Área de un triángulo

El área de un triángulo se puede demostrar, por ejemplo mediante la congruencia de triángulos , como la mitad del área de un paralelogramo que tiene la misma longitud de base y altura.

Una derivación gráfica de la fórmula que evita el procedimiento habitual de duplicar el área del triángulo y luego dividirlo a la mitad. ${\displaystyle T={\frac {h}{2}}b}$

En geometría , calcular el área de un triángulo es un problema elemental que se encuentra a menudo en muchas situaciones diferentes. La fórmula más conocida y sencilla es donde b es la longitud de la base del triángulo y h es la altura o altitud del triángulo. El término "base" denota cualquier lado y "altura" denota la longitud de una perpendicular desde el vértice opuesto a la base hasta la línea que contiene la base. Euclides demostró que el área de un triángulo es la mitad de la de un paralelogramo con la misma base y altura en su libro Elementos en el año 300 a. C. ^[1] En el año 499 d. C. , Aryabhata utilizó este método ilustrado en el Aryabhatiya (sección 2.6). ^[2] ${\displaystyle T=bh/2,}$

Aunque es simple, esta fórmula sólo es útil si la altura se puede encontrar fácilmente, lo que no siempre es el caso. Por ejemplo, al agrimensor de un terreno triangular le puede resultar relativamente fácil medir la longitud de cada lado, pero relativamente difícil construir una "altura". En la práctica, se pueden utilizar varios métodos, dependiendo de lo que se sepa sobre el triángulo. Otras fórmulas de uso frecuente para el área de un triángulo utilizan trigonometría, longitudes de los lados (fórmula de Heron), vectores, coordenadas, integrales de línea, el teorema de Pick u otras propiedades. ^[3]

Historia

Herón de Alejandría encontró lo que se conoce como la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libro, Métrica , escrito alrededor del año 60 d. C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, ^[4] y dado que Métrica es una recopilación del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en esa obra. ^[5] En el año 300 a. C., el matemático griego Euclides demostró que el área de un triángulo es la mitad de la de un paralelogramo con la misma base y altura en su libro Elementos de geometría . ^[6]

En 499 Aryabhata , un gran matemático y astrónomo de la era clásica de las matemáticas y la astronomía indias , expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en el Aryabhatiya . ^[7]

Los chinos descubrieron una fórmula equivalente a la de Herón independientemente de los griegos. Fue publicada en 1247 en Shushu Jiuzhang (" Tratado matemático en nueve secciones "), escrito por Qin Jiushao . ^[8]

Usando trigonometría

Aplicando trigonometría para encontrar la altitud h .

La altura de un triángulo se puede encontrar mediante la aplicación de la trigonometría .

Conociendo SAS (lado-ángulo-lado)

Utilizando las etiquetas de la imagen de la derecha, la altura es h = a sen ${\displaystyle \gamma }$ . Sustituyendo esto en la fórmula derivada anteriormente, el área del triángulo se puede expresar como: ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\tfrac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\tfrac {1}{2}}ca\sin \beta }$

(donde α es el ángulo interior en A , β es el ángulo interior en B , es el ángulo interior en C y c es la línea AB ). ${\displaystyle \gamma }$

Además, dado que sin α = sin ( π − α) = sin (β + ), y de manera similar para los otros dos ángulos: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\tfrac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\tfrac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).}$

Conociendo AAS (ángulo-ángulo-lado)

${\displaystyle T={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }},}$

y análogamente si el lado conocido es a o c .

Conociendo ASA (ángulo-lado-ángulo)

${\displaystyle T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}},}$

y análogamente si el lado conocido es b o c . ^[9]

Utilizando las longitudes de los lados (fórmula de Heron)

La forma de un triángulo está determinada únicamente por las longitudes de sus lados, por lo que sus propiedades métricas, incluida el área, se pueden describir en términos de esas longitudes. Según la fórmula de Heron ,

${\displaystyle T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

¿Dónde está el semiperímetro , o la mitad del perímetro del triángulo? ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Otras tres formas equivalentes de escribir la fórmula de Heron son

${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.\end{aligned}}}$

Fórmulas parecidas a la fórmula de Herón

Tres fórmulas tienen la misma estructura que la fórmula de Heron pero se expresan en términos de diferentes variables. Primero, denotando las medianas de los lados a , b y c respectivamente como m _a , m _b y m _c y su semisuma ( m _a + m _b + m _c )/2 como σ, tenemos ^[10]

${\displaystyle T={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}$

A continuación, denotamos las alturas de los lados a , b y c respectivamente como h _a , h _b y h _c , y denotamos la semisuma de los recíprocos de las alturas como tenemos ^[11] ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$

${\displaystyle T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

Y denotando la semisuma de los senos de los ángulos como S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 , tenemos ^[12]

${\displaystyle T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}}$

donde D es el diámetro del círculo circunscrito : ${\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}$

Usando vectores

El área del triángulo ABC es la mitad del área de un paralelogramo :

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\bigl \|}(\mathbf {b} -\mathbf {a} )\wedge (\mathbf {c} -\mathbf {a} ){\bigr \|}={\tfrac {1}{2}}{\bigl \|}\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} +\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} +\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} {\bigr \|},}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ son vectores a los vértices del triángulo desde cualquier punto de origen arbitrario, de modo que ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {a} }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {c} -\mathbf {b} }$ son los vectores de traslación desde el vértice ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ a cada uno de los otros, y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \wedge }$ es el producto cuña . Si se toma el vértice ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ como el origen, esto se simplifica a . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \|}$

El área relativa orientada de un paralelogramo en cualquier espacio afín, un tipo de bivector , se define como ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }$ donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ son vectores de traslación de un vértice del paralelogramo a cada uno de los dos vértices adacentes. En el espacio euclidiano, la magnitud de este bivector es un número escalar bien definido que representa el área del paralelogramo. (Para los vectores en el espacio tridimensional, el producto cuña con valor bivectorial tiene la misma magnitud que el producto vectorial con valor vectorial , pero a diferencia del producto vectorial, que solo se define en el espacio euclidiano tridimensional, el producto cuña está bien definido en un espacio afín de cualquier dimensión).

El área del triángulo ABC también se puede expresar en términos de productos escalares . Tomando el vértice ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ como origen y llamando vectores de traslación a los otros vértices ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ,

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\mathbf {b} ^{2}\mathbf {c} ^{2}-(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )^{2}}},}$

donde para cualquier vector euclidiano . ^[13] Esta fórmula de área se puede derivar de la anterior utilizando la identidad vectorial elemental . ${\displaystyle \mathbf {v} ^{2}=\|\mathbf {v} \|^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{2}\mathbf {v} ^{2}=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}+\|\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \|^{2}}$

En el espacio euclidiano bidimensional, para un vector ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ con coordenadas ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$ y un vector ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ con coordenadas ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$ , la magnitud del producto cuña es

${\displaystyle \|\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \|=|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}$

(Véase la siguiente sección.)

Usando coordenadas

Si el vértice A está ubicado en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas y las coordenadas de los otros dos vértices están dadas por B = ( x _B , y _B ) y C = ( x _C , y _C ) , entonces el área se puede calcular como 1 ⁄ 2 veces el valor absoluto del determinante.

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}$

Para tres vértices generales, la ecuación es:

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},}$

que puede escribirse como

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.}$

Si los puntos se etiquetan secuencialmente en sentido antihorario, las expresiones determinantes anteriores son positivas y se pueden omitir los signos de valor absoluto. ^[14] La fórmula anterior se conoce como la fórmula del cordón o la fórmula del topógrafo.

Si ubicamos los vértices en el plano complejo y los denotamos en secuencia antihoraria como a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , y c = x _C + y _C i , y denotamos sus conjugados complejos como , , y , entonces la fórmula ${\displaystyle {\bar {a}}}$ ${\displaystyle {\bar {b}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$

${\displaystyle T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}}$

es equivalente a la fórmula del cordón.

En tres dimensiones, el área de un triángulo general A = ( x _A , y _A , z _A ) , B = ( x _B , y _B , z _B ) y C = ( x _C , y _C , z _C ) es la suma pitagórica de las áreas de las respectivas proyecciones en los tres planos principales (es decir, x = 0, y = 0 y z = 0):

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.}$

Uso de integrales de línea

El área dentro de cualquier curva cerrada, como un triángulo, está dada por la integral de línea alrededor de la curva de la distancia algebraica o con signo de un punto en la curva desde una línea recta orientada arbitraria L . Los puntos a la derecha de L como orientado se toman como a una distancia negativa de L , mientras que el peso para la integral se toma como el componente de la longitud del arco paralelo a L en lugar de la longitud del arco en sí.

Este método es muy adecuado para calcular el área de un polígono arbitrario . Si tomamos L como el eje x , la integral de línea entre vértices consecutivos ( x _i , y _i ) y ( x _{i +1} , y _{i +1} ) viene dada por la base multiplicada por la altura media, es decir ( x _{i +1} − x _i )( y _i + y _{i +1} )/2 . El signo del área es un indicador general de la dirección del recorrido, y un área negativa indica un recorrido en sentido antihorario. El área de un triángulo queda entonces como en el caso de un polígono de tres lados.

Si bien el método de la integral de línea tiene en común con otros métodos basados ​​en coordenadas la elección arbitraria de un sistema de coordenadas, a diferencia de los otros, no realiza una elección arbitraria del vértice del triángulo como origen o del lado como base. Además, la elección del sistema de coordenadas definido por L compromete solo a dos grados de libertad en lugar de los tres habituales, ya que el peso es una distancia local (por ejemplo, x _{i +1} − x _i en el ejemplo anterior), por lo que el método no requiere elegir un eje normal a L .

Cuando se trabaja en coordenadas polares no es necesario convertir a coordenadas cartesianas para utilizar la integración de línea, ya que la integral de línea entre vértices consecutivos ( r _i ,θ _i ) y ( r _{i +1} ,θ _{i +1} ) de un polígono está dada directamente por r _i r _{i +1} sin(θ _{i +1} − θ _i )/2 . Esto es válido para todos los valores de θ, con cierta disminución en la precisión numérica cuando |θ| es muchos órdenes de magnitud mayor que π. Con esta formulación, el área negativa indica un recorrido en el sentido de las agujas del reloj, lo que debe tenerse en cuenta al mezclar coordenadas polares y cartesianas. Así como la elección del eje y ( x = 0 ) es irrelevante para la integración de línea en coordenadas cartesianas, también lo es aquí la elección del rumbo cero ( θ = 0 ).

Utilizando el teorema de Pick

Consulte el teorema de Pick para obtener una técnica para encontrar el área de cualquier polígono reticular arbitrario (uno dibujado en una cuadrícula con puntos reticulares adyacentes vertical y horizontalmente a distancias iguales, y con vértices en puntos reticulares).

El teorema establece:

${\displaystyle T=I+{\tfrac {1}{2}}B-1}$

donde es el número de puntos reticulares internos y B es el número de puntos reticulares que se encuentran en el borde del polígono. ${\displaystyle I}$

Otras fórmulas de área

Existen muchas otras fórmulas de área, como por ejemplo:

${\displaystyle T=r\cdot s,}$

donde r es el radio interno y s es el semiperímetro (de hecho, esta fórmula es válida para todos los polígonos tangenciales ), y ^{[15] : Lema 2}

${\displaystyle T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)}$

donde son los radios de los excírculos tangentes a los lados a, b, c respectivamente. ${\displaystyle r_{a},\,r_{b},\,r_{c}}$

También tenemos

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )}$

y ^[16]

${\displaystyle T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}}$

para el diámetro circunscrito D ; y ^[17]

${\displaystyle T={\tfrac {1}{4}}(\tan \alpha )(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$

para ángulo α ≠ 90°.

El área también se puede expresar como ^[18]

${\displaystyle T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$

En 1885, Baker ^[19] presentó una colección de más de cien fórmulas de área distintas para el triángulo, entre las que se incluyen:

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}},}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},}$

${\displaystyle T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},}$

${\displaystyle T={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}}$

para el radio circunscrito (radio del círculo circunscrito) R , y

${\displaystyle T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.}$

Límite superior del área

El área T de cualquier triángulo con perímetro p satisface

${\displaystyle T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},}$

con igualdad vigente si y sólo si el triángulo es equilátero. ^{[20] [21] : 657}

Otros límites superiores del área T están dados por ^{[22] : p.290}

${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

y

${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},}$

ambos nuevamente se cumplen si y solo si el triángulo es equilátero.

Dividiendo el área en dos

Hay infinitas líneas que bisecan el área de un triángulo . ^[23] Tres de ellas son las medianas, que son las únicas bisectrices del área que pasan por el baricentro. Otras tres bisectrices del área son paralelas a los lados del triángulo.

Cualquier línea que pase por un triángulo y divida por la mitad tanto el área como el perímetro del triángulo pasa por el incentro del triángulo. Puede haber uno, dos o tres de estos puntos en cualquier triángulo.

Véase también

• Área de un círculo
• Congruencia de triángulos

Referencias

1. "La prueba de Euclides del teorema de Pitágoras | Synaptic". Central College . Consultado el 12 de julio de 2023 .
2. El Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa (traducido al inglés por Walter Eugene Clark , 1930) alojado en línea por Internet Archive .
3. Weisstein, Eric W. "Área del triángulo". MathWorld .
4. Heath, Thomas L. (1921). Una historia de las matemáticas griegas (Vol II) . Oxford University Press. págs. 321–323.
5. Weisstein, Eric W. "La fórmula de Heron". MathWorld .
6. "La prueba de Euclides del teorema de Pitágoras | Synaptic". Central College . Consultado el 12 de julio de 2023 .
7. Clark, Walter Eugene (1930). El Aryabhatiya de Aryabhata: una antigua obra india sobre matemáticas y astronomía (PDF) . University of Chicago Press. pág. 26.
8. Xu, Wenwen; Yu, Ning (mayo de 2013). "Puente que lleva el nombre del matemático que descubrió el teorema chino del resto" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 60 (5): 596–597.
9. Weisstein, Eric W. "Triángulo". MundoMatemático .
10. Benyi, Arpad, "Una fórmula tipo Heron para el triángulo", Mathematical Gazette 87, julio de 2003, 324–326.
11. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.
12. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula de área tipo Heron en términos de senos", Mathematical Gazette 93, marzo de 2009, 108–109.
13. La cantidad ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{2}}$ representa el producto geométrico de un vector ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ consigo mismo.
14. Bart Braden (1986). "La fórmula del área del agrimensor" (PDF) . The College Mathematics Journal . 17 (4): 326–337. doi :10.2307/2686282. JSTOR  2686282. Archivado desde el original (PDF) el 5 de noviembre de 2003. Consultado el 5 de enero de 2012 .
15. "Sa ́ndor Nagydobai Kiss, "Una propiedad de distancia del punto de Feuerbach y su extensión", Forum Geometricorum 16, 2016, 283–290" (PDF) .
16. "Circumradius". AoPSWiki . Archivado desde el original el 20 de junio de 2013 . Consultado el 26 de julio de 2012 .
17. Mitchell, Douglas W., "El área de un cuadrilátero", Mathematical Gazette 93, julio de 2009, 306–309.
18. Pathan, Alex y Tony Collyer, "Revisión de las propiedades del área de los triángulos", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 495–497.
19. Baker, Marcus, "Una colección de fórmulas para el área de un triángulo plano", Annals of Mathematics , parte 1 en el vol. 1(6), enero de 1885, 134–138; parte 2 en el vol. 2(1), septiembre de 1885, 11–18. Las fórmulas que se dan aquí son las n.° 9, n.° 39a, n.° 39b, n.° 42 y n.° 49. Se advierte al lector que varias de las fórmulas de esta fuente no son correctas.
20. Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos, 1979: 147.
21. Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; y Wulf, Daniel B. "Triángulos de Heron y espacios de módulos", Mathematics Teacher 101, mayo de 2008, 656–663.
22. Posamentier, Alfred S., y Lehmann, Ingmar, Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012.
23. Dunn, JA, y Pretty, JE, "Dividir un triángulo en dos", Mathematical Gazette 56, mayo de 1972, 105–108.