En matemáticas , el álgebra de Lie monstruosa es un álgebra de Kac-Moody generalizada de dimensión infinita aplicada por el grupo monstruoso , que se utilizó para demostrar las monstruosas conjeturas de la luz de la luna.
El álgebra de Lie monstruosa es un álgebra de Lie graduada en Z 2 . La parte de grado ( m , n ) tiene dimensión c mn si ( m , n ) ≠ (0, 0) y dimensión 2 si ( m , n ) = (0, 0). Los enteros c n son los coeficientes de q n de la j -invariante como función modular elíptica
El subálgebra de Cartan es el subespacio bidimensional de grado (0, 0), por lo que el álgebra de Lie monstruosa tiene rango 2.
El álgebra de Lie monstruosa tiene una sola raíz simple real , dada por el vector (1, −1), y el grupo de Weyl tiene orden 2, y actúa mapeando ( m , n ) a ( n , m ). Las raíces simples imaginarias son los vectores (1, n ) para n = 1, 2, 3, ..., y tienen multiplicidades c n .
La fórmula del denominador para el álgebra de Lie monstruosa es la fórmula del producto para el j -invariante:
La fórmula del denominador (a veces llamada identidad del producto infinito de Koike-Norton-Zagier) fue descubierta en la década de 1980. Varios matemáticos, entre ellos Masao Koike, Simon P. Norton y Don Zagier , hicieron el descubrimiento de forma independiente. [1]
Hay dos maneras de construir el álgebra de Lie monstruosa. [ cita requerida ] Como es un álgebra de Kac-Moody generalizada cuyas raíces simples son conocidas, se puede definir mediante generadores y relaciones explícitos; sin embargo, esta presentación no da una acción del grupo monstruoso sobre ella.
También se puede construir a partir del álgebra de vértices monstruosos utilizando el teorema de Goddard-Thorn de la teoría de cuerdas . Esta construcción es mucho más difícil, pero también demuestra que el grupo monstruo actúa naturalmente sobre ella. [1]
