En matemáticas , el álgebra de Lie del monstruo es un álgebra de Kac-Moody generalizada de dimensión infinita sobre la que actúa el grupo de monstruos , que se utilizó para probar las monstruosas conjeturas del alcohol ilegal.
El monstruoso álgebra de Lie es un álgebra de Lie de grado Z 2 . La pieza de grado ( m , n ) tiene dimensión c mn si ( m , n ) ≠ (0, 0) y dimensión 2 si ( m , n ) = (0, 0). Los números enteros c n son los coeficientes de q n de la j -invariante como función modular elíptica
La subálgebra de Cartan es el subespacio bidimensional de grado (0, 0), por lo que el álgebra de Lie del monstruo tiene rango 2.
El álgebra de Lie del monstruo tiene solo una raíz simple real , dada por el vector (1, −1), y el grupo de Weyl tiene orden 2, y actúa asignando ( m , n ) a ( n , m ). Las raíces simples imaginarias son los vectores (1, n ) para n = 1, 2, 3, ..., y tienen multiplicidades c n .
La fórmula del denominador para el álgebra de Lie del monstruo es la fórmula del producto para el j -invariante:
La fórmula del denominador (a veces llamada identidad infinita del producto Koike-Norton-Zagier) se descubrió en la década de 1980. Varios matemáticos, entre ellos Masao Koike, Simon P. Norton y Don Zagier , hicieron el descubrimiento de forma independiente. [1]
Hay dos formas de construir el álgebra de Lie del monstruo. [ cita necesaria ] Como es un álgebra de Kac-Moody generalizada cuyas raíces simples se conocen, puede definirse mediante generadores y relaciones explícitos; sin embargo, esta presentación no muestra una acción del grupo de monstruos sobre ella.
También se puede construir a partir del álgebra de vértices del monstruo utilizando el teorema de la teoría de cuerdas de Goddard-Thorn . Esta construcción es mucho más difícil, pero también demuestra que el grupo de monstruos actúa de forma natural sobre ella. [1]
