody se puede calificar dando e i grado 1, f i grado −1 y h i grado 0.
La pieza de grado cero es una subálgebra abeliana abarcada por los elementos h i y se llama subálgebra de Cartan .
La mayoría de las propiedades de las álgebras de Kac-Moody generalizadas son extensiones sencillas de las propiedades habituales de las álgebras de Kac-Moody (simetrizables).
Se cree que la mayoría de las álgebras de Kac-Moody generalizadas no tienen características distintivas. Los interesantes son de tres tipos:
Parece haber sólo un número finito de ejemplos del tercer tipo. Dos ejemplos son el álgebra de Lie del monstruo , sobre el que actúa el grupo de monstruos y utilizado en las conjeturas del alcohol ilegal monstruoso , y el álgebra de Lie del monstruo falso. Hay ejemplos similares asociados a algunos de los otros grupos simples esporádicos .
Es posible encontrar muchos ejemplos de álgebras de Kac-Moody generalizadas utilizando el siguiente principio: cualquier cosa que parezca un álgebra de Kac-Moody generalizada es un álgebra de Kac-Moody generalizada. Más precisamente, si un álgebra de Lie se clasifica mediante una red de Lorentz, tiene una forma bilineal invariante y satisface algunas otras condiciones técnicas fácilmente comprobables, entonces es un álgebra de Kac-Moody generalizada. En particular, se pueden utilizar álgebras de vértices para construir un álgebra de Lie a partir de cualquier red par . Si la red es definida positiva, da un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita, si es semidefinida positiva, da un álgebra de Lie afín, y si es lorentziana, da un álgebra que satisface las condiciones anteriores y que, por lo tanto, es un álgebra de Kac-Moody generalizada. . Cuando la red es la red Lorentz unimodular de 26 dimensiones pares, la construcción da el álgebra de Lie del monstruo falso; todas las demás redes de Lorentz parecen dar álgebras poco interesantes.
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![{\displaystyle [h_{i},f_{j}]=-c_{ij}f_{j}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/977f17daab2113f0a161842501d42a839f909429)
![{\displaystyle [e_{i},[e_{i},\ldots ,[e_{i},e_{j}]]]=[f_{i},[f_{i},\ldots ,[f_{ i},f_{j}]]]=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a92b11842bc3cac6e7eebcfc6ab02ffeefb50d7)
![{\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[f_{i},f_{j}]=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d55d7f94a5a0ffdf2bec87399a7d5cc19d8341b)
