La aritmética de localización (del latín arithmeticae localis ) es el sistema numérico binario aditivo (no posicional) que John Napier exploró como técnica de cálculo en su tratado Rabdología (1617), tanto simbólicamente como en una cuadrícula similar a un tablero de ajedrez .
La terminología de Napier, derivada del uso de las posiciones de las fichas en el tablero para representar números, es potencialmente engañosa porque el sistema de numeración, de hecho, no es posicional en el vocabulario actual.
En la época de Napier, la mayoría de los cálculos se hacían en tableros con marcas de conteo o fichas . Por lo tanto, a diferencia de cómo puede verlo el lector moderno, su objetivo no era utilizar movimientos de fichas en un tablero para multiplicar, dividir y hallar raíces cuadradas, sino más bien encontrar una forma de calcular simbólicamente con lápiz y papel.
Sin embargo, cuando se reprodujo en la pizarra, esta nueva técnica no requirió cálculos mentales de ensayo y error ni una memorización compleja de los números (a diferencia de los cálculos en base 10). Estaba tan satisfecho con su descubrimiento que dijo en su prefacio:
Podría describirse más como una alondra que como un trabajo, ya que realiza sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y la extracción de raíces cuadradas simplemente moviendo fichas de un lugar a otro. [1]
La notación binaria aún no se había estandarizado, por lo que Napier utilizó lo que llamó numerales de ubicación para representar números binarios. El sistema de Napier utiliza la notación de signo-valor para representar números; utiliza letras sucesivas del alfabeto latino para representar potencias sucesivas de dos: a = 2 0 = 1, b = 2 1 = 2, c = 2 2 = 4, d = 2 3 = 8, e = 2 4 = 16 y así sucesivamente.
Para representar un número dado como numeral de ubicación, ese número se expresa como una suma de potencias de dos y luego cada potencia de dos se reemplaza por su dígito (letra) correspondiente. Por ejemplo, al convertir de un numeral decimal:
Mediante el proceso inverso, un número de ubicación se puede convertir a otro sistema numérico. Por ejemplo, al convertirlo a un número decimal:
Napier mostró múltiples métodos para convertir números dentro y fuera de su sistema numérico. Estos métodos son similares a los métodos modernos para convertir números dentro y fuera del sistema numérico binario , por lo que no se muestran aquí. Napier también mostró cómo sumar, restar, multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas.
Como en cualquier sistema de numeración que utilice notación de signo-valor (pero no en aquellos que utilizan notación posicional ), los dígitos (letras) se pueden repetir de modo que varios números puedan representar un solo número. Por ejemplo:
Además, el orden de los dígitos no importa. Por ejemplo:
Dado que cada dígito de un numeral de ubicación representa el doble del valor de su dígito inmediatamente inferior, reemplazar dos ocurrencias cualesquiera del mismo dígito con uno del dígito inmediatamente superior no cambia el valor numérico del numeral. Por lo tanto, aplicar repetidamente las reglas de reemplazo aa → b , bb → c , cc → d , etc. a un numeral de ubicación elimina todos los dígitos repetidos de ese numeral.
Napier denominó este proceso abreviatura y al numeral de ubicación resultante la forma abreviada de ese numeral; a los numerales de ubicación que contienen dígitos repetidos los denominó formas extendidas . Cada número se puede representar mediante una forma abreviada única, sin tener en cuenta el orden de sus dígitos (por ejemplo, abc , bca , cba , etc., todos representan el número 7).
Los números de ubicación permiten un algoritmo simple e intuitivo para la suma:
Por ejemplo, para sumar 157 = acdeh y 230 = bcfgh , une los numerales de extremo a extremo:
reordenar los dígitos del resultado anterior (porque los dígitos de acdehbcfgh no están en orden ascendente):
y abreviar el resultado anterior:
El resultado final, abhi , es igual a 387 ( abhi = 2 0 + 2 1 + 2 7 + 2 8 = 1 + 2 + 128 + 256 = 387); este es el mismo resultado obtenido al sumar 157 y 230 en notación decimal.
La resta también es intuitiva, pero puede requerir expandir las formas abreviadas a formas extendidas para realizar préstamos .
Escribe el minuendo (el número más grande que quieres disminuir) y quítale todos los dígitos que aparecen en el sustraendo (el número más pequeño). En caso de que el dígito que quieres eliminar no aparezca en el minuendo, tómalo prestado expandiendo la unidad un poco más grande. Repite hasta que se hayan eliminado todos los dígitos del sustraendo.
Algunos ejemplos muestran que es más sencillo de lo que parece:
Napier procedió al resto de las operaciones aritméticas, es decir, la multiplicación, la división y la raíz cuadrada, en un ábaco, como era habitual en su época. Sin embargo, desde el desarrollo de los ordenadores con microprocesador, se han desarrollado o recuperado muchos algoritmos aplicables basados en la duplicación y la división por la mitad.
La duplicación se realiza sumando un numeral a sí mismo, lo que significa duplicar cada uno de sus dígitos. Esto da una forma extendida, que debe abreviarse si es necesario. Esta operación se puede realizar en un solo paso cambiando cada dígito de un numeral por el siguiente dígito más grande. Por ejemplo, el doble de a es b , el doble de b es c , el doble de ab es bc , el doble de acfg es bdgh , etc.
De manera similar, multiplicar por una potencia de dos es simplemente traducir sus dígitos. Multiplicar por c = 4, por ejemplo, es transformar los dígitos a → c , b → d , c → e ,...
Reducir a la mitad es lo inverso de duplicar: cambiar cada dígito por el siguiente dígito más pequeño. Por ejemplo, la mitad de bdgh es acfg .
Se ve inmediatamente que esto sólo es factible cuando el numeral que se va a dividir en dos no contiene una a (o, si el numeral se extiende, un número impar de a s). En otras palabras, un numeral abreviado es impar si contiene una a y par si no la contiene.
Con estas operaciones básicas (duplicar y reducir a la mitad), podemos adaptar todos los algoritmos binarios empezando por, pero no limitados a, el método de bisección y la búsqueda dicotómica .
Napier realizaba las multiplicaciones y divisiones con un ábaco, como era habitual en su época. Sin embargo, la multiplicación egipcia ofrece una forma elegante de realizar las multiplicaciones sin tablas, utilizando únicamente la duplicación, la división por la mitad y la suma.
Multiplicar un número de un solo dígito por otro número de un solo dígito es un proceso sencillo. Como todas las letras representan una potencia de 2, multiplicar dígitos es lo mismo que sumar sus exponentes. Esto también se puede considerar como encontrar el índice de un dígito en el alfabeto ( a = 0, b = 1, ...) e incrementar el otro dígito en esa cantidad en términos del alfabeto ( b + 2 => d ).
Por ejemplo, multiplica 4 = c por 16 = e
c * e = 2^2 * 2^4 = 2^6 = g
o...
AlphabetIndex ( c ) = 2, entonces... e => f => g
Para hallar el producto de dos números de varios dígitos, haz una tabla de dos columnas. En la columna de la izquierda escribe los dígitos del primer número, uno debajo del otro. Para cada dígito de la columna de la izquierda, multiplica ese dígito por el segundo número y regístralo en la columna de la derecha. Por último, suma todos los números de la columna de la derecha.
Como ejemplo, multiplica 238 = bcdfgh por 13 = acd
El resultado es la suma en la columna de la derecha bcdfgh defhij efgijk = bcddeefffgghhiijjk = bcekl = 2+4+16+1024+2048 = 3094.
Es interesante notar que la columna de la izquierda también se puede obtener mediante mitades sucesivas del primer número, de las cuales se eliminan los números pares. En nuestro ejemplo, acd , bc (par), ab , a . Si observamos que la columna de la derecha contiene dobles sucesivos del segundo número, veremos por qué la multiplicación campesina es exacta.
La división se puede realizar mediante restas sucesivas: el cociente es el número de veces que se puede restar el divisor del dividendo, y el resto es lo que queda después de todas las restas posibles.
Este proceso, que puede ser muy largo, puede hacerse eficiente si en lugar del divisor restamos el múltiplo del divisor, y los cálculos son más fáciles si nos limitamos a multiplicarlo por una potencia de 2.
De hecho, esto es lo que hacemos en el método de división larga .
La aritmética de ubicación utiliza una cuadrícula cuadrada en la que cada cuadrado representa un valor. Dos lados de la cuadrícula están marcados con potencias de dos crecientes. Cualquier cuadrado interior se puede identificar por dos números en estos dos lados, uno de ellos verticalmente debajo del cuadrado interior y el otro a su extrema derecha. El valor del cuadrado es el producto de estos dos números.
Por ejemplo, el cuadrado de esta cuadrícula de ejemplo representa 32, ya que es el producto de 4 en la columna de la derecha y 8 en la fila inferior. La cuadrícula en sí puede tener cualquier tamaño y las cuadrículas más grandes simplemente nos permiten manejar números más grandes.
Tenga en cuenta que si se mueve un cuadrado hacia la izquierda o hacia arriba, se duplica el valor. Esta propiedad se puede utilizar para realizar sumas binarias utilizando solo una fila de la cuadrícula.
Primero, coloque un número binario en una fila usando fichas para representar los 1 del número. Por ejemplo, 29 (= 11101 en binario) se colocaría en el tablero de la siguiente manera:
El número 29 es claramente la suma de los valores de los cuadrados en los que hay fichas. Ahora superpongamos el segundo número en esta fila. Digamos que colocamos 9 (= 1001 en binario) sobre él de esta manera.
La suma de estos dos números es simplemente el valor total representado por las fichas en el tablero, pero algunos de los cuadrados tienen más de una ficha. Sin embargo, recuerde que al moverse hacia la izquierda de un cuadrado se duplica su valor. Por lo tanto, reemplazamos dos fichas en un cuadrado con una ficha a su izquierda sin cambiar el valor total en el tablero. Tenga en cuenta que esta es la misma idea utilizada para abreviar los números de ubicación. Comencemos reemplazando el par de fichas más a la derecha con una ficha a su izquierda, lo que da:
Todavía tenemos otro cuadrado con dos fichas encima, así que lo hacemos de nuevo:
Pero al reemplazar este par se creó otro cuadrado con dos fichas sobre él, así que reemplazamos una tercera vez:
Ahora cada cuadrado tiene sólo un contador, y al leer el resultado en binario 100110 (= 38) se obtiene el resultado correcto.
Restar no es mucho más complicado que sumar: en lugar de añadir fichas al tablero, las retiramos. Para "tomar prestado" un valor, reemplazamos una ficha en una casilla por dos a su derecha.
Veamos cómo podemos restar 12 de 38. Primero, coloque 38 (= 100110 en binario) en una fila y luego coloque 12 (= 1100 en binario) debajo:
Por cada ficha de la fila inferior que tenga una ficha encima, eliminamos ambas fichas. Podemos eliminar un par de fichas del tablero, lo que da como resultado:
Ahora necesitamos "tomar prestadas" fichas para deshacernos de la ficha restante en la parte inferior. Primero, reemplaza la ficha más a la izquierda en la fila superior por dos a su derecha:
Ahora reemplace uno de los dos contadores con dos más a su derecha, obteniendo:
Ahora podemos quitar uno de los contadores de la fila superior con el contador restante de la fila inferior:
y leyó 26, el resultado final.
A diferencia de la suma y la resta, se utiliza toda la cuadrícula para multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas. La cuadrícula tiene algunas propiedades útiles que se utilizan en estas operaciones. En primer lugar, todos los cuadrados de cualquier diagonal que va desde la parte inferior izquierda hasta la parte superior derecha tienen el mismo valor.
Dado que un movimiento diagonal se puede dividir en un movimiento hacia la derecha (que reduce a la mitad el valor) seguido de un movimiento hacia arriba (que duplica el valor), el valor del cuadrado permanece igual.
Junto con esa propiedad diagonal, hay una forma rápida de dividir los números en los bordes inferior y derecho de la cuadrícula.
Ubica el dividendo 32 en el lado derecho y el divisor 8 en el borde inferior de la cuadrícula. Extiende una diagonal desde el dividendo y ubica el cuadrado donde se cruza con una línea vertical desde el divisor. El cociente se encuentra en el extremo derecho de la cuadrícula desde este cuadrado, que para nuestro ejemplo es 4.
¿Por qué funciona esto? El movimiento a lo largo de la diagonal no cambia el valor; el valor del cuadrado en la intersección sigue siendo el dividendo. Pero también sabemos que es el producto de los cuadrados a lo largo del borde inferior y derecho. Como el cuadrado en el borde inferior es el divisor, el cuadrado en el borde derecho es el cociente.
Napier extiende esta idea para dividir dos números arbitrarios, como se muestra a continuación.
Para multiplicar un par de números binarios, primero marque los dos números en la parte inferior y en el lado derecho de la cuadrícula. Digamos que queremos multiplicar 22 (= 10110) por 9 (= 1001).
Ahora coloque fichas en cada "intersección" de filas verticales y horizontales de los 1 en cada número.
Observe que cada fila de fichas en la cuadrícula es simplemente 22 multiplicado por una potencia de dos. De hecho, el valor total de las fichas es la suma de dos filas.
De esta forma, los contadores en el tablero representan en realidad el producto de los dos números, excepto que todavía no es posible "leer" la respuesta.
Recuerde que mover las fichas en diagonal no cambia el valor, así que mueva todas las fichas en los cuadrados internos en diagonal hasta que toquen la fila inferior o la columna izquierda.
Ahora hacemos los mismos movimientos que hicimos para la suma. Reemplazamos dos fichas en un cuadrado por una a su izquierda. Si el cuadrado está en la columna de la izquierda, reemplazamos dos fichas por una encima de ella. Recuerda que el valor de un cuadrado se duplica si te mueves hacia arriba, por lo que esto no cambia el valor en la cuadrícula.
Primero, reemplacemos los dos contadores del segundo cuadrado en la parte inferior con uno a su izquierda, lo que deja dos contadores en la esquina.
Por último, sustituya los dos contadores de la esquina por uno encima y "lea" el número binario en forma de L, comenzando desde la parte superior izquierda hasta la esquina inferior izquierda y luego hasta la parte inferior derecha.
Lee los contadores a lo largo de la L, pero no cuentes dos veces el cuadrado de la esquina. Leerás el resultado binario 11000110 = 198, que en realidad es 22*9.
¿Por qué podemos leer el número binario en forma de L? La fila inferior, por supuesto, contiene solo las primeras seis potencias de dos, pero observe que la columna más a la izquierda contiene las siguientes cinco potencias de dos. De modo que podemos leer directamente un número binario de 11 dígitos a partir del conjunto de 11 cuadrados en forma de L que se encuentran a lo largo de los lados izquierdo e inferior de la cuadrícula.
Nuestra pequeña cuadrícula de 6x6 solo puede multiplicar números hasta 63 cada uno y, en general, una cuadrícula n x n puede multiplicar dos números hasta 2 n -1 cada uno. Esto se escala muy rápido, por lo que un tablero con 20 números por lado, por ejemplo, puede multiplicar números hasta un poco más de un millón cada uno.
Martin Gardner presentó una versión un poco más fácil de entender [2] del método de división de Napier, que es la que se muestra aquí.
La división funciona prácticamente al revés que la multiplicación. Digamos que queremos dividir 485 por 13. Primero, coloca las fichas para 485 (= 111100101) a lo largo del borde inferior y marca 13 (= 1101) a lo largo del borde derecho. Para ahorrar espacio, solo observaremos una parte rectangular del tablero porque eso es todo lo que realmente usamos.
Comenzando desde la izquierda, el juego consiste en mover las fichas en diagonal en "columnas de divisores" (es decir, con una ficha en cada fila marcada con un 1 a partir del divisor). Demostremos esto con el bloque de fichas más a la izquierda.
Ahora, el siguiente bloque de contadores que podríamos probar comenzaría con el contador más a la izquierda en la parte inferior, y podríamos intentar algo como
excepto que no tenemos ninguna ficha que podamos mover en diagonal desde el borde inferior hacia los cuadrados que formarían el resto de la "columna de divisores".
En estos casos, en lugar de ello, "duplicamos" la ficha de la fila inferior y formamos una columna a la derecha. Como verás pronto, siempre será posible formar una columna de esta manera. Así que primero reemplaza la ficha de la fila inferior por dos a su derecha.
y luego mover uno en diagonal a la parte superior de la columna, y mover otra ficha ubicada en el borde del tablero a su lugar.
Parece que todavía no tenemos un contador en el borde inferior para movernos en diagonal hacia el cuadrado restante, pero observe que en lugar de eso podemos duplicar el contador más a la izquierda nuevamente y luego moverlo al cuadrado deseado.
y ahora movemos un contador en diagonal hacia donde queremos.
Procedamos a construir la siguiente columna. Una vez más, observe que al mover la ficha más a la izquierda hacia la parte superior de la columna no quedan fichas suficientes en la parte inferior para completar los cuadrados restantes.
Entonces, doblamos la ficha y la movemos en diagonal hacia la siguiente columna. También movemos la ficha más a la derecha hacia la columna. Así es como se ve después de estos pasos.
Todavía nos falta un cuadrado, pero simplemente doblamos la apuesta nuevamente y movemos el contador a este lugar y terminamos con
En este punto, el contador en el borde inferior está tan a la derecha que no puede ir en diagonal a la parte superior de ninguna columna, lo que indica que hemos terminado.
El resultado se "lee" en las columnas: cada columna con contadores se trata como un 1 y las columnas vacías son 0. Por lo tanto, el resultado es 100101 (= 37) y el resto es el valor binario de los contadores que quedan a lo largo del borde inferior. Hay un contador en la tercera columna desde la derecha, por lo que lo leemos como 100 (= 4) y obtenemos 485 ÷ 13 = 37 con un resto de 4.
Este proceso requiere que se añadan fichas al ábaco (tablero) para formar figuras cuadradas. En la parte superior de la página 149 se muestran diagramas que explican este proceso. Comience colocando una sola ficha en el tablero (en realidad irá en uno de los cuadrados punteados). Si se añaden otras tres fichas adyacentes (o con filas y columnas en blanco entre ellas y la primera que se colocó), se obtendrá otra figura cuadrada en el ábaco. De manera similar, si se añaden otras cinco fichas a esta (con o sin las filas y columnas en blanco que se muestran), se obtendrá un cuadrado aún más grande. Tome el número que se va a considerar y coloque fichas a lo largo de un margen que represente su valor. Desde la posición de la ficha más grande en ese valor, siga las líneas diagonales (movimientos del alfil) a lo largo del tablero hasta llegar a un cuadrado con un punto. Coloque una ficha en ese cuadrado. Reste el valor representado por esta ficha única del número original en el margen. Sume tres (cinco, siete, ... para los pasos subsiguientes) para crear un cuadrado en el tablero y reste el valor de las fichas agregadas del número en el margen hasta que el número sea demasiado grande para ser restado o no quede espacio en el tablero. Debería quedar un cuadrado grande de fichas (quizás con filas y columnas en blanco entre ellas) en el tablero. Mueva una de las fichas en cada fila del cuadrado al margen y las posiciones de estas fichas marginales darán como resultado la raíz cuadrada del número.
Napier proporciona un ejemplo de cómo determinar la raíz cuadrada de 1238. La ficha más grande está en la posición 1024, por lo que la primera ficha se coloca en el punto que se encuentra al moverse hacia abajo en la diagonal 1024 (en la posición 32,32). Al restar este valor (1024) del número original, quedan las fichas en 128, 64, 16, 4 y 2 (= 214). Al colocar tres fichas en el tablero para formar un cuadrado con la primera ficha, pero cuyo valor aún se puede restar de 214, quedan fichas en las posiciones 32,2; 2,2; y 2,32 (cuyos valores son 64, 4 y 64, que al restarlos del resto de 214 = 82. El siguiente cuadrado que se puede construir con cinco fichas, pero cuyos valores de esas cinco fichas todavía se pueden restar de 82, da como resultado fichas en las posiciones 32,1; 2,1; 1,1; 1,2; y 1,32. Los valores de estas cinco fichas suman 69, que al restarlos de 82 dejan 13 como resto. Como ya no hay más espacio en el tablero, tenemos que parar. Mueve una ficha de cada fila al margen (filas 32, 2 y 1) y este valor (35) es la raíz cuadrada requerida, o al menos la parte entera de ella (el valor real es 35,1852...).
Napier proporciona un segundo ejemplo para calcular la raíz cuadrada de 2209 (= 47). [1]