En teoría de números y geometría algebraica , la conjetura de Tate es una conjetura de John Tate de 1963 que describiría los ciclos algebraicos en una variedad en términos de una invariante más computable, la representación de Galois en cohomología étale . La conjetura es un problema central en la teoría de los ciclos algebraicos. Puede considerarse un análogo aritmético de la conjetura de Hodge .
Sea V una variedad proyectiva suave sobre un campo k que se genera finitamente sobre su campo primo . Sea k s un cierre separable de k y sea G el grupo de Galois absoluto Gal( k s / k ) de k . Fija un número primo ℓ que sea invertible en k . Considere los grupos de cohomología ℓ-ádica (coeficientes en los enteros ℓ-ádicos Z ℓ , escalares luego extendidos a los números ℓ-ádicos Q ℓ ) de la extensión de base de V a k s ; estos grupos son representaciones de G . Para cualquier i ≥ 0, una codimensión - i subvariedad de V (que se entiende definida sobre k ) determina un elemento del grupo de cohomología
que está fijado por G . Aquí Qℓ ( i ) denota el i -ésimo giro de Tate , lo que significa que esta representación del grupo G de Galois está tensor con la i -ésima potencia del carácter ciclotómico .
La conjetura de Tate establece que el subespacio W G de W fijado por el grupo G de Galois está abarcado, como un espacio vectorial Q ℓ , por las clases de subvariedades de codimensión i de V . Un ciclo algebraico significa una combinación lineal finita de subvariedades; entonces una afirmación equivalente es que cada elemento de W G es la clase de un ciclo algebraico en V con coeficientes Q ℓ .
La conjetura de Tate para divisores (ciclos algebraicos de codimensión 1) es un importante problema abierto. Por ejemplo, sea f : X → C un morfismo de una superficie proyectiva suave a una curva proyectiva suave sobre un campo finito. Supongamos que la fibra genérica F de f , que es una curva sobre el campo funcional k ( C ), es suave sobre k ( C ). Entonces la conjetura de Tate para los divisores de X es equivalente a la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer para la variedad jacobiana de F. [1] Por el contrario, se conoce la conjetura de Hodge para divisores en cualquier variedad proyectiva compleja suave (el teorema de Lefschetz (1,1) ).
Probablemente el caso conocido más importante es que la conjetura de Tate es cierta para divisores en variedades abelianas . Este es un teorema de Tate para variedades abelianas sobre campos finitos, y de Faltings para variedades abelianas sobre campos numéricos, parte de la solución de Faltings a la conjetura de Mordell . Zarhin extendió estos resultados a cualquier campo base generado de forma finita. La conjetura de Tate para divisores en variedades abelianas implica la conjetura de Tate para divisores en cualquier producto de curvas C 1 × ... × C n . [2]
La (conocida) conjetura de Tate para divisores en variedades abelianas es equivalente a una poderosa afirmación sobre los homomorfismos entre variedades abelianas. Es decir, para cualquier variedad abeliana A y B sobre un campo k finitamente generado , el mapa natural
es un isomorfismo. [3] En particular, una variedad abeliana A está determinada hasta la isogenia por la representación de Galois en su módulo de Tate H 1 ( A k s , Z ℓ ).
La conjetura de Tate también es válida para superficies K3 sobre campos finitamente generados de característica no 2. [4] (En una superficie, la parte no trivial de la conjetura se refiere a divisores). En la característica cero, André demostró la conjetura de Tate para superficies K3. y Tankeev. Para superficies K3 sobre campos finitos de característica no 2, Nygaard, Ogus , Charles, Madapusi Pera y Maulik demostraron la conjetura de Tate .
Totaro (2017) analiza casos conocidos de la conjetura de Tate.
Sea X una variedad proyectiva suave sobre un campo k generado finitamente . La conjetura de la semisimplicidad predice que la representación del grupo de Galois G = Gal( k s / k ) en la cohomología ℓ-ádica de X es semisimple (es decir, una suma directa de representaciones irreducibles ). Para k de característica 0, Moonen (2017) demostró que la conjetura de Tate (como se indicó anteriormente) implica la semisimplicidad de
Para k finito de orden q , Tate demostró que la conjetura de Tate más la conjetura de semisimplicidad implicaría la conjetura fuerte de Tate , es decir, que el orden del polo de la función zeta Z ( X , t ) en t = q − j es igual a el rango del grupo de ciclos algebraicos de codimensión j módulo de equivalencia numérica . [5]
Al igual que la conjetura de Hodge, la conjetura de Tate implicaría la mayoría de las conjeturas estándar de Grothendieck sobre ciclos algebraicos . Es decir, implicaría la conjetura estándar de Lefschetz (que la inversa del isomorfismo de Lefschetz se define mediante una correspondencia algebraica); que las componentes de Künneth de la diagonal son algebraicas; y que la equivalencia numérica y la equivalencia homológica de ciclos algebraicos son lo mismo.
