Sector circular

Porción de un disco encerrado por dos radios y un arco.

El sector menor está sombreado en verde mientras que el sector mayor está sombreado en blanco.

Un sector circular , también conocido como sector de círculo o sector de disco o simplemente sector (símbolo: ⌔ ), es la porción de un disco (una región cerrada delimitada por un círculo) encerrada por dos radios y un arco , siendo el área más pequeña conocida como el sector menor y el más grande como el sector mayor . ^[1] En el diagrama, θ es el ángulo central , r el radio del círculo y L es la longitud del arco del sector menor.

El ángulo que se forma al unir los extremos del arco con cualquier punto de la circunferencia que no esté en el sector es igual a la mitad del ángulo central. ^[2]

Tipos

Un sector con un ángulo central de 180° se denomina semidisco y está delimitado por un diámetro y un semicírculo . A los sectores con otros ángulos centrales se les dan a veces nombres especiales, como cuadrantes (90°), sextantes (60°) y octantes (45°), que provienen de que el sector es una cuarta parte, sexta u octava parte de un círculo completo, respectivamente. El arco de un cuadrante (un arco circular ) también puede denominarse cuadrante.

Área

El área total de un círculo es πr ² . El área del sector se puede obtener multiplicando el área del círculo por la razón del ángulo θ (expresado en radianes) y 2 π (porque el área del sector es directamente proporcional a su ángulo, y 2 π es el ángulo de todo el círculo, en radianes): $${\displaystyle A=\pi r^{2}\,{\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}$$

El área de un sector en términos de L se puede obtener multiplicando el área total πr ² por la relación de L al perímetro total 2 πr . $${\displaystyle A=\pi r^{2}\,{\frac {L}{2\pi r}}={\frac {rL}{2}}}$$

Otro enfoque es considerar esta área como el resultado de la siguiente integral: $${\displaystyle A=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}dS=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}{\tilde {r}}\,d{\tilde {r}}\,d{\tilde {\theta }}=\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d{\tilde {\theta }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}$$

Al convertir el ángulo central en grados se obtiene ^[3] $${\displaystyle A=\pi r^{2}{\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}}$$

Perímetro

La longitud del perímetro de un sector es la suma de la longitud del arco y los dos radios: donde θ está en radianes. $${\displaystyle P=L+2r=\theta r+2r=r(\theta +2)}$$

Longitud del arco

La fórmula para la longitud de un arco es: ^[4] donde L representa la longitud del arco, r representa el radio del círculo y θ representa el ángulo en radianes que forma el arco en el centro del círculo. ^[5] $${\displaystyle L=r\theta }$$

Si el valor del ángulo se da en grados, entonces también podemos utilizar la siguiente fórmula: ^[6] $${\displaystyle L=2\pi r{\frac {\theta }{360}}}$$

Longitud del acorde

La longitud de una cuerda formada con los puntos extremos del arco está dada por donde C representa la longitud de la cuerda, R representa el radio del círculo y θ representa el ancho angular del sector en radianes. $${\displaystyle C=2R\sin {\frac {\theta }{2}}}$$

Véase también

• Segmento circular : parte del sector que queda después de eliminar el triángulo formado por el centro del círculo y los dos puntos finales del arco circular en el límite.
• Sección cónica
• Cuadrante terrestre
• Sector hiperbólico
• Sector de (matemáticas)
• Sector esférico – la figura tridimensional análoga

Referencias

1. Dewan, Rajesh K. (2016). Saraswati Mathematics. Nueva Delhi: New Saraswati House India Pvt Ltd. pág. 234. ISBN 978-8173358371.
2. Achatz, Thomas; Anderson, John G. (2005). Matemáticas técnicas de taller. Kathleen McKenzie (3.ª ed.). Nueva York: Industrial Press. pág. 376. ISBN 978-0831130862.OCLC 56559272  .
3. Uppal, Shveta (2019). Matemáticas: libro de texto para décimo grado . Nueva Delhi : Consejo Nacional de Investigación y Capacitación Educativa . Págs. 226, 227. ISBN. 978-81-7450-634-4.OCLC 1145113954  .
4. Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2002). Cálculo I con precálculo (3.ª ed.). Boston, MA.: Brooks/Cole . p. 570. ISBN 978-0-8400-6833-0.OCLC 706621772  .
5. Wicks, Alan (2004). Nivel estándar de matemáticas para el Bachillerato Internacional: un texto para el nuevo programa de estudios. West Conshohocken, PA : Infinity Publishing.com. pág. 79. ISBN 0-7414-2141-0.OCLC 58869667  .
6. Arriba (2019).

Fuentes

• Gerard, LJV (1874). Los elementos de geometría, en ocho libros; o, primer paso en lógica aplicada. Londres: Longmans, Green, Reader y Dyer . pág. 285.
• Legendre, Adrien-Marie (1858). Davies, Charles (ed.). Elementos de geometría y trigonometría. Nueva York: AS Barnes & Co. pág. 119.